已知线性方程组的解，构造线性方程组

陈军，韩静媛

（河北民族师范学院数学与计算机系，河北承德067000）

已知线性方程组的解，构造线性方程组

陈军，韩静媛

（河北民族师范学院数学与计算机系，河北承德067000）

已知齐次线性方程组的基础解系反求齐次线性方程组；已知非齐次线性方程组的解，构造线性方程组。

向量；基础解系；线性方程组；矩阵

1　已知齐次线性方程组的基础解系反求齐次线性方程组

设n维列向量α1，α2，…,αn-r线性无关，求以α1，α2，…,αn-r为基础解系的齐次线性方组AX＝O①解此问题就是求系数矩阵A，下面给出两种方法。

1.设A为m×n矩阵，且rankA=r，因为α1，α2，…,αn-r是AX=O的解向量，所以A(α1，α2，…,αn-r)=0②

②式两边取转置，得

所以，β1,β2,…,βm是③的解向量，就是AT的列向量，也就是A的行向量，于是得到矩阵A的求法：

（1）以所给的基础解系为行向量作矩阵B；

（2）解齐次线性方程组BX=O，求出其基础解系；

（3）以（2）中所得的基础解系为行向量作矩阵，即为所求的一个矩阵A。

由上面的推导还可以得到：由α1，α2，…,αn-r生成的Fn的子空间，是①的解空间，即Fn的任意子空间都是某齐次线性方程组的解空间。

例1求一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成

解解线性方程组

所以，所求的一个齐次线性方程组为

2.引理如果从n维向量α1，α2，…,αm(n≥m)的每个向量截取后m个分量构成的m维向量线性无关，那么可以找到与α1，α2，…,αm等价的向量组β1,β2,…,βm，并且

证明令A=(α1，α2，…,αn-r)，B=(β1,β2,…,βm).因为线性无关，所以，rankA=m，对矩阵A作列初等变换可化为下面形式的矩阵

即存在m阶可逆矩阵P使得AP=B，所以β1,β2,…, βm可由α1，α2，…,αm线性表示，同时BP-1=A，知α1， α2，…,αm可由β1,β2,…,βm线性表示。于是向量组α1，α2，…,αm与β1,β2,…,βm等价。

定理1如果

是齐次线性方程组AX=O的基础解系，那么满足此方程组的一个系数矩阵A是

证明rankA=r，所以齐次线性方程组AX=O的基础解系含有n-r个向量，而n-r个向量α1，α2，…, αn-r显然线性无关，并且A(αi)=0(i=1,2,…n-r)，即α1，α2，…,αn-r是AX=O的n-r个线性无关的解向量，即是齐次线性方程组AX=O的基础解系。得证.

推论设B为r阶非奇异矩阵，对于定理1中的条件和结论，BA也是满足此方程组的系数矩阵；对于矩阵A增加若干全为0的行再实施行初等变换，得到的矩阵C也是满足此方程组的系数矩阵。

事实上，齐次线性方程组BAX=O与AX=O同解，所以BA也是满足此方程组的系数矩阵；由齐次线性方程组解的过程知，CX=O与AX=O也同解，所以C也是满足此方程组的系数矩阵。

于是得到矩阵A的另一种求法：

（1）将给定的基础解系为列向量作矩阵B；

（3）(Er-Cr，n-r)即为所求的一个矩阵A，对于矩阵A增加若干全为0的行，再实施行初等变换得到的矩阵也可。

例2求一个齐次线性方程组使其基础解系是

解令B=(α1，α2,α3)

满足条件的一个齐次线性方程组就是AX=O.

2　已知非齐次线性方程组的所有解，即一个特解与导出组的基础解系反求线性方程组

设非齐次线性方程组的一个特解η0及导出组的基础解系α1，α2，…,αn-r求以ξ=η0+k1α1+k2α2+…+ kn-rαn-r为解的非齐次线性方程组AX=B.

先求以α1，α2，…,αn-r为基础解系的齐次线性方程组AX=O，再把特解代入做矩阵乘法Aη0=B即得向量B.

所以，所求的满足条件的一个线性方程组是

[1]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳（第二版）[M].武汉：华中科技大学出版社，2000.

[2]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999（2002重印）.

[3]胡金德，王飞燕.线性代数辅导（第二版）[M].北京：清华大学出版社，1995.

On Constructing Linear Equations with Given Solutions

CHEN Jun HAN Jing-yuan
(Hebei Normal University for Nationalities,Chengde,Hebei 067000,China)

This paper illustrates mathematical issues involving constructing homogeneous system of linear equations when the fundamental system of solutions is given and creating linear equations when the solutions of non-homogeneous system of linear equations are given.

vector;fundamental system of solutions;system of linear equations;matrix;

O13

A

2095-3763（2015）02-0078-03

2014-11-16

陈军（1963-），男，宁夏石嘴山人，河北民族师范学院数学与计算机系副教授。