IM分担两个值的亚纯函数

徐琳，牛红玲

（河北民族师范学院数学与计算机系，河北承德067000）

IM分担两个值的亚纯函数

徐琳，牛红玲

（河北民族师范学院数学与计算机系，河北承德067000）

主要研究亚纯函数及其n阶导数的分担值问题，改进了仪洪勋、杨重骏等人的定理，得到了以下结论：设f，g为开平面上两个非常数亚纯函数且IM分担∞，f(n)与g(n)IM分担1，n为正整数，如果(4n+7)Θ(∞,f)+4δ(0,f)+2δ (0,g)＞4n+12，则f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

亚纯函数；唯一性；IM分担值

1　引言及主要结论

本文所使用值分布理论[1，2]的标准记号，如T(r, f)，m(r,f)，N(r,f)，(r,f)，和，以及表示亏量的δ(0,f)，Θ(∞,f)等等，（参考[1]，[2]），这里不再赘述．对于复数α，如果f和g具有相同的α-值点，并且重数也相同，就称f和g CM分担a；如果f和g具有相同的α-值点，不计重数，就称f和g IM分担α．

1976年，杨重骏[7]提出如下问题：设f与g为开平面上两个非常数整函数，以0为CM公共值（分担值），f′与g′以1为CM公共值．问f与g之间有何种关系？

1989年，仪洪勋[8]回答了杨重骏提出的上述问题，证明了下面定理：

定理A[8]设f与g为两个非常数整函数，以0为CM公共值，f′与g′以1为CM公共值，如果δ(0,f)，则f≡g或者f′·g′≡1．

更一般的，仪洪勋证明了：

定理B[8]设f与g为两个非常数整函数，以0为CM公共值，f(n)与g(n)以1为CM公共值，n为正整数，如果，则f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

一直以来，许多唯一性的研究者对这一问题做了进一步的探讨，研究了条件减弱的情况下，对于整函数以及亚纯函数，是否保持结论成立，其中以仪洪勋和杨重骏所得定理较为简洁．

定理C[9]设f与g为两个非常数整函数，满足f′与g′以1为CM公共值，如果δ(0,f)+δ(0,g)＞1，则f≡g或者f′·g′≡1．

定理D[10]设f与g为开平面上两个非常数亚纯函数，以∞为CM公共值，f(n)与g(n)以1为CM公共值，n为非负整数，如果δ(0,f)+δ(0,g)+(n+2)Θ(∞,f)＞n+3，则f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

我们自然想到：保持定理D的结论，分担1 CM和∞CM的条件是否可以减弱？2001年，Lahiri在他的论文[6]中引入了权分担的思想，2009年，徐洪焱，易才凤得到了一般性的结论（参见文[11]：

定理E[11]设f与g为非常数亚纯函数，f(n)与g(n)分担（1,0）（注：即以1为IM公共值），n为非负整数，那么

（1）如果f与g分担(∞,∞)（注：即以∞为CM公共值），且满足

（2）如果f与g分担(∞,0)（注：即以∞为IM公共值），且满足

利用这一思想我们得到下面定理：

定理1.1设f，g为开平面上两个非常数亚纯函数且分担∞IM，f(n)与g(n)分担1 IM，n为正整数，如果

则f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

从上述定理，我们可以推出：

推论1.2设f，g为两个非常数整函数，f(n)与g(n)分担1 IM，n为正整数，如果

则f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

事实上，从证明过程可以得出更精细的结论：

推论1.3设f，g为开平面上两个非常数亚纯函数且分担∞IM，f(n)与g(n)分担1 IM，n为正整数，如果

则f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

推论1.4设f，g为两个非常数整函数，f(n)与g(n)分担1 IM，n为正整数，如果

则f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

2　符号及引理

为了方便证明，我们将本文所用符号加以说明．我们分别用E和I表示线性测度有限和线性测度无穷的集合．记S(r,f)=o(T(r,f))(r→∞,r∉E)．记k)(a,f)为f(z)-a的重级≤k的零点集合，重级零点只记一次．用表示在｜z｜≤r上f(z)-a的重级≤k的零点精简计数函数，重级零点只记一次表示在｜z｜≤r上f(z)-a的重级≥k的零点精简计数函数，重级零点只记一次．而．

为了证明定理，我们将需要一些引理．

引理2.1[1]（Milloux定理）设f为开平面上非常数亚纯函数，k为正整数，

这里ai(z)(i=0,1,…,k)均为f(z)的小函数，则

及

引理2.2[4]设f为开平面上非常数亚纯函数，n为正整数，c为有限非零常数，则

引理2.3[5]设f为开平面上非常数亚纯函数，k为正整数，则

引理2.4[5]设f，g为开平面上两个非常数亚纯函数分担1 IM，则

引理2.5[6]设f，g为开平面上两个非常数亚纯函数且分担1 IM，若H≢0，则

引理2.6[5]设f，g为开平面上两个非常数亚纯函数且分担1 IM，如引理2.5所设H，若H≢0，则

引理2.8设f，g为开平面上两个非常数亚纯函数且分担∞IM，f(n)与g(n)分担1 IM，n为正整数，如果δ(0,f)＞0，δ(0,g)＞0，则T(r,f)=O(T(r,g))，T(r,g)=O(T(r,f))。证明依据引理2.2

