用单调函数优化社会扩大再生产

摘 要：根据社会扩大再生产的充分必要条件，形成社会扩大再生产的优化问题，并将这一优化问题转换成一个求一元函数的最大值问题。运用函数的单调性和某一部类的最高、最低积累率，简便地获得社会扩大再生产的优化问题的最优解。

关键词：社会扩大再生产 优化 单调函数 最优解

中图分类号：F014.6  文献标识码：A

文章编号：1004-4914（2015）09-030-02

一、实现社会再生产与社会再生产公式求解的对应

马克思扩大再生产理论及其公式对于研究宏观经济具有重大的理论指导作用。马克思社会再生产理论在两大部类社会再生产公式得到集中体现。按照马克思社会再生产理论，社会生产部门划分成生产资料、消费资料的两个部类，分别记为第Ⅰ、Ⅱ部类。第j部类（j=Ⅰ，Ⅱ。下同）在年初的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为Cj，Vj，按照经典的马克思再生产公式中的假定，设Cj和Vj都是每年周转一次;Cj作为中间消耗转移到产品当中，Vj在产品当中新创造出来，并产生剩余价值Mj;第j部类的不变资本对于可变资本的固定不变倍数hj表示该部类的资本有机构成，剩余价值Mj与可变资本Vj之间保持固定不变的比率ej是剩余价值率。以Yj，Xj分别表示第j部类的新创造价值、总产值，对确定了含义的字母前面加符号△表示在当年再生产过程中所形成的增量，以Mxj表示第j部类投资者把本部类的剩余价值中用于个人消费的部分。由于剩余价值Mj是形成本部类的新增资本和投资者的个人消费的唯一来源，所以社会再生产公式中有剩余价值使用的行为方程：

△Cj+△Vj+Mxj=Mj j=I，II （1）

实现再生产意味着当年的全部生产资料、消费资料的使用量与生产量平衡，因而分别有生产资料、消费资料的均衡条件：

式（2）、（3）的左右两边分别表示了全社会的生产资料、消费资料的总需求和总供给。

式（1）、（2）、（3）组成了社会再生产公式。实现社会再生产就是能够从式（1）、（2）、（3）中获得一组待定变量△Cj，△Vj，Mxj的解。当△CI，△CII当中至少有一个大于零，就对应着扩大再生产;当△CI，△CII同时为零，就对应着简单再生产。

因为每个部类的资本有机构成固定不变，那么剩余价值使用的行为方程式（1）可以改写成：

将式（2）化简，与将式（1）与（4）都代入式（3）并化简得到的结果完全一样。都是：

△CI+△CII=YI-CII  △CI，△CII≥0（5）

所以，式（5）就是简化的社会再生产公式，这时公式就只含有一个方程和△CI，△CII两个变量。

按照马克思社会再生产理论，社会总产品是由生产资料、消费资料两种不同用途的产品共同组成。（YI-CII）表示生产资料总产品扣除掉两个部类的生产资料消耗后剩余的部分，是用于扩大再生产的生产资料总供给，在当年数量是既定的，表示了一种状态。而这种状态随着年份不同而不同，所以可以看作是状态变量。陶为群（2014）提出并证明了社会扩大再生产的充分必要条件是状态变量取值的一个限定区间：

由于每个部类内部的结构是固定不变的，因而再用两大部类新创造价值之间的比例表示两大部类之间的当年结构，就可以与资本有机构成、剩余价值率所表示的部类内部结构一起，完整地反映当年社会再生产的全部结构。两大部类之间的当年结构是：

是以比例形式表现的状态变量。将式（7）代入社会扩大再生产的充分必要条件式（6），得到结构状态变量？渍取值的一个限制区间。

（YI-CII）是当年全社会的生产资料总产品当中的一个既定部分。式（7）表明了扩大再生产对于这一部分生产资料相对最低、最高数量限制，实际上就表明了对于生产资料总产品的最低、最高数量限制。又因为社会总产品是由生产资料、消费资料两种不同用途的产品共同组成，所以，对于生产资料总产品的相对最低、最高数量限制，实际上就分别是对于生产资料占社会总产品的最低、最高比例限制。这一点又等价于两种社会产品当中的一种产品对于另一种产品的最低或者最高比例的限制。正因为如此，式（6）所表明的扩大再生产的充分必要条件，可以替换成用消费资料产品与生产资料产品之间比例状态的？渍最低、最高取值式（8）表示。

