立足传承创新提速，试水合卷任重道远

李锦昱++杨玉昌�コ滔慊�

1 整体评价

2015年高考全国各地全部进入课标高考（最早的四省区是第9个年头），全国共命制了16套试卷，其中教育部考试中心命制2套：全国Ⅰ卷（河南、河北、山西、江西等4省使用）、全国Ⅱ卷（海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、西藏、贵州、甘肃、青海、广西等13省区使用），自主命题14套（广东、山东、北京、天津、江苏、安徽、浙江、福建、陕西、湖南、湖北、四川、重庆、上海）.试卷侧重考查数学基础素养，兼顾数学的选拔效能，又努力贴近中学生的实际生活；试题仍坚持以能力立意，重点考查数学学科重点知识与能力以及创新意识，体现了引领中学数学教学的“指挥棒”作用.全卷突出通性通法，不过分强调覆盖面，在知识交汇点命题，揭示了各考点间的内在联系.命题人大胆坚持改革与创新的尝试，强调“突出中华传统文化，强调学科的基础性，重在考查独立思考能力”，尤其是基本技能和基本数学思想方法的考查，有多处探索意识融入试题，对于日常教学有重大警醒和良好的导向作用.

2 试题特点

整套试卷（以全国Ⅰ卷II卷为蓝本，涉及少量自主命题高考卷）不偏不难，试题既延续了对传统主干知识点的重点考查的惯例，也刻意避开“猜押题”“题海战术”，对课标内容如算法、三视图、统计概率等进行了考法、命题方式、题型题量的大胆创新，部分古代数学典籍经典内容也得以顺利进入高考，让试卷多处出现诸多新意和正能量，不过试题题目难度和编排顺序有待进一步精细化，布局有待合理调整.

2.1 整卷难度明显降低，淡化压轴题运算量，侧重基础知识技能

试卷难度构成基本符合3∶5∶2的比例，在选择题压轴题（文12、理11）、文科填空题（15、16）、解答题的解析几何题“提速降费”效果明显.例如Ⅰ卷理科试卷（1）—（4）、（7）、（9）、（10）、（13）、（14）、（15）、（17）都是考查基础知识基本技能，大多数直观感觉是朴实无华，但考查的广度、深度把握的恰如其分；而（5）、（8）、（11）、（12）、（18）、（21）则重点考查学生对重点知识的理解和运用，学生分析问题、解决问题能力的试题穿插全卷

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2.2 破除难度排列惯例，突出中华传统文化，增加探究思维元素

尽管试卷客观题降低了难度，但得分并不理想，这或许和部分试题编排顺序有直接关系，比如Ⅰ卷理科试卷第（5）题，以双曲线为背景，通过向量语言的“翻译”，借助运算和推理方可准确解答，虽然难度和运算量都不很大，但要想解答好这道题，却并不容易（关于该题的来龙去脉，欢迎参阅笔者的《扒一扒一道高考题的演变史》）.

今年高考不少试题加入了博大精深的“中华传统文化”元素，如Ⅰ卷文理科（6）将《九章算术》与锥体体积、Ⅱ卷文理科（8）将《九章算术》更相减损术与程序框图、湖北卷文理科（2）《数书九章》与几何概型、湖北卷文理科（19）将《九章算术》中“阳马”“鳖臑”和现代立体几何中的四棱锥、三棱锥联系起来，这些不约而同的举动均让人眼前一亮.更有网友吐槽，湖北卷真的让自己“涨姿势”，感觉文字功底差的不是“一两条街”！

Ⅰ卷文理科（16）、Ⅱ卷文科（11）理科（10）、广东理科（8）等题，都以探索性知识为载体考查创造性应用所学知识解决具体问题的能力.解答题在加大思维量的同时，注意降低运算的难度，侧重通性通法，避免特殊技巧；如Ⅰ卷理科（20）题，题干简明，将传统的椭圆与直线的关系改用抛物线与直线相切，第二问重拾存在性问题独具匠心；Ⅰ卷文科（20）题，一改传统的椭圆与直线的关系改用圆与直线的位置关系，符合新课标的基本要求.最重要的一点是，这种命题方式，有力地破除了考生对解析几何“思路自然、运算繁难”的恐惧心理，大大降低了运算量和书写篇幅，也一举改写了压轴题几乎得不了分的尴尬记录.

