《高等数学》与《复变函数》之关系探讨

王少辉　王洪涛

摘要：在《高等数学》的授课过程中发现，有些高等数学问题用实变函数知识解释不清，需要用到复变函数的相关理论才能够清楚地解释此类问题。而在讲解《复变函数》的时候，由于其内容绝大多数都与《高等数学》所讲授内容是类似的，所以会出现重复讲解、比对讲解等情况，本文针对这种情况，探讨了在《高等数学》教学中把《复变函数》穿插进去讲授的必要性和可行性。

关键词：高等数学；复变函数；类比；对比

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）04-0063-02

《复变函数》是自然科学与工程技术中常用的数学工具，它是微分方程、奇异积分方程、计算数学和概率论等数学分支的主要解析方法，又是空气动力学、流体力学、弹性力学、电磁学和热力学等学科进行几何定性研究的重要方法。在培养学生的知识结构体系、解决问题的实际能力、具备良好的思维品质、具备创新精神等方面起着至关重要的作用。因此，学好《复变函数》课程对于在校大学生和科学技术工作者是十分重要的，教学质量的高低、教学效果的好坏直接影响到学生对这门课程以及后续课程的学习。

作为高校的一门基础理论课程，《高等数学》占据着无与伦比的重要地位，它所蕴含的数学理念和数学方法深深影响着后续数学类课程和其他专业课程的学习，尤其对于与实变函数有着密切联系的复变函数而言更是如此。《复变函数》是《高等数学》的后续课程，是在实变函数的基础上延伸出来的一门课程，它们的联系是很紧密的，复变函数中的许多理论、概念和方法是实变函数在复数域的推广，所以它的许多概念和性质与《高等数学》中所学习的内容既有相同之处也有不同之处，它们的区别就在于前者是研究复数域上的函数，尤其是解析函数的性态，后者是研究实数域上的函数性态，这样我们在学习《复变函数》课程中就需要对比着《高等数学》的课程内容来进行学习了。由于《高等数学》中涉及到的新的概念比较多，许多学生对于这些概念没有具体化的认识，比如极限的ε-δ概念、定积分的概念等，我们需要的也不仅仅是学生了解这个概念就行了，而是要让学生应该能够完全理解这些概念的本质，了解其所蕴含的本质含义，进而能够抓住其精髓，从而进一步地把实变函数的概念、性质等推广到复变函数上来，抓住其本质后就能够具体地了解哪些性质是与实变函数相同的，不需要再重新掌握；而哪些性质并不是其本质性质，需要重新给定义一下。

而在进行《高等数学》教学过程中，有同学问到很多类似的问题，这些问题用高等数学知识是没有办法解释的，也举不出有效又简单的实例，但是如果用《复变函数》的结果去解释，学生就很容易接受了，所以我们是否可以认为，在大学时期的《高等数学》教学中可以把《复变函数》穿插在《高等数学》教学中去讲授呢？尤其是针对一些采取了《高等数学》分级教学的学校，对于那些对数学要求较高的院系，一般是在大学一年级学习一年《高等数学》，在大学二年级开设《复变函数》，但是讲解《复变函数》的时候，学生的《高等数学》知识都忘得差不多了，有近一小半的课堂时间是在给学生复习《高等数学》的知识，这样就大大降低了课时的利用率，那么应该如何把《高等数学》的教学内容与《复变函数》内容更有效地结合起来就成了现在需要解决的问题。下面从几个方面简单说明一下把《高等数学》的教学内容与《复变函数》内容结合起来讲授的必要性。

一、基本初等函数

对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这五类基本初等函数而言，学生在初等数学中的接触是比较多的，而在《高等数学》中也是用的比较多的，所以在大学一年级刚开始讲解《高等数学》时，一般都会再给学生复习一下这些函数的一些相关公式和性质，尤其是现在初等数学中已经把余切函数、正割函数、余割函数以及反三角函数的部分内容给删除了，所以会重新给学生补充这部分的内容。而在讲解《复变函数》的时候，我们可以再一遍地重新定义这五类基本初等函数，讲解了他们的基本性质，如果能够对照着讲解，其实讲一遍就可以了，然后说明当《复变函数》里面的f（z）中的z限制在实数范围内时，其实就是《高等数学》中所讲解的基本初等函数了，然后把在实数范围内和复数范围内所具备的不同性质做一个对比，比如指数函数的周期性、三角函数的有界性等在实变函数和复变函数中的不同的性质专门强调一下，通过类比和对比，相信学生能够更快、更好地掌握这些基本初等函数的性质。

二、多元函数极限

在讲解《复变函数》中的极限定义的时候，很容易能够发现其实这个定义和二元函数极限的定义本质上是完全相同的，而且通过证明我们发现，要讨论一个复变函数w=f（z）的极限和连续性就需要讨论两个二元函数u=u（x，y）和v=v（x，y）的极限和连续性，所以如果在讲解《高等数学》二元函数极限定义的时候教师可以提一句。《复变函数》这一部分函数的极限完全可以用十分钟的时间展示给学生，再给出几道相关的例子，用实际例子来展示其共性，因此根本就不需要在大学二年级开设《复变函数》课程的时候再单独讲解这部分内容，同时讲之前还需要再给学生复习一下多元函数的极限这部分内容。这一部分完全可以合并到一起作为一个知识点。

三、导数

虽然从形式和求导公式、求导法则上复变函数w=f（z）和一元函数y=f（x）完全相同，但是由于极限的要求不同，在复变函数w=f（z）的导数定义中，Δz→0的方式是任意的，而在一元函数y=f（x）的定义中，Δx→0的方式要简单的多，所以说，复变函数在一点可导的条件下更为严格，从而复变函数的导数具有不少特殊的性质。而Δz→0的方式是任意的，我们在这里可以理解为类似于二元函数的极限中（x，y）→（x0，y0）的方式是任意的，而在前面我们有了多元函数极限定义之后再来解释复变函数w=f（z）的导数定义就更容易解释了。在导数定义的基础上复变函数还给出了解析函数的定义，解析函数的性质要比可导函数的性质更实用、更广泛。比如说：解析函数的导数仍然解析。这条性质对于《高等数学》中函数的导数简直是不可思议的一个结论，因为可导函数的导数连续我们都不能保证，更不要提可导函数的导数这个概念了。而且在《高等数学》中，有很多函数也是具备解析这个性质的，那么在对比《复变函数》中的一点可导和在《高等数学》中的一点可导的性质的时候就要区分是在实数域中讨论还是在复数域中讨论，从而提醒学生在搞科学研究与实际结合的时候要注意其使用区域。同时在《复变函数》中有了有关解析函数的相关结论，对于一个解析函数我们就可以无限求导下去，而且后面设计到的泰勒级数的展开条件就可以忽略不计了，不需要像在《高等数学》中的泰勒级数展开的时候一样再强调要求函数具有无限阶的导数才能写出其泰勒级数了。endprint