正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+B中的一种错误求法

1 从一道考试题说起

《全品新题小练习（2014数学·理科）》（开明出版社）P13有这样一道题：

（2013·哈尔滨三中期末）已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω∈R，φ<π2），满足

f（x）=-f（x+π2），f（0）=12，f′（0）<0，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间0，π2上的最大值与最小值之和为（ ）.

A.2-3 B.3-2 C.0 D.-1

解 因为f（0）=12，所以f（0）=sinφ=12，故φ=π6+2kπ（k∈Z），又因为φ<π2，所以φ=π6.因为f（x）=-f（x+π2），所以f（x）=f（x+π），故f（x）的周期为π，所以ω=2πT=2，又由f′（x）=ωcos（ωx+φ），得f′（0）=ωcosφ<0，所以ω<0，所以ω=-2，所以g（x）=2cos（-2x+π6）=2cos（2x-π6）.又因为x∈0，π2，所以2x-π6∈-π6，5π6，所以g（x）的最大值为2，最小值为-3，所以最大值与最小值之和为2-3.

这是一道错题！解法也是错误的！

2 错在何处

以上解法错在哪里呢？错在ω！而ω的错误是由“因为f（x）=-f（x+π2），所以f（x）=f（x+π），故f（x）的周期为π”导致的.其实，对于正（余）弦型函数，除了有一般函数具有的性质“若定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+a）=-f（a）（a≠0），则2a是y=f（x）的一个周期”外，还有其特有的性质.此处ω不仅可以取2，还可以取其它数.

我们先来证明正弦型函数的两个性质.

性质1 已知y=Asin（ωx+φ）+B（ω∈R，且ω≠0）且f（x）=-f（x+π2），则ω=4k+2（k∈N）.

证明 由f（x）=-f（x+π2），知函数f（x）的图像向左平移π2个单位之后与原函数图像关于x轴对称，根据正弦型函数图像的特性，可知平移量π2=12T+kT=2k+12T（k∈N，T为f（x）的最小正周期），所以π2=2k+12·2πω（k∈N），所以ω=4k+2（k∈N）.

性质2 已知y=Asin（ωx+φ）+B（ω∈R，且ω≠0）且f（x）=f（x+π），则ω=2k（k∈N，且k≠0）.

证明 由f（x）=f（x+π），知函数f（x）的图像向左平移π个单位之后与原函数图像重合.根据正弦型函数图像的特性，可知平移量π=kT（k∈N，且k≠0，T为f（x）的最小正周期），所以π=k·2πω（k∈N，且k≠0），所以ω=2k（k∈N，且k≠0）.

根据以上性质，我们知道，试题中ω应满足ω=4k+2（k∈N），而不是ω=2.因为ω=4k+2（k∈N）时的答案是2-3或0；而ω=2时的答案是2-3，所以试题及答案都是错误的.

3 正确解法

因为f（0）=12，所以f（0）=sinφ=12，故φ=π6+2kπ（k∈Z），又因为φ<π2，所以φ=π6.由f（x）=-f（x+π2），知函数f（x）的图像向左平移π2个单位之后与原函数图像关于x轴对称，所以π2=2k+12T（k∈N，T为f（x）的最小正周期），所以π2=2k+12·2πω（k∈N），所以ω=4k+2（k∈N）.又由f′（x）=ωcos（ωx+φ），得f′（0）=ωcosφ<0，所以ω<0，所以ω=-（4k+2）（k∈N）.所以g（x）=2cos（ωx+φ）=2cos（-（4k+2）x+π6）

=2cos（（4k+2）x-π6）.当k=0时，g（x）=2cos（2x-π6），由x∈0，π2得2x-π6∈-π6，5π6，所以f（x）的最大值为2，最小值为-3，所以最大值与最小值之和为2-3；当k=1时，g（x）=2cos（6x-π6），由x∈0，π2得6x-π6∈-π6，2π+5π6，所以f（x）的最大值为2，最小值为-2，所以最大值与最小值之和为0；当k∈N，k≥2时最大值与最小值之和也为0.

综上所述，函数的最大值与最小值之和为2-3或0.

作者简介 刘忠，中国中学数学教育界最高奖“苏步青数学教育奖”一等奖获得者，江西省首批中学正高级教师，江西省特级教师，中国数学奥林匹克高级教练员，永丰中学副校长.