2015年高考导数压轴题解题探究

孙丽娟

【考点介绍】

1.导数与函数单调性、极值、最值的直接应用.

2.交点与根的分布.

3.不等式证明：（1）作差证明不等式；（2）变形构造函数证明不等式；（3）替换构造不等式证明不等式.

4.不等式恒成立求字母范围（“两分法”）：（1）恒成立之最值的直接应用；（2）恒成立之分离参数；（3）恒成立之讨论字母范围.

5.导数与函数性质的综合运用.

6.导数与三角函数结合.

【常用结论记忆】

1.sin x

2.ex>x+1，x>0.

3.x>ln（x+1），x>0.

4.ln x0.

【例题讲解】

（一）导数与函数单调性、极值、最值的直接应用

（最值间接应用）已知二次函数g（x）对？坌x∈R都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1，设函数f（x）=g（x+ ）+mln x+ （m∈R，x>0）.

（1）求g（x）的表达式.

（2）当m=e时，求曲线f（x）在点（e，f（x））处的切线方程及函数f（x）的单调区间.

（3）若？埚x∈R+，使f（x）<0成立，求实数m的取值范围.

（4）若x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围.

（5）设1

（6）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围.

（二）交点与根的分布

（交点个数与根的分布）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点.

（1）求a.

（2）求函数f（x）的单调区间.

（3）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围.

（4）已知函数g（x）=f（x）-16ln（1+x）- x3+（m2+9）x有三个互不相同的零点0、x1、x2，且x1f（1）恒成立，求m的取值范围.

（三）不等式的证明（作差法、变形构造函数法、替换构造函

数法）

（最值、作差、变形构造函数、替换构造函数）已知函数f（x）=

ln（x+1）-x.

（1）求函数f（x）的单调递减区间.

（2）若x>-1，求证：1- ≤ln（x+1）≤x.

（3）已知函数g（x）=（a+1）f（x-1）+ax2+x，设a<-1，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），g（x1）-g（x2）≥4x1-x2，求a的取值范围.

（4）证明：1+ + +…+ >ln（n+1）> + +…+ + .

（四）不等式恒成立求字母范围

1.（直接法）已知函数f（x）=x+ +b（x≠0），其中a，b∈R.

（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式.

（2）讨论函数f（x）的单调性.

（3）若对于任意的a∈[ ，2]，不等式f（x）≤10在[ ，1]上恒成立，求b的取值范围.

2.（分离常数，二阶导数）已知函数f（x）=ex- -ax-1（其中a∈R，

e为自然对数的底数）.

（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程.

（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

（3）当x≥0时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

3.（分离常数）已知函数f（x）= （x>0）.

（1）试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明你的结论.

（2）若f（x）≥ 恒成立，求整数k的最大值.

（3）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n-3.

4.（分离常数，取对数）已知函数f（x）=ln2（1+x）- .

（1）求函数f（x）的单调区间.

（2）若不等式（1+ ）n+a≤e对任意的n∈N*都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值.

5.（分离参数，分类讨论）已知函数f（x）= + 在点（1，

f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

（1）求a，b的值.

（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）> + ，求k的取值范围.

（五）导数与函数的综合应用

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b<1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）= .

（1）求a，b的值.

（2）不等式f（2x）-k·2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的范围.

（3）方程f（2x-1）+k（ -3）=0有三个不同的实数解，求实数k的范围.

（六）导数与三角函数结合

已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sin x是区间[-1，1]上的减函数.

（1）求λ的最大值.

（2）若g（x）

（3）讨论关于x的方程 =x2-2ex+m的根的个数.

编辑 韩 晓