基于自构建动系的点的合成运动问题分析与求解

马银华 杨庆国

摘要：针对理论力学课程中合成运动的求解问题，提出了自构建动系的概念和分析方法，并通过两个实例，对比了常规解法与自构建动系解法。结果表明，动系并非必须建立在实际存在的已知刚体上，而是可以在易于确定相对运动轨迹的基础上，通过虚拟刚体（或点）来自行构建动系，并根据需要设定动系的运动规律（动系可建立于一点上，动系的运动特征自行设定），增加了合成运动问题中动系选择的灵活性。自构建动系法丰富了合成运动的分析和求解方法，具有重要的意义和参考价值。

关键词：合成运动；动点；动系；虚拟刚体；自构建动系

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）36-0192-03

合成运动是理论力学运动学部分的一个重要内容，既是教学重点也是教学难点，能否恰当合理地选择动点、动系，是求解合成运动问题的关键。

动点和动系的选择应该遵循一定的原则：（1）动点、动系必不能固结于同一刚体（相对运动必须存在）；（2）动系和静系也不能固结于同一刚体（牵连运动必须存在）；（3）相对运动轨迹应易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）；（4）动系的运动形式应该是已知的；（5）绝对运动最好是已知和简单的。其中，（1）和（2）是必须原则，其余几条是恰当原则。也就是说，前两条原则是必须要遵循的，而其他原则如果遵循，则求解就会较为简单，否则可能会较为复杂。

综上可知，在不违背必须原则的基础上，动点和动系的选择是具有灵活性的，有时甚至可以根据需要来设定专门或特定的动点和动系。例如，动点不一定是运动的点，基于动与静的相对关系，在某些情况下，可以选择静止的点作为动点进行分析。同样，动系的选择也不必固结于题目给出的已知刚体或实际刚体上，我们完全可以自行构建一个虚拟的运动刚体，并将动系固结于其上，但前提是，这样做能够便于各种运动分析以及能够获取足够的求解已知条件。本文将对这种自行构建动系的概念及方法进行阐述，并结合实例，分析其在合成运动的速度和加速度求解问题中的应用。

一、自构建动系

现有教材在合成运动问题的分析和求解时，都是将动系固结于某一实际存在的运动刚体上（题目给出的已知刚体），动系相对于静系的牵连运动，即为该已知刚体的运动。而动系是否能够固结于一个实际并不存在的刚体（或者虚拟刚体）上呢？关于这一问题，现有教材并没有明确提及。虽然理论上动系是可以任意选择的（遵循上述必须原则的前提下），但对于一个实际并不存在且运动情况未知的刚体，一般难以去思考将动系建立在其之上。因此，在现有教材的知识内容设计及以此为基础的大纲教学背景下，会使学生这样来理解：动系必须建立在已知的或实际存在的运动刚体上。显然，这样理解是错误的，它制约了对于合成运动问题分析和求解新方法的探索。

事实上，在选择动系时，并不一定要将其固结于某一实际存在的运动刚体之上，在不违背动点、动系选择的必须原则下，动系完全可以灵活选择。比如，在选定动点后（动点的绝对运动轨迹已知），为了便于相对运动轨迹的直观确定，可以将动系固结于一个我们自行构建的虚拟运动刚体上，该刚体的运动形式和运动条件，可以根据需要自行设定。由于动系固结于该虚拟刚体，该虚拟刚体的运动就是动系的运动，因此，我们只需要选定一个运动的点为基点（该点不同于绝对运动中的“动点”），以该基点为原点建立一个动坐标系，并设定动系做平动或转动，即动系可以随着基点平动（直线平动或曲线平动）、平面运动或其他形式的运动。需要强调的是，理论上自构建动系的运动形式可以任意设定，但为了便于分析和求解，应以容易确定相对运动的轨迹为原则。

在不清楚自构建动系运动条件的情况下（随已知运动点做平动的自构建动系除外），合成运动自然无法进行分析，但由于点的速度合成定理及加速度合成定理具有瞬时性，因此在我们自构建动系时，只需设定其在合成运动分析瞬时具有某一瞬时的运动特征值，而这一运动特征值是题目中已知的或根据条件能够求解的。这样一来，当我们选定运动情况已知的点为动点，自行构建运动特征已知的动系后，绝对运动、相对运动和牵连运动就都十分清晰了，合成运动的速度和加速度合成关系就可以顺利建立起来了。需要指出的是，自构建动系这一方法并不一定是所有解题方法中最简单的，对有些问题来说，该方法甚至可能会给分析带来一定的难度，但是，从拓展合成运动的分析思路和丰富求解方法的角度来看，自构建动系作为一种新思路和新方法，是具有重要意义和参考价值的。

二、实例应用与对比分析

（一）例题一

如图1所示，曲柄OA长0.4m，以等角速度ω=

0.5rad/s绕O轴逆时针转动。由于曲柄的A端推动水平板B，而使滑杆C沿竖直方向上升。求当曲柄与水平線间的夹角θ=30°时，滑杆C的速度和加速度是多少？

分析：对于有不变接触点的约束联系机构，通常是以该不变接触点作为动点，即动点始终为两个运动部件的接触点，这样分析会很方便。基于此，该题的动点应该选择为OA杆上的A点，动系固结于刚体BC上（具体求解过程见解一）。如果选择BC上的A为动点，动系固结于实际存在的刚体OA杆上（牵连运动为定轴转动），则相对运动的轨迹难以确定，给求解带来了麻烦，且在加速度分析中会涉及科氏加速度，易使学生出错。但是，如果我们采用自构建动系的方法，将OA杆上的A点设为动系原点，建立动系并设定动系一直做平动（即虚拟一个包含OA杆上A点在内的平动刚体，动系固结于该虚拟刚体上，牵连运动为曲线平动），这样一来就可以使得相对运动的轨迹十分清晰。同时，由于牵连运动为平动，不存在科氏加速度，使得加速度的分析和求解非常方便（具体求解过程见解二）。

解一：

动点：OA杆上的A点。

动系：固结于刚体BC上（图略）。

定系：固结于支座O上（图略）。

运动分析：绝对运动为以O为圆心的圆周运动，相对运动为水平直线运动，牵连运动为竖直直线平动。

速度和加速度分析：根据速度合成定理v=v+v和加速度合成定理a=a+a，做速度合成图及加速度合成图，见图2所示。

由图2的合成关系可得：v=vcosθ，a=asinθ，其中：v=·ω，a=·ω.

