低渗透油藏水驱动态裂缝数学模型及数值模拟

范天一，宋新民,，吴淑红,，李巧云,，王宝华,，李小波,，李华,，刘海龙

（1.北京大学地球与空间科学学院；2.中国石油勘探开发研究院；3.提高石油采收率国家重点实验室）

低渗透油藏水驱动态裂缝数学模型及数值模拟

范天一1,2，宋新民2,3，吴淑红2,3，李巧云2,3，王宝华2,3，李小波2,3，李华2,3，刘海龙2

（1.北京大学地球与空间科学学院；2.中国石油勘探开发研究院；3.提高石油采收率国家重点实验室）

基于低渗透油田资料，提出了动态裂缝的概念并分析动态裂缝起裂、延伸、趋于闭合的演化过程，建立了可以描述裂缝形态及属性动态变化的数学模型并编制油藏数值模拟软件。数值模拟表明，注入压力高于地层破裂压力时动态裂缝随即起裂，此后逐步向前延伸，与地层压力和注入量呈周期性变化；实施温和注水后，动态裂缝在较长时期内仍维持开启，随后裂缝整体迅速趋于闭合，说明动态裂缝受生产动态因素影响明显。动态裂缝的存在使注入水沿着裂缝窜进，随着动态裂缝的逐步延伸，注入水形成狭长的驱替范围，造成水驱严重不均衡，加剧低渗透储集层的非均质性，同时显著影响各方向油井的含水上升规律。但动态裂缝对注采井间有效驱替系统的建立起着积极作用。图7参11

低渗透油藏；注水开发；动态裂缝；三维三相渗流模型；油藏数值模拟；水驱规律

0 引言

低渗透油藏通常具有孔隙度和渗透率低、孔喉细小、孔隙结构复杂、存在启动压力梯度以及天然能量不足等特点[1]。因此，为克服启动压力梯度，及时补充天然能量，通常采用高压注水、超前注水等方式开发。但由于储集层物性差，导致注水井周围地层压力不断升高。当压力达到某一极限时，地层中产生微裂缝[2]，这些裂缝在特定的注水条件下不断延伸，形成动态裂缝。动态裂缝的产生使油井存在暴性水淹的危险，影响油田的开发效果及剩余油的分布。

在目前的油藏数值模拟中，常用描述裂缝的数学模型有等效连续介质模型、离散裂缝模型、双重介质模型等，这些模型可有效地模拟储集层中的天然裂缝

以及压裂裂缝等静态裂缝，而对于动态裂缝，则难以准确描述。为此，本文建立了可描述裂缝形态及属性动态变化的新模型，并通过与黑油模型[3-5]耦合，进一步模拟动态裂缝的演化过程，研究动态裂缝演化机理及其对油田开发的影响。

1 动态裂缝

1.1 动态裂缝概念的提出

鄂尔多斯盆地安塞油田、松辽盆地头台油田等低、特低渗透油田开发初期的地质资料显示，储集层中并无明显裂缝发育，但随着油田开发的不断深入，生产动态资料表现出受裂缝影响的开发特征。新近研究[6]表明，造成上述现象的主要原因是受动态裂缝影响，即：在低渗透储集层中，由于其吸水能力差，致注水井周围形成憋压，诱导裂缝产生并不断延伸扩展。动态裂缝与天然裂缝、压裂裂缝不同之处在于其形态及属性随时间不断变化，且受注入压力、注采比等开发因素影响明显。

1.2 动态裂缝的演化

研究油田地质、生产资料发现，动态裂缝不仅在微裂缝发育的低渗透油藏中极为发育，在微裂缝不发育的区块也同样存在。当注水井注入压力达到天然闭合缝的开启压力或者地层的破裂压力时，动态裂缝便会起裂。起裂后在较低的延伸压力下向前延伸，延伸方向通常为最大主应力方向。通过监测压裂注水井发现，动态裂缝可在原有压裂裂缝的基础上继续延伸。此外，当地层压力降低时，动态裂缝会趋于闭合。例如安塞油田某区块实施温和注水等措施后，地层压力明显降低，油井水淹情况得到明显改善，换油率显著提高，说明已形成的动态裂缝发生闭合。