2.3 考冷点成为新常态，不再强调覆盖全面，重点考查应用能力

课程标准下的《考试大纲》对于考试范围有明确的规定，但这并没有说哪些是必考的“热点”，哪些知识点就只能被打入冷宫成为“冷点”.比如，Ⅰ卷文理科（19）完全相同，出乎相当多人的意料，更让人想不到的是试题涉及的知识点：散点图、线性回归方程、最小二乘估计、预报值等都是以前几乎没有涉及过的“冷点”（笔者印象中仅2007年广东卷在解答题里考过，但今年北京卷文（14）的散点图、重庆卷文（17）的回归方程及预报、福建卷理（4）回归直线方程），正是如此不常见的考法，令原本设想中的“送分题”，有相当数量的考生硬是一分未得，直接放弃.

再比如定积分、正态分布等这些冷点，2014年理（18）统计概率既要计算加权平均数，还要用正态分布等应用知识，2015年考试中都得到了应有的重视，如很少考定积分的天津卷理科（11）就是定积分；山东卷理科第（8）题是正态分布求概率，山东卷理科第（13）题顺手将定积分安排在程序框图中，而且还连续求两次；福建卷理科第（13）题将定积分和几何概型相结合；陕西卷理科第（16）题则是以定积分为背景的最大流量问题；湖南卷理科第（6）题把正态分布与几何概型组合在一起；湖北卷理科考正态分布已经是其一大特色，今年第（4）题又如期而至（湖北高考在2009、2013年两次以解答题形式考过正态分布）；广东多年没考过的期望方差也出现在了理科第（13）题的位置上；浙江卷甚至专门在理科第（15）题设计了一道空间向量与不等式相结合的填空题，以上列举的示例足以说明，备考中务必要重视《考试大纲》中所涉及的所有知识点，不可专门划分出“热点”“冷点”而厚此薄彼.

数学应用方面，概率统计部分均加大了对统计内容的考核，这显然是高考命题的一个重要导向：教学中不仅应该让学生会“算统计”，更要会“用统计”.

而应用题的考查，应引导考生关注社会热点，比如Ⅱ卷文理科（3）的二氧化硫排放，北京卷理科（8）汽车燃油效率、文科（8）汽车平均耗油量，重庆卷理（3）文（4）气温、文科（17）居民储蓄存款，福建卷理科（16）银行卡密码安全、文科（18）全网传播融合指数，陕西卷理科（19）交通畅通，江苏卷（17）山区公路设计等，设计的可圈可点.

2.4 文理科差异在缩小，为文理不分科试水，探索文理合卷可能

全卷21道题（不包括最后的三选一试题），文理完全相同的选择题增至4道（6、8、9、11）、解答题1道（19），和2014年基本不一样相比，相同题的分值从15分加到了32分，体现了文理科学生在数学融合方面的趋势（这个或许是为今后几年开始的数学文理不分科考试做一些试水性的铺垫），今年的概率统计题完全相同（往年多为姊妹题）.从结果上看文理生考试差距十分显著，以河北省教育考试院提供的数据为例：文理科全卷平均分约为66.05分（38.12+23.77+4.16）和87.65分（44.26+35.15+8.24），相差21.60分，其差距主要体现在二卷的15.46分的差异上，2014年二卷文理分别约为35.8分（2013年31分）和45.2分（2013年37分）相差近10分（2013年相差6分）（2012年则为25分和35分，差10分），从以上数据不难看到，要想真正搞好数学不分科（文理科生共用一张试卷），教育部考试中心还需要多方调研，从某些有代表性的点搞实验试点，成熟后方可大面积推广，而不是仅仅依靠行政命令强行推广执行，搞“一刀切”的后果那便是很难体现“不同的人学不同的数学”的课标理念.

3 存在的问题及改进建议

3.1 流连数列解答题，有误导教学之嫌

2015年高考Ⅰ卷理科（17）命题人再一次在数列这个点上命制解答题，没有完全按照“数列与三角轮流坐庄”的“规则”出牌，出乎诸多行家预测之外，明年高考是轮换还是继续赌数列，估计命题人实在是骑虎难下.两套全国卷2014年理科均一选一填，文科两套均一大，各有侧重，2013年也基本如此.应该说，这几年的数列题难度在降低，等差和等比都有所涉及，所占比例与课标课时比例相比明显偏高，解答题里仍然主要考查错位相减（难度也偏大）.

