函数奇偶性、周期性及图象对称性关系分析

谢琼先

【摘 要】函数奇偶性、周期性及图象对称性的关系在数学中的重要性众所周知，但其三者之间究竟有着什么样的关系呢，本文就此进行分析与探讨。

【关键词】函数奇偶性;周期性;图象的对称性;关系分析

在函数的学习中，其奇偶性、周期性及图象的对称性是非常重要的性质，解题中有着广泛的应用。笔者在此想从函数的奇偶性、周期性定义出发进行类比、联想，再结合函数性质探讨它们之间及图象的对称性之间的相互联系及应用。

（一）首先奇偶函数及周期函数的定义及定义式：f（-x）=f（x）;f（-x）=-f（x）;f（x+T）=f（x）函数的奇偶性定义中涉及两个方面关系，f（-x）与f（x），f（-x）与-f（x）。有理由问一下周期函数定义中若考虑两方面关系又会怎样呢？即有问题：f（x+T）=-f（x）时，f（x）的周期性怎样呢？不难证明，此时2T为f（x）的周期;其次，再对比f（-x）.f（x）。把f（x+T）=f（x）与f（x+T）=-f（x）中f（x）用f（-x）代换，则又将有什么结论呢？同样不难证明：若f（x+T）=f（-x），则f（x）为偶函数时，T为f（x）的周期;f（x）为奇函数时，2T为f（x）的周期.若f（x+T）=-f（-x），则f（x）为偶函数时，2T为f（x）的周期;f（x）为奇函数时，T为f（x）的周期。但事实上此时f（x）不一定是偶函数或奇函数，那么单从f（x+T）=f（-x）或f（x+T）=-f（-x）就不一定：若f（x+T）=f（-x）能推出f（x）的周期，可以证明：若f（x+T）=f（-x），则f（x+T）为偶函数;若f（x+T）=-f（-x），则f（x+T）为奇函数。

至此，小结前面结果即有下面结论。

定理1：若f（x+T）=f（x），则f（x）是周期函数，且T为f（x）的周期;若f（x+T）=-f（x），则f（x）是周期函数，且2T为f（x）的周期;定理2：若f（x+T）=f（-x），则f（x）为偶函数时，T为f（x）的周期;f（x）为奇函数时，2T为f（x）的周期.定理3：若f（x+T）=-f（-x），则f（x）为偶函数时，2T为f（x）的周期;f（x）为奇函数时，T为f（x）的周期。定理4：若f（x+T）=f（-x），则对定义域内任意x都成立;若f（x+T）=-f（-x），则f（x+T）为奇函数。（以上定理中函数定义域假定为R，同时等式对定义域内任意x都成立，且T≠0）

把定理2，3结合起来，即有f（x+T）为偶函数且f（x）为偶函数，则f（x）是周期函数，且T为f（x）的周期;f（x+T）为奇函数且f（x）为奇函数，则f（x）是周期函数，且2T为f（x）的周期;从而可得下列定理;定理5：给出三个判断：（1）f（x+T）为偶函数。（2）f（x）为偶函数，（3）f（x）是周期函数，且T为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。定理6：给出三个判断：（1） f（x+T）为奇函数。（2）f（x）为奇函数，（3）f（x）是周期函数，且2T为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。

（二）另一方面，从奇函数与偶函数函数图象的对称性方面联想f（x+T）的奇偶性与f（x）函数图象的对称性又有：定理7：f（x+T）为偶函数。f（x）的图象关于直线x=T对称;f（x+ T） 为奇函数。f（x） 的图象关于点（ T ，0）对称。

至此，再结合对称性与奇偶性的等价关系及定理4.5 又有定理8：给出三个判断：（1） f（x） 图象关于直线x=0 对称。（2） f（x） 的图象关于直线x= T对称。（3）f（x） 是周期函数，且T为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。定理9：给出三个判断：（1） f（x） 图象关于点（0，0）对称（2） f（x） 的图象关于点（ T ，0） 对称（3）f（x） 是周期函数，且2T为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。推论1： f（x） 为偶函数且图象关于直线x= T 对称，则f（x） 是周期函数，且T为f（x）的周期;推论2： f（x） 为奇函数且图象关于直线x= T 对称，则f（x） 是周期函数，且2T为f（x）的周期。

（三）最后考虑对称的一般性

f（x） 的图象关于直线x= a 对称且关于直线x= b 对称。同样可得到。定理10：给出三个判断：（1） f（x） 图象关于直线x=a 对称。（2） f（x） 的图象关于直线x=b对称。（3）f（x） 是周期函数，且2（a-b）为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。定理11：给出三个判断：（1） f（x） 图象关于点（a，0）对称（2） f（x） 的图象关于点（b，0） 对称（3）f（x）是周期函数，且4（b-a）为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。

以上结论从一定成度上反映了函数的奇偶性，周期性与图象的对称性的内在联系，利用这些结论不难解决一些相关问题。

总之，函数的奇偶性周期性及其图象的有机结合在解一些综合的函数问题是非常有用的，具备这些知识，在作题时会起到事半功倍的作用。

【参考文献】

[1]刘伟佳.关于函数奇偶性的一点注记——兼对一道习题的建议[J].数学教学通讯，2013年05期

[2]段小龙.多项式函数奇偶性定理的证明和应用[J].中学数学，2014年12期

[3]汪超月霞.运用对称、平移作初等函数图象[J].数学通报，2013年04期

（作者单位：江西省赣州市寻乌中学）