基于记录值的几何分布模型的Bayes可靠性分析

黄文宜

（宜春学院 数学与计算机科学学院，江西 宜春 336000）

纪录值一直被广泛应用到天气预报、地震预测、体育科学以及工程科学等领域［1］.记录值的统计推断研究成为统计研究的一个热点方向.基于记录值样本，Zhao等［2］研究了单双样本情形下的随机序问题；任海平等［3］在对称熵损失函数下得到了指数分布参数的最小风险同变估计、Bayes估计和经验Bayes估计，并讨论了一类线性形式估计cXU（n）＋d的可容许性和不可容许性问题；邢建平［4］利用Rukhin损失函数，将决策误差和统计判别法则结合起来，在共轭先验分布下讨论了指数分布参数的损失函数和风险函数的Bayes估计问题，并给出了相应Bayes估计为保守估计的条件.

由于很多离散型产品的寿命服从几何分布，从而几何分布作为一类重要的离散型分布在可靠性、信息工程、遗传学以及经济学等领域有着重要的应用.在完全样本场合下，徐晓岭等［5］研究了几何分布的近似区间估计及其与其他离散型分布的贴近度问题；井维兰等［6］讨论了几何分布串－并联系统产品参数的矩估计、极大似然估计和近似区间估计问题；针对不完全数据场合，王蓉华等［7－8］研究了几何分布参数的点估计问题；徐晓岭等［9］针对在开关寿命为几何型且开关失效时产品不立即失效的冷储备系统，讨论了几何分布参数的矩估计和极大似然估计问题；张栋栋等［10］针对产品有历史数据和历史数据缺失的情况下提出了一种求解几何分布可靠度置信限的K因子法；熊常伟等［11－13］分别在熵损失、加权平方损失和一类非对称损失函数下研究了几何分布可靠度的Bayes以及多层Bayes估计问题.

在贝努里试验中，设R为每次试验成功的概率（可靠度），若进行了x＋1次试验，前x次试验成功但第x＋1次试验不成功的概率为

称随机变量X服从几何分布，其中：R（0＜R＜1）为几何分布的可靠度.

作者将基于记录值样本，在平方误差损失和一类新的加权平方损失函数下研究几何分布（1）可靠度R的Bayes估计问题.

1 最小方差无偏估计

定义［1］设X1，X2，…为来自总体X的独立同分布随机变量序列，总体X的分布函数为F（x；θ），密度函数为f（x；θ）.若对于任意给定的n≥1，记

称XU（n）为第n个上记录值，相应的U（n）称为第n个记录时间.

设X1，X2，…为来自几何分布（1）的独立同分布的随机样本，并假定观测到的前n个上记录值样本为XU（1），XU（2），…，XU（n），相应的样本观察值为xU（1），xU（2），…，xU（n），则给定XU（1）＝xU（1），XU（2）＝xU（2），…，XU（n）＝xU（n）后，可靠度R的似然函数为［1］

由式（1）得

将式（3）代入式（2）得

令L′（R；x）＝（1－R）n－1RxU（n）－n［－nR＋（1－R）（xU（n）＋1－n）］＝0，解得可靠度R的最大似然估计为

由式（4）易知，随机变量T＝XU（n）＋1服从负二项分布NB（n，R），相应的分布律

从而G（T）为可靠度R的无偏估计量，又由（4）式可知随机变量T＝XU（n）＋1为可靠度R的充分统计量，故G（T）为可靠度R的最小方差无偏估计量，将其记为，即

2 Bayes估计

在实际应用中，工程师或专家会基于经验或以往试验数据，给出参数的一些先验认识，而这些先验知识通常可以用参数的先验分布来表示.对于几何分布，在Bayes统计中应用最广的是共轭贝塔分布.于是也假设可靠度R具有共轭贝塔共轭先验分布Beta（a，b），相应的概率密度函数为

其中：a，b＞0为超参数.

在Bayes估计的讨论中，将在如下两类损失函数下讨论：

（1）平方误差损失函数

在平方误差损失函数（8）下，可靠度R的Bayes估计为其后验期望，即

其中：X＝（XU（1），XU（2），…，XU（n））.

