奇偶函数在对称区域上的曲线积分公式及其证明

郭高荣，燕艳菊

（安阳工学院数理学院，河南安阳 455000）

奇偶函数在对称区域上的曲线积分公式及其证明

郭高荣，燕艳菊

（安阳工学院数理学院，河南安阳 455000）

探讨了奇偶函数在对称区域上的第一类曲线积分公式和第二类曲线积分公式，并给出了积分公式的证明，以简化某些积分的运算。

第二类曲线积分；对称性；奇函数；偶函数

引言

针对几种不同版本的《高等数学》教材上曲线积分、曲面积分计算，都有利用对称性简化运算的例题和习题，可是在这些教材中根本没有与之相应的定理和定理的证明。文献[1]研究了二元奇偶函数在对称区域上的积分公式及其证明，没有研究曲线积分；文献[2]对计算某些特殊的第二类平面曲线积分进行了研究；文献[3]对对称弧段上的对弧长的曲线积分进行了研究；文献[4]，[5],[6]研究对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用和教学探讨，但都没有研究奇偶函数在有向平面曲线和空间上的第二类曲线的积分计算，文献[7]中没有讨论函数关于原点中心对称的情况，本文对此进行了一些研究，同时在这些参考文献中，有关函数关于坐标原点中心对称的定义存在错误之处，本文给出更准确的定义.

1计算第一类曲线积分的对称性方法

定理1设函数f(x,y)在分段光滑的平面曲线L上连续，如果

1）L=L1+L2,L1,L2关于坐标轴x=0(或y=0)对称，则

2）L关于坐标原点中心对称，L1={} (x,y)∈L,x≥0,y≥0，则

证明：设L关于y轴对称L：y=y(x)，-a≤x≤a，由y(-x)=y(x)，有

同理可以证明L关于坐标轴y=0对称，由定理1的1）的结论容易得到定理1的2）的结论.

如果把定理1从平面上推广到空间上，则有如下结论：

定理2设函数f(x,y,z)在空间分段光滑的曲线上L连续，如果L关于坐标面

x=0(y=0，z=0)对称，则

其中L1={}

(x,y,z)∈L,x≥0(y≥0;z≥0).

2 计算第二类曲线积分的对称性方法

定理3设函数P(x,y)在分段光滑的有向平面曲线L上连续，L1,L2与L同向，如果

1）L=L1+L2,L1,L2关于坐标轴x=0对称，则

2）L=L1+L2,L1,L2关于坐标轴y=0对称，则

3）L关于坐标原点中心对称，L1={} (x,y)∈L,x≥0,y≥0，L1与L同向，则

证明：

1)设L：y=y(x)关于坐标轴x=0对称，由y(-x)=y(x)，有

2)设L关于坐标轴y=0对称，L1：y=y1(x)，L2：y=y2(x)，由于y1（x）=-y2(x)，可以得到如下等式：

由定理2的1）、2）的结论容易得到定理2的3）的结论。

同理可以证明

定理4设函数Q(x,y)在分段光滑的有向平面曲线L上连续，L1,L2与L同向，如果

1）L=L1+L2,L1,L2关于坐标轴x=0对称，则

2）L=L1+L2,L1,L2关于坐标轴y=0对称，则

3）L关于坐标原点中心对称，L1={} (x,y)∈L,x≥0,y≥0，L1与L同向，则

注明1：二元Q(x,y)关于坐标原点中心对称，本文中定义Q(-x,y)=Q(x,-y)=Q(x,y)，而在文献1,4中的定义是Q(-x,-y)=Q(x,y)，举反例：Q(x,y)=xy，按照文献1,4中的定义，这个函数既是x又是y的奇函数，同时又是xy的偶函数，矛盾.

注明2：本文中f(x,y,z)可以简记为f.

[1]张青娥,郝新生.二元奇偶函数在对称区域上的积分公式及其证明[J].数学的实践与认识，2005,35(5).

[2]时统业,周本虎.第二类平面曲线积分的对称性质及其应用[J].高等数学研究，2006，9(2)：25-29.

[3]晋慧峰，张福伟.对称弧段上的对弧长的曲线积分的研究[J].太原理工大学学报，2011，42(3)：320-322.

[4]纪荣芳,娄本平.对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用[J].泰山学院学报，2004，26(3):11-14.

[5]程希旺.对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用[J].遵义师范学院学报，2007，9(5)：72-75.[6]江蓉，王守中.关于曲线积分与曲面积分教学的探讨[J].西南师范大学学报（自然科学版），2012，37（2）:142-146.

[7]王慧，叶永升.对称性在两类曲线积分中的应用[J].淮北师范大学学报(自然科学版)，2011，32（4）：72-75.

[8]同济大学数学系.高等数学（下）[M].北京：高等教育出版社，2007，185-200.

Curvilinear Integral Formulae and Demonstration of Odd-even Function in Symmetric Area

GUO Gaorong,YAN Yanju
(Faculty of Science,Anyang Institute of Thechnology,Anyang 455000,China)

In this paper,first curvilinear integra formulae and second curvilinear integra formulae of odd-even function in Symmetric area are discussed.The integral formulae of two-variable odd-even function in Symmet⁃ric area are obtained and the integral formulae are demonstrated to simplify the calculation of some integral.

second curvilinear integra;symmetry;odd function;even function

G642

A

1673-2928（2015）06-0088-03

(责任编辑：郝安林）

2015-07-26

2014年安阳工学院教学项目（基于应用型人才培养的具有专业特色的大学数学教学研究与实践）。

郭高荣(1978-),女,河南省汝南县人，安阳工学院讲师,硕士,从事偏微分方程研究。