计算可得滑杆C的速度和加速度分别为：

v=v=vcosθ=0.4×0.5×cos30°=0.173m/s（↑）

a=a=asinθ=0.4×0.5×sin30°=0.05m/s（↓）

解二：

动点：BC刚体上的A点。

动系：以OA杆上的A点为原点，建立作平动的动系Ax′y′（图3）。

定系：固结于支座O上（xy）。

运动分析：绝对运动为竖直直线运动，相对运动为水平直线运动（动点始终在动系的x′轴上运动），牵连运动为随OA杆上A点运动的曲线（圆周）平动。

速度和加速度分析：根据速度合成定理v=v+v和加速度合成定理a=a+a，做速度合成图及加速度合成图，见图4所示。

由图2的合成关系可得，v=vcosθ，a=asinθ.其中：牵连点与OA杆上A点的速度、加速度相同，即v=·ω，a=·ω.

计算可得滑杆C的速度和加速度分别为：

v=v=vcosθ=0.4×0.5×cos30°=0.173m/s（↑）

a=a=asinθ=0.4×0.5×sin30°=0.05m/s（↓）

总结：解一是最常规的解题方法，解二采用了自构建动系的方法。对于此题，两种方法的分析和求解难易程度相同。但是，如果以BC上的A为动点，动系固结于实际存在的已知刚体OA杆上，则相对运动轨迹不易判断，在分析和求解时，需要利用坐标转换，同时涉及科氏加速度，较为复杂。与之相比，解二中的自构建动系方法可使问题大大简化。

（二）例题二

如图5所示，已知：凸轮半径为r，速度为v，θ=30°，杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。

分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此，一般认为两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。通过观察机构的运动特征，以凸轮圆心C为动点，动系固结于OA杆上，这是最常用的方法，该方法的难点在于牵连速度的确定（具体求解过程见解一）。实际上，当我们采用自构建动系的方法时，以两物体的接触点为动点进行分析，也可以使问题易于求解（具体求解方法和过程见解二）。

解一：

动点：凸轮圆心C点。

动系：固结于OA杆上（图6）。

定系：固结于支座O上（图略）。

运动分析：绝对运动为水平向右直线运动，相对运动为平行于OA的直线运动（点C到OA杆的距离始终为半径r），牵连运动为定轴转动。

速度分析：根据速度合成定理v=v+v，做速度合成图，见图6所示。

由图6的合成关系可得，v=vtanθ，其中：v=v，v=OC·ω.

求解得：ω=v/=vtanθ/2r=v/6r（顺时针）

解二：

动点：以OA杆上与凸轮接触的D点为动点。

动系：在杆与凸轮接触点处虚构一个微小套环，在机构运动过程中，套环始终在两物体的接触点处。以微小套环为动系原点（O′），建立随套环运动并绕套环转动的动坐标系（O′x′y′），同时设定动系转动的角速度与OA杆的角速度始终相同（见图7）。

定系：固结于支座O上（Oxy）。

运动分析：绝对运动是以O为圆心的圆周运动，相对运动是沿OA方向的直线运动（动点D始终在动系的y′轴上），牵连运动是平面运动（随O′移动的同时还在转动）。

速度分析：在牵连运动为平面运动时，速度合成定理v=v+v仍然成立（该矢量式适用于牵连运动为任意运动）。其中，v是指动系上与动点位置重合的点的绝对速度，也就是图示θ=30°时的套环速度v，即v=v。

套环的速度可按合成运动知识计算，以套环作为动点，动系建立在凸轮上（动点的相对运动为绕C点的圆周运动，牵连运动为凸轮的水平直线平动），可知v=v+v（分析可知套环O′绕C点转动的角速度与OA杆的角速度相同）。

综上分析可得：v=v+v+v，其中v=v，v=·ω，速度合成关系见图8。

将矢量方程v=v+v+v在y′轴方向进行投影，得到：v=vsinθ=v/2.

因此，ω=v/OD=v/（r·ctgθ）=v/6r（顺时针）

总结：采用常规方法求解该题时，最重要的是能够找到C点作为动点，判断出相对运动轨迹，同时要正确理解牵连速度的方向和大小。当采用自构建动系的方法时，可以基于接触点来自构建动系并设定动系的运动特征，丰富了分析和求解方法。对该题来说，采用自构建动系方法的主要难点在于能否正确构建动系，并给出速度合成定理的展开式（尤其是牵连速度的矢量表达式），即重点、难点在于分析思路和分析过程，而求解是很简单的。附注：该题的加速度分析同样可以利用自构建动系的方法，本文不做讨论。

三、结语

针对点的合成运动中动系选择方法的不明确性问题，本文提出了自构建动系的概念及其方法，通过两个实例的分析及求解对比，证明了自构建动系方法的可行性。这一方法的提出，明确了动系选择的灵活性，丰富了合成运动问题的分析和求解方法。对于某些特定动点的问题，采用该方法比常规方法更为简便。在现有教材的知识内容设计及以此为基础的教学大纲背景下，自构建动系方法的提出具有重要意义和参考价值。

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