综上，把动态裂缝的演化分为起裂、延伸、趋于闭合3个阶段，其演化过程十分缓慢，通常持续几年甚至几十年，贯穿整个油藏的开发过程。动态裂缝的演化受地层压力、应力、岩性以及流体性质等因素的共同影响，其中地层压力是主控因素。

2 动态裂缝的数学模型

2.1 动态裂缝形态表征

根据油藏实际情况，可把动态裂缝的高度看成是一个常量，而动态裂缝的宽度较小，流体在裂缝横断面上的流动可以忽略，因此，把动态裂缝模型简化成其在长度上的演化。裂缝半长可表示为：

动态裂缝的延伸由地层压力决定。数值模拟时首先指定动态裂缝的延伸方向，然后逐个判断该方向网格当前时间步的地层压力是否超过临界压力（裂缝起裂、延伸及闭合的临界压力）。如图1所示，n+1时刻与n时刻相比，动态裂缝向前延伸一个网格长度。动态裂缝长度的变化由以下准则判断。

①p≥pc，裂缝向前延伸，裂缝半长为：

②p≤pmin，裂缝前端闭合，裂缝半长：

③pmin

图1 动态裂缝延伸示意图

2.2 动态裂缝渗透率模型

在动态裂缝演化过程中，其属性也发生动态变化，在油藏数值模拟中，需考虑的最关键因素是渗透率的变化。动态裂缝的渗透率随地层压力的变化而变化。许多学者通过室内实验和工程实践研究了岩石应力应变与渗透率的关系：姜振泉等[7]对充水条件下岩石三轴压缩荷载实验的研究结果表明，岩石发生破裂时，其渗透率表现出突然增大的突跳现象，突跳前后渗透率的最高值与最低值相差1～2甚至3～4个数量级；此外，王海洋等[8]对岩石应力敏感性实验的研究结果表明，岩石渗透率随有效应力的增加不断下降，其下降速度逐步减缓最后趋于定值；当有效应力不断下降时，岩石渗透率随之上升，由缓变快，变化趋势与有效应力增加阶段相反，但渗透率只能恢复到初始值的50%～80%。根据上述岩心实验结果，以及有效应力与地层压力的关系[9]：

建立了动态裂缝渗透率随地层压力变化的关系（见图2）。当地层压力逐步上升时，初始阶段渗透率为一定值；当地层压力达到动态裂缝的起裂压力时，动态裂缝产

生，渗透率发生突跳；尔后，随地层压力的继续升高，渗透率逐步上升，上升速度由缓变快（见图2中Ki→A→B→C段）。地层压力上升阶段渗透率的函数为：

图2 动态裂缝渗透率与地层压力的关系

当地层压力逐步减小时，裂缝渗透率逐步下降，下降速度由快变缓，变化趋势与地层压力上升阶段相反，最后趋于定值（见图2中C→D→Kmin段）。Kmin通常高于裂缝的初始渗透率而略低于裂缝起裂时的渗透率，此时对应的地层压力即为动态裂缝的闭合压力。地层压力下降阶段渗透率的函数为：

另外，周文等[10]关于裂缝开启及闭合压力的实验研究结果显示，裂缝闭合时的地层压力比开启压力略小，且由于应力敏感等因素，地层压力下降阶段渗透率下降幅度比地层压力上升阶段渗透率上升幅度大。由此，根据前人对地层压力上升、下降过程中岩石渗透率变化规律的研究，建立了动态裂缝渗透率模型：

2.3 运动方程

根据动态裂缝渗透率模型，并考虑裂缝中流体重力的影响，即可建立裂缝中流体的多相渗流运动方程：

3 考虑动态裂缝的低渗透油藏数学模型

3.1 基本假设

①油藏中流体为油、气、水3相；②烃类只有油、气两个组分，不考虑油组分向气相的挥发，而气组分可以以溶解气的方式存在于油相内；③油藏中气体的溶解和逸出是瞬间完成的，即认为油、气两相瞬时达到相平衡状态；④油、水两相互不相溶；⑤气相不溶于水相中；⑥油藏中的渗流为等温渗流。

3.2 数学模型

在黑油模型的基础上加入描述裂缝中流体渗流的方程组用以模拟动态裂缝的演化。由裂缝中流体的运动方程（6）—（8）式，结合质量守恒方程并考虑裂缝系统与基质系统的流体交换即可得到裂缝系统三维三相渗流基本微分方程：

