微分中值定理的推广形式

刘期怀

摘要：函数的可微性与定义域的凸性是中值定理成立的两个本质条件，本文我们将微分中值定理推广到多元可微函数的情形。最后，我们将介绍微分中值定理的一个统一公式，该公式适用于所有的Lipschitz连续函数。

关键词：微分中值定理；Lipschitz连续；Clarke梯度

中图分类号：O178 文献标志码：C 文章编号：1674-9324（2015）28-0182-02

1 引言

微分中值定理是高等数学微分学中最重要的定理之一，也是数学分析中的基本内容。关于微分中值定理的研究有很多方面，主要涉及它的推广形式及其应用。在文献[1]中，作者利用平面几何中曲线之间的相切关系不依赖于坐标轴的选取这一基本事实对微分中值定理进行了几何上的解释；文献[2]把微分中值定理推广到连续的一元凸（或者凹）函数上去，给出了微分中值定理更加一般的形式。众所周知，欧式空间上的凸（或者凹）函数具有局部Lipschitz连续性。下文中我们首先将微分中值定理推广到多元可微函数上去，并且通过结果指出，函数的可微性与定义区域的凸性是中值定理成立的两个本质条件。最后，我们将介绍微分中值定理的一个统一公式，该公式可适用于所有的Lipschitz连续函数。

在本文中，我们始终假设A为欧式空间R上的开集，函数u（x）为A上的实值连续函数。对于任意给定的x，y∈A，记[x，y]？奂A为连接x，y线段上所有的点构成的集合。

2 多元函数微分中值定理

定理1：设u：A→R为可微函数，对于任意给定的x，y∈A，如果[x，y]？奂A，则存在ξ∈[x，y]满足u（y）-u（x）=Du（ξ）·（y-x）.

证明：定义函数F：[0，1]→R为F（t）=u（ty+（1-t）x），则F为[0，1]上的连续函数，且在（0，1）内可导。由Lagrange中值定理可知，存在一点τ∈（0，1）

参考文献：

[1]曾可依.从几何的角度看微分中值定理[J].大学数学，2014，（02）：108-111.

[2]王良成，白海，杨明硕.关于Lagrange微分中值定理的逆问题[J].大学数学，2012，（05）：140-143.

[3]P. Cannarsa and S. Carlo，Semi-concave functions，Hamilton-Jacobi equations，and optimal control [M]. Springer，2004.

[4]F. H. Clarke，Optimization and non-smooth analysis [M]. Wiley，New York，1983.endprint