3.2 三角函数占比偏少，应增加基础知识的考查

三角函数的图象和性质试题考查偏少且较单一，区分效果不明显.Ⅰ卷文理第（8）题虽然考查余弦型函数的图象和性质，但可归结为正弦型函数的图象和性质，且一反常态图象的周期是2k，不是2kπ，解答既可由图象先求解析式，再根据解析式求解函数的单调递减区间，又可先求周期，借助图象的对称性得出x=34是其中一条对称轴，数形结合直接写出图象的单调递减区间.既能考查学生对余弦函数图象和性质的真正理解，又能考查学生的观察能力、推理能力、运算求解的能力以及数形结合的思想.推陈出新的结果是得分不高.这部分的诱导公式及三角恒等变换、正弦定理与余弦定理、图像变换、向量等都是必不可少的数学工具，命题人应下大力气研究如何体现这部分试题的甄别功能.

3.3 统计加量适可而止，既要突出重点，也应该注重数学文化

理科还是应该突出离散型随机变量的分布列、期望方差等知识点的考查，毕竟选修23里有计数原理和统计案例（各种分布都要照顾到）两部分区别于文科的知识点.概率统计重点不再囿于概率，而是概率和统计并重（甚至后者分量超过了前者），这些是与教学要求里的课时比例相吻合的.从今年各地一拥齐上的对正态分布等知识点进行考查看（湖北卷和2014课标Ⅰ卷考大题的后遗症），仍不宜作为重点，毕竟这部分内容课标和考纲里都不过是了解层次的要求；文科除古典概型、几何概型外，独立性检验和线性回归分析等涉及统计图表类型是新的增长点.希望数学文化和数学史的内容每年都能出现在试卷中，且不仅仅是点缀.

3.4 立体几何回归本质，注重空间想象

尽管立体几何小题灵活（特别是对球情有独钟），但大题不管是证明平行垂直还是求空间角、面积和体积，师生都更青睐空间向量法（传统方法本应有一席之地），机械性的“算”代替了推理论证等思维过程，从长远看不利于空间想象能力与逻辑推理论证等考查核心的教学，命题应“折、转、展、构造”等多法并举，引导中学教学走向正确的轨道.另外，从提高得分的角度看，文科考生更适合机械套用空间向量法.

3.5 解析几何再降难度，合理深挖教材

解析几何部分的试题尽管课标高考已经将传统重点线锥关系悄然转向定义、性质、曲线与圆，形式上也有向量等载体的创新，但试题难度依然还有进一步降低的空间.

比如，2015年高考全国卷（Ⅰ）文第16题是一道利用定义“化曲为直求最值”的双曲线试题：

如图1，已知F是双曲线C：x2-y28=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，66）.当△APF周长最小时，该三角形的面积为 .图1

点评 本题考查双曲线的定义、性质及化曲为直求最值原则的理解（也可利用间接法计算S△APF=S△AF′F-S△PF′F=3×66-3×26=126），很好地考查了学生对等价转化（化归与转化）思想、数形结合思想的驾驭程度.图2

空间中给定圆锥和平面（截面），如图2所示，若截面与轴垂直，则截面曲线是圆（含点圆）；若截面与一条母线平行，则截面曲线是抛物线；若截面与轴平行或与对顶圆锥顶点两侧都相交，则截面曲线是双曲线；若截面只与圆锥顶点一侧相交（不与轴垂直），则截面曲线是椭圆.

2015年浙江卷文科第7题就很好地考查了圆锥曲线的本质定义：图3

如图3，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是

A.直线

B.抛物线

C.椭圆

D.双曲线的一支

思路点拨 显然AP是以AB为轴的圆锥面的母线，因为∠PAB=30°且平面α与圆锥的轴线所成的角为60°，则截面是椭圆，故选C.

