等差数列的前n项和

张喜超

一、教学目标

1.学生通过几个具体的数列求和的例子，描述出数列的前n项和的定义；并能解释数列的前n项和的判定功能和性质功能；

2.学生通过观察几个特殊数列的求和过程，对项数n的奇偶进行分类讨论，利用“配对”进行求和；

3.学生通过比较与奇偶有关的“配对求和”，探究推导等差数列前n项和公式的一般方法，并得出等差数列前n项和公式；

4.学生能根据具体问题的特点，正确选择公式，解决一类“知三求二”的等差数列问题；

5.学生能利用Sn的判定功能，解决一类“已知Sn求an”的数列问题，并能选择方法解决等差数列前n项和的最值问题；

6.学生能运用等差数列前n项和的有关知识解决一些简单的实际应用问题。

二、重、难点分析

重点：等差数列前n项和公式的推导。

难点：等差数列前n项和公式的推导过程及综合应用。

三、教学方法：

在教学策略上采用：以问题驱动，层层铺垫，由特殊到一般的方法启发学生获得公式的推导思路，并采用评价样题的形式加强公式的掌握运用。

四、教学流程设计

1.双基回顾，温故导新

【问题1】等差數列的定义：____________________________

【问题2】等差数列的通项公式： _______________

【问题3】

（1）等差数列中中，若，则__________

（2）上面的问题用的是等差数列的哪条性质？

设计意图：复习巩固有关等差数列的知识，为下面的学习打好基础。

2.创设情境，尝试探究

【问题1】你能写出吗？它们各表示什么？

【问题2】Sn表示什么？它的表达式是什么？

【问题3】

（1）若，，则可以表示为_______

（2）=？an与Sn、Sn-1什么关系？

【评价样题1】已知数列的前n项和为，求.

设计意图：设计问题组，层层推进，引导学生自主探究数列前n项和的判定功能和性质功能：，为下面的学习做好铺垫。设计评价样题1，加深对知识的理解和认识。

问题探究二：

【问题4】你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

设计意图：这个问题的设计，源于历史，富有人文气息；承上起下，探讨高斯算法，并且由学生所熟知的问题引入，贴近学生的认知水平，并激发学生进一步探究问题的热情和积极性。

【问题5】S79=1+2+3+…+79=？

问题探究三：

【问题6】Sn=1+2+3+4+…+n=？

【问题7】能不能找到不分奇偶就能求和的方法？

设计意图：使学生体验由特殊到一般的数学方法，初步感受倒序相加方法，进一步巩固把不同的数的数列求和问题转化为相同的数的求和问题这一数学化归思想。

【问题8】已知等差数列，试猜想前n项和Sn的表达式，并给予证明。

设计意图：让学生在合作、交流的探讨氛围中学会表述、倾听、质疑、答疑，体验成功的喜悦并养成一种既要敢于大胆猜想，又要勇于严密论证的科学精神。

【问题9】通项公式中an可以用a1， n， d来表示，那么你能用a1， n， d来表示Sn吗？

设计意图：学生自己推导，有利于学生对两个公式联系的理解。

3.步步推进，应用公式

例1等差数列的公差为2，第20项a20=29，求前20项的和。

【评价样题2】

（1）已知在等差数列中，，求

（2）已知在等差数列中，，求

（3）已知在等差数列中，，求a1和an

设计意图：学以致用，着重强调公式的选择。主要通过方程的思想进行基本量的运算，注意理解格式和规范，并有意识的培养学生的表述能力。

4.综合应用，能力提升

例2.已知数列的前n项和公式为：

（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；

（2）求使得 最小的序号n的值。

【问题10】

（1）证明等差数列都有哪些方法？

（2）如何用Sn公式求an？

（3）数列作为一种特殊的函数，在已知通项公式an和前n项和公式Sn的条件下，如何求Sn的最小值？

【评价样题3】

（1）已知数列的前n项和公式为，求使得Sn最大的序号n的值。

（2）已知等差数列的首项，公差为2，求使得Sn最小的序号n的值。

设计意图：由于问题难度较大，学生独立完成比较困难，所以设计梯级问题，引导学生根据前面所学内容逐步分解完成。设计评价样题，对“已知Sn求an”以及前n项和的最值问题进行巩固。

5.反思评价，深化认识

（1）阅读整理部分

①课后阅读课本，对照学案，认真整理课堂笔记。

②针对学习目标，总结自己这节课的收获。

（2）课下练习：

必做题：课本练习A，B

选做题：

已知数列的前n项和Sn是关于正自然数n

的二次函数，其图象上有三个点A、B、C。求

数列的通项公式，并指出是否为等差数列，说明理由。

研究性课题：有关银行利息问题

1.课本例3

2.今年我们荣成二中喜迁新校，家属楼也正在建设中。我校王老师按揭买房，向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。2012年1月王老师第一次向银行还款2348元，以后每月比上月的还款额减少5元，若以2012年1月银行贷款利率为基准利率（月利率5.5‰），那么到2031年12月最后一次还款为止，王老师连本带利一共还款多少万元？

设计意图：布置弹性作业以使各个层次的学生都有所收获和发展，考虑到学生的实际情况设计一个思考题，使学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥；并设置研究性课题，鼓励学生积极参与、自主探究生活中的数学问题及应用，培养学生的应用意识和大胆实践的科学精神。