二、运用单调函数优化社会扩大再生产

扩大再生产的最一般结果就是有新增的社会产品。由于每个部类所生产的新增的社会产品的价值构成是固定不变的，所以本部类新增的社会产品中的任何一个部分，都能够一般地代表整个新增的社会产品。为了便于和现代经济模型中的产品或者产出概念衔接，这里以第j部类新增的新创造价值（产品）△Yj一般地代表该部类新增的社会产品（j=Ⅰ，Ⅱ）。那么，下一年相对于本年两个部类新增的新创造价值（产品）总和△Y是：

△Y=△YI+△YII（9）

△Y能够最一般地表示扩大再生产的结果。根据每个部类内部的固定不变结构关系，有：

扩大再生产的实质是剩余价值用作资本积累转化成资本，包括新增不变资本、可变资本两个部分。以μj表示第j部类的剩余价值积累率，那么式（4）可以改写成：

将式（11）代入（10），得到：

将式（10）和（12）代入简化的社会再生产公式（5），得到：

将的表达式（7）以及每个部类内部的固定不变结构关系代入式（13），得到：

式（14）表示了扩大再生产中的两个部类积累率μI，μII之间的相互匹配关系。陶为群（2011）从式（14）中将μI作为μII的函数解出：

将式（12）和（15） 代入（9），并利用？渍的表达式（7）以及每个部类内部的固定不变结构关系，得到：

根据式（16），全社会的投资所产生的下一年新增的新创造价值是第Ⅱ部类积累率变量μII的函数。因为第j部类的新创造价值（产出）与不变资本之间的比率Yj/（Cj=1+ej）/hj是该部类的不变资本产出率（j=Ⅰ，Ⅱ），所以式（16）表明，△Y是μII的单调函数。在第Ⅰ部类的不变资本产出率不低于第Ⅱ部类即（1+eI）/hI≥（1+eII）/hII的条件下，△Y是μII的单调减函数，当μII取最小值时△Y取得最大值;而在第Ⅰ部类的不变资本产出率低于第Ⅱ部类即（1+eI）/hI<（1+eII）/hII的条件下，△Y是μII的严格单调增函数，当μII取最大值时△Y取得最大值。所以，可以运用△Y是μII的单调函数优化社会扩大再生产。

陶为群（2011）给出了第Ⅱ部类的最低积累率min（μII）和最高积累率max（μII）的表达式。

于是，在第Ⅰ部类的不变资本产出率不低于第Ⅱ部类的条件下，取μII*=min（μII），再代入式（16）得到新增的新创造价值△Y的最大值max（△Y）。

而在第Ⅰ部类的不变资本产出率低于第Ⅱ部类的条件下，取μII*=max（μII），再代入式（16），得到新增的新创造价值△Y的最大值max（△Y）。

因为扩大再生产的实质是剩余价值用作资本积累，所以扩大再生产的优化问题就是资本积累的优化问题，以上所获得使扩大再生产得以优化的积累率μII*并代入式（15）相应确定μI*，就是全社会的最优资本积累。

综合本文的全部论析说明，根据社会扩大再生产的充分必要条件，可以将一般的扩大再生产的优化问题转换成一个求一元单调函数的最大值问题，运用函数的单调性和某一部类的最高、最低积累率，简便地求得扩大再生产的优化问题的最优解。

参考文献：

[1] 陶为群.两大部类扩大再生产的充分必要条件与求解[J].经济数学，2014（3）

[2] 陶为群.马克思再生产模型中的最高、最低积累率[J].巢湖学院学报，2011（4）

（作者单位：中国人民银行南京分行 江苏南京 210004）

（作者简介：陶为群，中国人民银行南京分行巡视员，研究员，安徽财经大学兼职教授，主要研究方向：马克思主义经济学、数量经济学。）

（责编：贾伟）