函数y=lnxx的单调性及其应用
2015-12-02甘志国
1 函数y=lnxx的单调性及其相应的结论
用导数可证得：
定理1 （1）函数y=lnxx在（0，e]，[e，+∞）上分别是增函数、减函数（其图象如图1所示）.
图1
（2）①当0 ②当e≤a ③当0 ④当1 2 定理1的应用 2.1 推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论 高考题1 （2014年高考湖北卷第22题）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数. （1）求函数f（x）=lnxx的单调区间； （2）（文）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数； （理）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. 下面给出这道高考题的解法. 解 （1）增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）. （2）（文）由（1）的结论还可证得结论：当e≤a 由此结论，得e3>3e，eπ>πe，3π>π3. 又由幂函数、指数函数的单调性，得3π>eπ>e3，π3>πe>3e. 所以所求最大数与最小数分别是3π，3e. （由此解法还可得结论：若e≤a （理）由（1）的结论可得lnxx<1e（0 lnπ>2-eπ， （*） 3lnπ>6-3eπ>6-e>π， π3>eπ， 由式（*），还可得 elnπ>e2-eπ>2.72-2.723.1> 2.7（2-0.88）=3.024>3， πe>e3. 再由（文）的解法可得，3π>π3>eπ>πe>e3>3e. 定理2 （1）若0 （2）若e≤a1 证明 对n用数学归纳法来证. （1）①由定理1（2）②知，n=2时成立. ②假设n=k（k≥2）时成立： 若0 若0 Ak+1=Ak∪{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1，ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak} 又因为 max{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}=akak+1， max{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}=ak+1ak， 所以 maxAk+1=max{maxAk，max{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}，max{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}} =max{akak-1，akak+1，ak+1ak}=ak+1ak（因为由定理1（2）②可得ak+1ak>akak+1>akak-1）. 又因为 min{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}=a1ak+1，min{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}=ak+1a1， 所以 minAk+1=min{minAk，min{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}，min{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}} =max{a1a2，a1ak+1，ak+1a1}=a1a2（因为由定理1（2）②可得a1a2 得n=k+1时也成立. 所以欲证结论成立. （2）同（1）可证. 猜想 （1）若0 maxG=a3a2a1，minAn=a1a2a3； （2）若e≤a1 maxG=a1a2a3，minG=a3a2a1. 例1 设G={aba，b∈{2，e，3，π，4}}，求maxG，minG. 解 由定理2（2），可得max{aba，b∈{e，3，π，4}}=π4，min{aba，b∈{e，3，π，4}}=3e. 由指数函数y=2x是增函数，可得max{2bb∈{e，3，π，4}}=24，min{2bb∈{e，3，π，4}}=2e. 由幂函数y=x2（x>0）是增函数，可得max{a2a∈{e，3，π，4}}=42=24，min{a2a∈{e，3，π，4}}=e2.
所以
maxG=max{{aba，b∈{e，3，π，4}}，
{2bb∈{e，3，π，4}}，
{a2a∈{e，3，π，4}}}=max{π4，24，42}=π4.