由于动态裂缝渗透率为地层压力的函数，因此，可根据当前网格地层压力来判断动态裂缝所处的演化状态，并计算出相应的渗透率值。同样，考虑流体交换，建立基质系统三维三相渗流基本微分方程：

其中，σm通常可由Kazemi公式计算[11]：

（9）—（14）式即为考虑动态裂缝的低渗透油藏渗流基本微分方程，再加上辅助方程以及边界条件、初始条件便构成了考虑动态裂缝的低渗透油藏的数学模型。

4 数值模拟结果及讨论

4.1 动态裂缝演化与压力和注入量的关系

采用有限差分法将上述数学模型离散，并进行全隐式处理以增加方程组求解过程中的稳定性，编制了油藏数值模拟软件。以1口注水井1口采油井的注采单元为例，研究动态裂缝的演化。模拟参数取自安塞油田的实际数据：基质孔隙度14%，基质渗透率2.99×10−3μm2，裂缝孔隙度1%，裂缝初始渗透率与基质相同，油水黏度分别为4.9 mPa·s和0.5 mPa·s，油藏温度44.2 ℃，油藏初始压力9.6 MPa，最大注入压力26.2 MPa，裂缝起裂压力20.7 MPa，裂缝闭合压力18.9 MPa，井距300 m，注水井最大注入量4 m3/d，油井最大产液量4 m3/d。注水井初期为定压注水，生产600 d时改变生产制度，实施温和注水，注入量降至1 m3/d。采油井生产制度不变，共生产1 000 d。模拟采用31×31×1的网格系统，网格长度、宽度及高度均为10 m，基本时间步长为10 d。

4.1.1 动态裂缝演化与地层压力的关系

图3为裂缝长度与裂缝内平均压力的关系。生产开始时，注水井附近的地层压力迅速升高，当超过动态裂缝的起裂压力时，动态裂缝产生，随后裂缝内平均压力继续缓慢上升。当裂缝前端压力超过其延伸压力时，裂缝向前延伸一定长度，裂缝内累积的能量迅速释放，压力瞬间降低，随后随着注入水的累积，裂缝内压力再次缓慢上升，直到裂缝前端压力再次超过其延伸压力，动态裂缝再次向前延伸，如此反复。动态裂缝间歇式向前延伸的同时，裂缝内平均压力也呈现出明显的周期性变化（见图3）。随着动态裂缝长度的增加，裂缝内平均压力总体呈下降趋势。实施温和注水后，裂缝内压力迅速降低，但裂缝长度在较长时期内仍维持不变。当裂缝前端压力降至闭合压力以下时，动态裂缝前端开始闭合，裂缝一旦开始闭合，其整体闭合速度非常快。

图3 裂缝长度与裂缝内平均压力的关系

4.1.2 动态裂缝演化与注入量的关系

图4为裂缝长度与注入量的关系。动态裂缝起裂时，注入水瞬间充满裂缝，在保持注入压力恒定的情况下，注入量持续下降。裂缝向前延伸时，其吸水能力瞬间增大，注入量显著提升，尔后随着裂缝吸水逐渐饱和，注入量逐步下降，直到动态裂缝再次向前延伸，如此反复。动态裂缝间歇式向前延伸的同时，注入量也呈现出明显的周期性变化（见图4）。动态裂缝的产生，一定程度上增大了储集层的吸水能力，弥补了低渗透油藏渗透率低的不足。随着动态裂缝长度的增加，裂缝延伸对注入量的影响逐步减小，注入量起伏变缓，且由于整体地层压力的升高，注入量整体呈下降趋势。实施温和注水后，动态裂缝在较长时期内不闭合，可维持较高的导流能力，随后逐步趋于闭合，动态裂缝受生产动态因素影响明显。

图4 裂缝长度与注入量的关系

4.1.3 动态裂缝演化与井间压力的关系

低渗透油藏由于渗流阻力大、压力传导能力差，通常在注采井间难以建立有效的驱替系统。由图5可见，生产初期（10 d），注采井间压力梯度较小，流体难以流动，出现注不进、采不出的现象。而动态裂缝