（2）一类新的加权平方损失函数

损失函数（9）将参数的取值范围考虑到损失函数中，因而比通常的平方误差损失函数更为合理.在损失函数（9）下，可靠度R的Bayes估计为［14］

定理 设X＝（XU（1），XU（2），…，XU（n））为来自几何分布（1）的前n个上记录值，x＝（xU（1），xU（2），…，xU（n））为相应的样本观察值，T＝XU（n）＋1，则

（i）在平方损失函数（8）下，可靠度R的Bayes估计为

（ii）在加权平方误差损失函数（9）下，可靠度R的Bayes估计为

证明 由式（4）和（7），根据Bayes定理，得到可靠度R的后验概率密度函数为

从而R｜X服从贝塔分布Beta（a＋T－n，n＋b）.

（i）在平方误差损失函数（8）下，可靠度R的Bayes估计为

（ii）在新的加权平方损失函数（9）下，可靠度R的Bayes估计为

定理得证.

3 结束语

为比较论文得到的Bayes估计与最大似然估计及最小方差无偏估计进行比较，采用Nelson［15］的关于某电子绝缘液耐压强度检测的例子进行说明.在34kV电压下，Nelson测得该种绝缘液的19个样品的被击穿时间.Nelson实验电子绝缘液的耐压强度时间分布通常采用指数分布拟合.根据指数分布和整数分布的关系，由一个指数数据观测值的整数部分构成几何数据.来自几何分布的前6个上记录值样本观察值为x＝（xU（1），xU（2），…，xU（6））＝（4，8，31，33，36，72）［16］，计算T＝xU（6）＋1＝73，则参数θ的最大似然估计＝0.917 8，θ的最小方差无偏估计＝0.930 6，R的Bayes估计值见表1.

表1 不同先验参数下几何分布可靠度R的Bayes估计值Tab.1 Bayes estimation of geometric distribution reliability under different prior parameters

论文在给定几何分布记录值样本的情形下，导出了在平方误差损失和一类加权平方损失函数下可靠度的Bayes估计，并通过例子给出了估计值的结果.从表1可以看出，超参数（a，b）的值对Bayes结果的影响不是很大，在加权平方损失函数下得到的Bayes估计更加接近可靠度的最小方差无偏估计，于是在应用Bayes估计时建议采用估计.

［1］Ahsanullah M.Record values－theory and applications［M］.Lanham：University Press of America，2004.

［2］Zhao P，Li X H，Li Z P.Stochastic comparisons of spacings of record values from one or two sample sequences

［J］.Statistics：A Journal of Theoretical and Applied Statistics，2008，42（2）：167－177.

［3］任海平，任治国.基于对称熵损失和记录值样本的指数分布模型参数的估计［J］.统计与决策，2010，20（1）：14－16.

［4］邢建平.基于记录值样本的指数分布参数的损失与风险函数的Bayes估计［J］.统计与决策，2011，10（1）：32－33.

［5］徐晓岭，孙祝岭，王磊.几何分布参数的区间估计和统计贴近度研究［J］.强度与环境，2005，32（2）：57－63.

［6］井维兰，王蓉华，顾蓓青，等.全样本几何分布串－并联系统产品的统计分析［J］.统计与信息论坛，2009，24（12）：14－17.

［7］王蓉华，顾蓓青，金乃超，等.几何分布产品不完全数据场合下的统计分析［J］.统计与信息论坛，2010，25（2）：16－19.

［8］徐晓岭，王蓉华，费鹤良.几何分布产品定数截尾场合下参数的点估计［J］.强度与环境，2009，36（2）：51－63.

［9］徐晓岭，王蓉华，应晶晶，等.几何分布冷贮备产品的统计分析［J］.统计与决策，2013（5）：87－89.

［10］张栋栋，张德然.几何分布可靠度的Bayes置信下限［J］.华中师范大学学报：自然科学版，2013（1）：20－22.

［11］熊常伟，张德然，张怡.熵损失函数下几何分布可靠度的Bayes估计［J］.数理统计与管理，2008，27（1）：82－86.

［12］李兰平.一类新的加权平方损失函数下几何分布的Bayes可靠性分析［J］.统计与决策，2012（11）：81－82.

［13］张国林.一类非对称损失函数下几何分布可靠度的Bayes估计［J］.统计与决策，2013（4）：69－70.

［14］Lehmann E L，Casella G.Theory of point estimation［M］.2nd ed.New York：Springer－Verlag，2003.

［15］Nelson W.Applied life data analysis［M］.New York：John Wiley，1982.

［16］Mathachan P.Some inference problems related to Geometric distribution［D］.Tennessee：Department of Mathematics Union Christian College of Mahatma Gandhi University，2007.