三种抛物线形断面收缩水深的直接计算公式

代述兵，刘韩生，卞晓卫，杨吉健

(1.西北农林科技大学水利与建筑工程学院，陕西杨凌 712100;2.中国水电顾问集团 贵阳勘测设计研究院，贵阳 550081)

1 研究背景

抛物线类断面的收缩水深基本方程为高次隐函数方程，理论上无解析解，传统求解方法为试算法、图解法，计算过程太繁琐，误差大。平方抛物线形渠道收缩水深的研究成果较多，参考文献［1－6］作者先后均对平方抛物线形渠道进行了深入研究，其中赵延风等［1］、文辉等［2］提出了最优结果，适用范围相对广，精度相对高。赵延风公式适用范围还可以进一步提高，以期更大范围覆盖工程使用范围。文辉等［2］公式为解析解，因而无误差，适用范围广，但其解析解需要求解3个表达式复杂的参数，求解过程繁琐。文辉等［7］对半立方抛物线形渠道收缩水深进行了研究，冷畅俭等［8］对3次抛物线形渠道进行了研究，但文辉、冷畅俭公式适用范围和精度均较工程使用范围窄，可以进一步提高。

2 抛物线类断面无量纲收缩水深迭代公式

抛物线类渠道断面见图1，抛物线类渠道方程为

图1 抛物线类渠道断面Fig.1 Parabola-shaped channel section

式中p为形状参数，p＞0。

收缩水深的基本方程为

式中:E0为以收缩断面底部为基准面的过水建筑物上游总水头(m);hc为收缩断面处的水深(m);Q为过水流量(m3/s);g为重力加速度(m/s2);φ为流速系数;Ac为收缩断面过水面积(m2)。

半立方、平方、立方抛物线断面过水面积公式为

无量纲收缩水深为

将式(3)、式(4)代入式(2)并令等式等于k，得

Q，p，E0已知，则 k可以求得，但式(5)为超越方程，无法直接求解，利用不动点迭代法可推得式(5)中半立方、平方、立方抛物线形无量纲收缩水深λ的迭代公式，即

3 迭代公式的收敛性证明

根据迭代理论［9］，方程x=φ(x)的一个根为N，则迭代公式xi+1=φ(xi)收敛于N的条件为:在N的某一个领域|x－N|＜δ内，迭代函数的一阶导数的绝对值小于某一个正数L，即|φ'(x)|≤L，且0＜L＜1，那么以该邻域内任一点为初值的迭代都收敛于N。因此，只要证明以上迭代函数的倒数绝对值小于1，就可以证明该迭代函数是收敛的。据此证明式(6)的收敛性。

由上述可知只需证明|φ'(x)|＜1即可证明该迭代函数收敛。以立方抛物线无量纲收缩水深迭代公式例证明其收敛性。

将式(5)代入式(7)得

φ'(λ)在无量纲收缩水深工程常用范围λ∈［0.01，0.60］单调递减，而 λ=0.01 时 φ'(λ)=－3.788 ×10－3，λ=0.6 时 φ'(λ)=－0.562 5，由于φ'(λ)单调递减，因而|φ'(λ)|＜1 恒成立，因而迭代公式收敛。同理其余2个迭代公式收敛。

4 迭代初值选取与收缩水深的直接计算公式

迭代计算收敛快慢主要取决于2个因素:①迭代公式格式;②迭代初值选取是否恰当。只有在迭代公式与合适的迭代初值配合使用才能达到收敛快、精度高的目的。1stopt软件是世界上非线性曲线拟合方面功能最为强劲的软件，是目前唯一能以任何初始值而求得美国国家标准与技术研究院非线性回归测试题集最优解的软件包。其进行非线性拟合的主要原理是利用迭代程序计算残差平方和来评估是否达到最佳拟合效果，当残差平方和达到最小值时，迭代过程结束，得出的即为拟合公式的最优结果。

为了选取得到λ的较优迭代初值，在工程常用范围 λ∈［0.01，0.6］内，以一定步长给出一系列数，代入式(5)，可求得一系列k。为了拟合得到λ为因变量、k为自变量的函数式，以λ残差平方和达到最小为目标函数，基于遗传算法对模型参数进行优化拟合，当残差平方和达到最小值时，优化过程结束，得出的即为拟合公式的最优结果，此即为迭代初值。

将式(9)代入迭代式(6)得直接计算公式为

5 公式误差分析及比较

在工程常用范围内，取一系列 λ=0.01～0.6的值，代入式(5)中得到k值，再将k值代入无量纲收缩水深的直接计算公式(10)得到欲求的λ的近似值，相对误差此λ的误差与hc误差一致，图2为无量纲收缩水深λ和收缩水深hc的相对误差分析。

表1为目前关于半立方、平方、立方抛物线型渠道收缩水深的所有公式统计表。

图2 相对误差分布Fig.2 Distribution of relative error

表1 抛物线类渠道收缩水深公式Table 1 Formulas of contracted water depth for parabola-shaped channels

本文所得到的半立方、立方抛物线形渠道的研究成果是目前适用范围最广、精度最高的公式。目前平方抛物线渠道成果最优的为文辉等［2］公式和赵延风等［1］公式(1)，适用范围大并且误差小;本文平方抛物线形渠道成果与赵延风等［1］公式(1)适用范围一致，但精度优于公式(1)［1］;本文成果在适用范围和精度上稍逊色于文辉等公式，但文辉等公式包括3个表达式复杂的参数，计算过程繁琐，且本文在计算过程上比文辉公式简捷，因而本文平方抛物线形渠道收缩水深直接计算公式为一个较好的计算公式。

6 应用举例

已知某闸前断面总水头E0=10.31 m，通过流量为Q=100 m3/s，流速系数φ=0.95，若采用半立方抛物线方程为y=0.4|x|3/2，求闸后断面收缩水深hc。若其他参数不变，仅改变方程指数，变为平方、立方，求闸后断面收缩水深hc。

半立方:把 E0=10.31 m，Q=100 m3/s，φ=0.95，p=0.4代入式(5)得 k=4.700 208 ×10－3，再将 k代入式(10)得 λ=0.216 1，即 hc=2.228 2 m。相对误差为－0.027 8%，误差非常小，精度满足工程要求。

平方:把 E0=10.31 m，Q=100 m3/s，φ=0.95，p=0.4代入式(5)得 k=0.011 258，再将 k 代入式(10)得到 λ=0.246 3，即 hc=2.539 7m。相对误差为－0.025%，误差非常小，精度满足工程要求。

立方:把 E0=10.31 m，Q=100 m3/s，φ=0.95，p=0.4代入式(5)得 k=0.026 248，再将 k 代入式(10)得到 λ=0.290 5，即 hc=2.994 6 m。相对误差为－0.009 8%，误差非常小，精度满足工程要求。

7 结论

本文从半立方、平方、立方抛物线形断面收缩水深基本方程推导，得到了关于λ的超越方程，无法得到其理论解，而继续推导得到了λ的迭代公式。利用1stopt软件，基于遗传算法，对给定非线性函数模型进行参数优化拟合，建立了半立方、平方、立方抛物线形渠道收缩水深的直接计算公式。误差分析及实例计算成果表明:在工程常用范围λ∈［0.01，0.6］内，半立方、平方、立方抛物线形渠道收缩水深的最大相对误差分别仅为0.064%，－0.091%，0.136%。直接计算公式物理概念明确，适用范围广，通用性强，克服了在收缩水深计算中不能直接求解的缺点，避免了采用试算法、图表法等间接方法的繁琐和限制，为抛物线形渠道的设计、运行管理等提供了参考。

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