的发育显著影响了注水井周围压力的传播，相当于缩短了注采井间的距离。以生产600 d时注采井间地层压力曲线为例，动态裂缝的延伸相当于把注采井间距离AC缩短至BC，因此，一定程度上解决了低渗透油藏由于存在启动压力梯度等因素而导致的难以建立有效驱替系统的问题。实施温和注水后，裂缝中的压力迅速下降，如图5中生产800 d时注采井间地层压力曲线所示，与生产600 d时的曲线相比，注水井附近压力下降幅度大于裂缝前端压力下降幅度（曲线拐点位置所对应的距离为动态裂缝延伸的长度），裂缝中压力重新分布趋于平衡，动态裂缝整体趋于闭合。

图5 注采井间压力变化

4.2 动态裂缝影响下水驱规律

将本文建立的动态裂缝模型与单一介质模型、等效连续介质模型以及双重介质模型对比，以1个反九点法面积注水单元为例，研究动态裂缝影响下面积井网的水驱规律。模拟采用61×61×1的网格系统，网格长度、宽度及高度均为10 m，基本时间步长为10 d，注水井注入量为15 m3/d，油井产液量为4 m3/d，其余参数设定与上节相同。

4.2.1 含水饱和度变化规律

图6为动态裂缝模型与单一介质模型含水饱和度分布模拟结果比较。动态裂缝起裂后，注入水沿着裂缝窜进，随着动态裂缝的逐步延伸，注入水形成狭长的驱替范围，使裂缝方向采油井含水率迅速上升，与单一介质模型生产相同时间含水饱和度分布明显不同（见图6）。动态裂缝的存在，加剧了低渗透储集层的非均质性，造成了水驱的严重不均衡，使动态裂缝方向上的油井存在暴性水淹的危险，并在一定程度上改变了注入水的平面波及系数，显著影响剩余油的分布。

图6 动态裂缝模型与单一介质模型含水饱和度分布比较

图7 不同模型油井含水率曲线对比

4.2.2 油井含水上升规律

在相同注采条件下，考虑动态裂缝的影响并采用不同模型进行模拟，结果见图7。由图7可见，双重介质模型计算得到的含水上升速度无论是沿裂缝方向还

是垂直裂缝方向均最快。应用等效连续介质模型（将动态裂缝等效为注水井周围一条大裂缝）时，注入水主要沿裂缝窜进，而垂直裂缝方向采油井受效不明显。采用动态裂缝模型计算时，裂缝方向采油井见水后含水率迅速上升，但是由于动态裂缝生长过程缓慢，见水时间比双重介质模型以及等效连续介质模型较晚，而垂直裂缝方向油井受动态裂缝影响较小，见水时间相对较晚，含水率上升速度相对较慢。在低渗透油藏中，产生动态裂缝的井组沿裂缝方向油井与垂直裂缝方向油井的生产动态资料反映出的含水上升规律均与本文模型的结果较为一致，因此认为该模型可以很好地模拟动态裂缝。

5 结论

通过对低渗透油田资料的整理分析，提出了动态裂缝的概念，总结了动态裂缝的起裂、延伸及趋于闭合的演化规律，认为地层压力是主控因素。

建立了可以表征动态裂缝形态的数学模型，同时建立了表征动态裂缝属性的动态渗透率模型，并给出了考虑动态裂缝的低渗透油藏基本微分方程，在油藏数值模拟中实现了对动态裂缝的演化以及其属性动态变化的模拟。

运用数值模拟方法阐明了动态裂缝的演化机理，模拟初期地层压力迅速提升达到地层的破裂压力，动态裂缝随即起裂。此后逐步向前延伸，延伸速度逐步减缓，其延伸与地层压力和注入量呈周期性变化。实施温和注水后，动态裂缝在较长时期内仍维持开启，随后裂缝整体迅速趋于闭合，表明动态裂缝受生产动态因素影响明显。

动态裂缝的存在使注入水的驱替范围变得狭长，造成了水驱的严重不均衡，加剧了低渗透储集层的非均质性，同时显著影响了各方向油井的含水上升规律。但是，动态裂缝对注采井间有效驱替系统的建立起着积极作用，因此，其在低渗透油藏的开发过程中有着双重作用。