minG=min{{aba，b∈{e，3，π，4}}，
{2bb∈{e，3，π，4}}，{a2a∈{e，3，π，4}}}=
min{3e，2e，e2}=2e
（因为由定理1（2）②可得2e 2.2 研究另3道高考题 高考题2 （2005年高考全国卷Ⅲ理科第6题）若a=ln22，b=ln33，c=ln55，则（ ）. A.a 由定理1（1）、图2及ln22=ln44，可得选C. 图2 例2 设a=1e，b=ln2，c=lnππ，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（ ）. A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.b>a>c 原解 因为a=1e=lnee，b=ln2=ln22，且2 又b-c=ln22-lnππ=πln2-2lnπ2π=ln2π-lnπ22π<0，所以b 因此，a>b>c，A正确. 订正笔误 原解的最后一行有误，应订正为“因此，a>c>b，C正确”. 质疑 原解中的“ln2π-lnπ22π<0”即“2π<π2”是怎么来的？ 简解 由定理1（1）及ln22=ln44，可得选C. 注 在本题中，由c>b，还可得2π<π2. 高考题3 （2001年高考全国卷理科第20题）已知i，m，n是正整数，且1 （1）证明niAim （2）证明（1+m）n>（1+n）m. 证明 （1）略. （2）即证nln（1+m）>mln（1+n），ln（1+m）m>ln（1+n）n. 设f（x）=ln（1+x）x（x≥2），得f′（x）=x1+x-ln（1+x）x2（x≥2）. 由x≥2，得x1+x<1 注 用同样的方法（但还须对由f′（x）的分子得到的函数y=x1+x-ln（1+x）（x>0）再求导）还可证得：若0 高考题4 （1983年高考全国卷理科第9题）（1）已知a，b为实数，并且e （2）如果正实数a，b满足ab=ba，且a<1，证明a=b. 证明 （1）由推论立得. （2）由正实数a，b满足ab=ba，得blna=alnb.再由0 再由反证法及定理1（2）②可得欲证结论成立. 2.3 关于x的方程ax=bxα（a>0，b≠0，α≠0，α∈Z）根的个数 下面再用定理1来讨论关于x的方程 ax=bxα（a>0，b≠0，α≠0，α∈Z） （*） 根的个数. 定理3 （1）若b>0，α为奇数，则 （ⅰ）当且仅当eαb-1αlna>α2时，方程（*）根的个数是0； （ⅱ）当且仅当b=elnaαα或αlna≤0时，方程（*）根的个数是1； （ⅲ）当且仅当[JB（{]αlna>0， eαb-1αlna<α2时，方程（*）根的个数是2. （2）若b<0，α为奇数，则 （ⅰ）当且仅当eαb-1αlna>α2时，方程（*）根的个数是0； （ⅱ）当且仅当b=elnaαα或a=1时，方程（*）根的个数是1； （ⅲ）当且仅当[JB（{]αlna<0， eαb-1αlna<α2，时，方程（*）根的个数是2. （3）若b>0，α为非零偶数，则 （ⅰ）当且仅当b1α （ⅱ）当且仅当b1α=elnaα或a=1时，方程（*）根的个数是2； （ⅲ）当且仅当[JB（{]a≠1， b1α>elnaα，时，方程（*）根的个数是3. （4）若b<0，α为非零偶数，则方程（*）根的个数是0. 证明 （1）易知方程（*）的根x>0. 可设d=b1α，c=ab-1[]α，t=b1αx，可得d，c，t均是正数. 还可得关于x的方程（*）根的个数即关于t的方程 ct=tα（c>0，α是奇数；t>0） 也即 lntt=lncα（c>0，α是奇数） 根的个数. 由定理1（1）及图1，可得 （ⅰ）当且仅当lncα>1e即eαb-1αlna>α2时，方程（*）根的个数是0； （ⅱ）当且仅当lncα≤0或lncα=1e即b=elnaαα或αlna≤0时，方程（*）根的个数是1； （ⅲ）当且仅当0 eαb-1αlna<α2，时，方程（*）根的个数是2. （2）易知方程（*）的根x<0. 可设x′=-x，得x′>0. 还可得关于x的方程（*）根的个数即关于x′的方程 1ax′=-bx′α（1a>0，-b>0，α是奇数） 根的个数. 再由结论（1）可得结论（2）成立. （3）易知方程（*）的根x≠0. 可设d=b1α，c=ab-1α，t=b1αx，可得d，c均是正数，t≠0. 还可得关于x的方程（*）根的个数即关于t的方程 ct=tα（c>0，α是非零偶数；t≠0） 也即 lntt=lncα（c>0，α是非零偶数） 根的个数. 由定理1可作出函数y=lntt的图象如图3所示： 图3 由图3可得 （ⅰ）当且仅当lncα>1e即b1α （ⅱ）当且仅当lncα=1e或0即b1α=elnaα或a=1时，方程（*）根的个数是2； （ⅲ）当且仅当0 b1α>elnaα，时，方程（*）根的个数是3. （4）显然成立. 读者还可讨论关于x的方程 ax=bxα（a>0，b≠0，α≠0，α∈R） 根的个数（可参考上面的研究方法和文献[1]）. 参考文献 [1]甘志国.幂、指函数图象交点个数的完整结论[J].中学数学月刊，2008（9）：30-32.