引理2.7[11]设f为开平面上非常数亚纯函数，k为正整数，则

即T(r,f)=O(T(r,g))。

同理可得T(r,g)=O(T(r,f))。

3　定理证明

若H≢0，则应用引理2.4，引理2.5，引理2.6有

应用引理2.3即

而由（2）式以及引理2.2，有

因为已知f，g分担∞IM，f(n)与g(n)分担1 IM，应用引理2.8，不妨设T(r,f)≥T(r,g)，（3）式可以化为

于是

(4n+7)Θ(∞,f)+Θ(0,f)+3δ(0,f)+2δ(0,g)≤4n+12，

进而

(4n+7)Θ(∞,f)+4δ(0,f)+2δ(0,g)≤4n+12，

与已知(4n+7)Θ(∞,f)+4δ(0,f)+2δ(0,g)＞4n+12矛盾，故H≡0，即

解此微分方程，得

其中a≠0，b是常数．下面分三种情况讨论H≡0．

情况1．b≠0，-1。

若a-b-1≠0，依据（4），有

应用引理2.2，引理2.7以及f，g分担∞IM，可知

有(n+1)Θ(∞,f)+δ(0,f)+2δ(0,g)≤n+3，与已知（1）式矛盾．

类似的可知

有2Θ(∞,f)+δ(0,f)≤2，与已知（1）式矛盾．

有(n+1)Θ(∞,f)+δ(0,f)+2δ(0,g)≤n+3，与已知（1）式矛盾．

若a=1，则f(n)≡g(n)．设f(z)=g(z)+P(z)，其中P(z)为次数小于n的多项式．由（1）可知，∞和0是f的亏值，进而f的下级μ＞0，所以f必为超越函数[3]，使得g也必为超越函数，显然T(r,f)=T(r,g)+S(r,f)．

若P(z)≢0，则

有Θ(∞,f)+δ(0,f)+δ(0,g)≤2，与已知（1）式矛盾．

所以必有P(z)≡0，故f≡g．

有2Θ(∞,f)+δ(0,f)≤2，与已知（1）式矛盾．若a+1=0，即a=-1，则f(n)·g(n)≡1．

定理1.1得证．

[1]Y i H.X.and Y ang C.C.：U niqueness Theory of M eromorphic Functions[M].(in Chinese)Science Press，Beijing，1995．

[2]杨乐.值分布论及其新研究[M].北京：科学出版社，1982．

[3]张广厚.整函数和亚纯函数理论——亏值、渐近值和奇异方向[M].北京：科学出版社，1986．

[4]H aymanW.K.：M eromorphicFunctions[M].O xford：Clarendon Press,1964.

[5]Banerjee A.：M eromorphic functions sharing one value [J].Int.J.M ath.M ath.Sci.,2005,22：3587-3598.

[6]LahiriI.：W eighted value sharing and uniqueness of meromorphic functions[J].Complex V ariables Theory A ppl.,2001,46(3)：241-253.

[7]Y ang C.C.：O n tw o entirefunctions w hich together w ith their first derivatives have the same zeros[J].J. M ath.A nal.A ppl.,1976,56：1-6.

[8]Y i H.X.：A question of C.C.Y ang on the uniqueness of entire functions[J],K odai,M ath.J.,13(1990),39-46.

[9]仪洪勋，杨重骏.导数具有相同1-值点的亚纯函数的唯一性定理[J].数学学报，1991，（34）：675-680.

[10]杨重骏，仪洪勋.具有亏值的亚纯函数的唯一性定理[J].数学学报，1994，（37）：62-72.

[11]徐洪焱，易才凤.亚纯函数及其阶导数权分担两个值[J].纯粹数学与应用数学，2009，25，（4）：777-785.

Meromorphic Functions with IM Sharing Two Values

XU Lin,NIU Hong-ling
(Department of Mathematics and Computer Science,Hebei Normal University for Nationalities, Chengde,Hebei 067000,China)

Researching into the meromorphic functions and the shared value of its n-th derivatives,this paper amends the theorems of H.X.Yi and C.C.Yang etc and obtains the following result:given:f and g are two non-constant meromorphic functions in the complex plane,plus f(n)and g(n)IM share 1(n is a positive integer).If（4n+7）Θ（∞,f）+4δ（0,f）+2δ（0,g）＞4n+12,then either f(n)·g(n)≡1 or f≡g.

meromorphic functions;uniqueness;IM shared value

O13

A

2095-3763（2015）02-0074-04

2014-12-25

徐琳（1966-），女，江苏徐州人，河北民族师范学院数学与计算机系副教授，研究方向为函数论。