符号注释：

Bg，Bo，Bw——气相、油相、水相地层原油体积系数，无因次；f1(p)，f2(p)——地层压力上升及下降阶段渗透率函数；g——重力加速度，m/s2；H——由某一基准面起算的深度，m；i——裂缝前端所在网格；iw——注水井所在网格；j——动态裂缝所在网格；Kc——动态裂缝起裂或延伸渗透率，μm2；Kf——裂缝渗透率，μm2；Ki——动态裂缝初始渗透率，μm2；Km——基质系统渗透率，μm2；Kmax——动态裂缝最大渗透率，μm2；Kmin——动态裂缝最小渗透率，μm2；Krg，Kro，Krw——气相、油相、水相相对渗透率，μm2；L——动态裂缝半长，m；Lx，Ly，Lz——基质岩块的长、宽、高，m；n——时间步；p——裂缝所在网格地层压力，MPa；pc——动态裂缝起裂或延伸的临界压力，MPa；pi——初始压力，MPa；pmax——最大地层压力，MPa；pmin——动态裂缝闭合的临界压力，MPa；Qg，Qo，Qw——气相、油相、水相产量，t；Rs——溶解气油比，m3/t；Sg，So，Sw——气相、油相、水相饱和度，%；t——时间，d；vg，vo，vw——气相、油相、水相渗流速度，m/s；α1，α2——地层压力上升、下降阶段应力敏感因子，无因次；β1，β2——地层压力上升、下降阶段渗透率系数，无因次；Δx——x方向网格步长，m； μg，μo， μw——气相、油相、水相黏度，mPa·s；ρg，ρo，ρw——气相、油相、水相密度，g/cm3；σ——上覆岩层应力，MPa；σ′——有效应力，MPa；σm——基质岩块的几何因子；φ——孔隙度，%；Φg，Φo，Φw——气相、油相、水相流动势，MPa/m。下标：f——裂缝；m——基质。

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[11]Gilman J R,Kazemi H.Improvements in simulation of naturally fractured reservoirs[R].SPE 10511,1983.

（编辑 郭海莉）

A mathematical model and numerical simulation of waterflood induced dynamic fractures of low permeability reservoirs

Fan Tianyi1,2,Song Xinmin2,3,Wu Shuhong2,3,Li Qiaoyun2,3,Wang Baohua2,3,Li Xiaobo2,3,Li Hua2,3,Liu Hailong2
(1.School of Earth and Space Sciences,Peking University,Beijing 100871,China; 2.PetroChina Research Institute of Petroleum Exploration & Development,Beijing 100083,China; 3.State Key Laboratory of Enhanced Oil Recovery,PetroChina Research Institute of Petroleum Exploration & Development,Beijing 100083,China)

Based on abundant data of low permeability oilfields,dynamic fractures were conceptualized and their evolution,including cracking,extending and closing,were analyzed.A new model that describes the dynamic changes of fracture shape and properties was established and a software module was developed.The simulation results show that dynamic fractures cracked once the injection pressure was higher than the formation fracture pressure,and then extended continually,which showed a periodic variation relationship with the formation pressure and the injection volume.After the moderate injection,dynamic fractures remained the open status in a relatively long time,but then the whole fractures tended to close quickly,and these phenomena indicate that the dynamic fractures were significantly affected by the production condition.The presence of dynamic fractures provides a channel for the injection water.With the gradual extension of dynamic fractures,the injection water forms a narrow range of displacement,which leads to the severe imbalance of water flooding,aggravates the heterogeneity of low permeability reservoirs,and significantly affects the water cut rising rules of wells in all directions.However,dynamic fractures also show a positive effect on the establishment of an effective displacement system between the injection wells and the production wells.

low permeability reservoir; waterflood development; dynamic fractures; three-dimensional three-phase flow model; reservoir simulation; waterflood performance

北京市“陆相沉积油藏数值模拟系统研制”（z121100004912001）；中国石油天然气股份有限公司“新一代油藏数值模拟软件”（2011A-1010）

TE348

A

1000-0747(2015)04-0496-06

10.11698/PED.2015.04.11

范天一（1985-），女，山东泰安人，北京大学与中国石油勘探开发研究院联合培养在读博士研究生，主要从事油藏数值模拟方面的研究工作。地址：北京市海淀区颐和园路5号，北京大学地球与空间科学学院，邮政编码：100871。E-mail: fanty0501@163.com

2014-08-25

2015-06-19