其详细的解答可参考下面的题源：图4

试题追踪 （2014年5月浙江湖州二模理6）如图4所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是底面正方形ABCD内的一个动点，若直线C1D，C1M所成的角等于30°，则以下说法正确的是

A.点M的轨迹是圆的一部分

B.点M的轨迹是椭圆的一部分

C.点M的轨迹是双曲线的一部分

D.点M的轨迹是抛物线的一部分

思路点拨 以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为1，则D（0，0，0），C1（0，1，1），设M（x，y，0）（其中0≤x≤1，0≤y≤1），那么C1M=（x，y-1，-1），C1D=（0，-1，-1），直线C1D，C1M所成的角等于30°，则C1M·C1D|C1M|·|C1D|=（x，y-1，-1）·（0，-1，-1）2·x2+（y-1）2+（-1）2=32，整理可得x2+（y+1）23=1，其轨迹是椭圆的一部分.图5

C1D与底面ABCD所成的角等于45°，直线C1D，C1M所成的角等于30°，则问题等价于以C1D为轴，母线C1M绕轴C1D旋转形成圆锥面（如图5），再用与轴C1D成45°角的平面ABCD截圆锥面，得到圆锥曲线部分.因为截面只与圆锥顶点一侧相交，所以点M的轨迹是椭圆的一部分.

2015年高考全国卷（Ⅰ）理第20题命题人避开了熟悉的椭圆载体，转而借助抛物线的形式，从切线入手，考查导数工具的运用.此举虽好，却对提高得分率没起到预期的作用！这里，先回顾前两年的做题情况：

2013年课标Ⅰ卷理科第20题（文科第21题）河北省理科得分率25.60%，文科5.46%，2014年课标Ⅰ卷文科第20题河北省得分率9.26%，都低的可怜！

涉及动圆圆心的轨迹问题，2011广东卷、2013全国Ⅰ卷高考都已出现，它们都出自课标教材人教A版选修21（2007年2月第2版）第50页习题2.2B组第2题及第80页复习参考题A组第3（2）题，并且命题人刻意将教材上的圆的一般方程改成标准方程，减小了考生的运算量和思维难度，只要稍加留意这些教材上的东西，平均分决不至于出现尴尬的不足1分的局面！

再比如2015年高考全国卷（Ⅱ）对直线的斜率之积为-b2a2（a>b>0）做了考查，应该引起我们对于教材例习题研究的重视，其中2015年高考全国卷（Ⅱ）理科第20题是：

已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l的斜率；若不能，说明理由.

2015年高考全国卷（Ⅱ）文科第20题是：

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，点（2，2）在C上.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

上面两道20题中，文科第（Ⅱ）问kl·kOM=-12、理科第（Ⅰ）问kl·kOM=-9，对应定值都与-b2a2有关（除去常规解法外，用点差法来求解更简单），最早2010年高考北京卷理科第14题第（1）问中的斜率之积，其实就源于课标教材人教A版选修21第41页例3的结论.

3.6 部分题目相似度高，疑有改编之嫌

全国Ⅰ卷文理（22）题：如图6，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若OA=3CE，求∠ACB的大小.

本题的主要考点有圆的切线判定与性质、圆周角定理、直角三角形射影定理等，考点比较多，考生可能上手比较慢.图6 图7

来源于2009年某市期末考试题：

如图7所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于E点，点D是BC边的中点，连结DE.

（Ⅰ）请判断DE与⊙O是怎样的位置关系？请说明理由.

（Ⅱ）若⊙O的半径为4，DE=3，求AE的长.

类似的还有北京卷文（6）与某刊物2013～2014选修（11）人教A版第3期第1版《常用逻辑用语复习指导》跟踪练习第1题简直一模一样.还有浙江卷理（13）与某刊物命制的一道题目相同.

3.7 个别题目命制与2015年考试大纲有差异

2015年高考新课标卷考试大纲（文理）说明中明确指出不等式选讲中的会利用绝对值的几何意义求解ax+b≤c、ax+b≥c、x-c+x-b≥a三类绝对值不等式，而2015年全国Ⅰ卷文理（24）出现了求解x+1-2x-1≥1的不等式，值得商榷，如果高考命题不依赖于考试大纲的话，不利于师生备考常常提到的“靠纲务本”.

2015年全国Ⅰ卷文（21）f（x）=e2x-alnx要用到复合函数求导，也有超纲嫌疑.