移动荷载作用下桥梁动力响应分析

张 洁，褚少辉

（1.河北建筑设计研究院有限公司，石家庄 050011；2.河北建研科技有限公司，石家庄 050021）

0 引言

近些年来，随着我国交通事业的不断发展，车辆运行速度不断提高，车辆载重不断增加，高速公路和客运专线的里程数也不断刷新纪录，为节约耕地和减小沉降，大量实行以桥代路的技术，导致桥梁数量大幅增长。车辆会对所通过的桥梁产生动力冲击作用，使桥梁发生振动，直接影响其工作状态和使用寿命，给人民的生命财产安全带来威胁，因此车桥耦合动力学的研究显得越来越重要。

对于等截面均匀梁的车桥耦合动力分析，国内外已有大量的研究［1－4］，而对于变截面梁，国内外只有少量的数值模拟分析，理论解几乎没有。非均匀梁可以提供更好和更合适的质量和应力分布，满足其在建筑、机械、航空航天和其他工程创新应用中的要求，它们已经成为多项研究的主题［5］。本文研究高度不变、宽度按指数形式变化的矩形变截面均匀梁在移动车辆荷载作用下的振动响应问题，建立系统的振动微分方程，给出了比较精确的理论解，并用有限差分法和ANSYS有限元法进行数值验证。最后利用推导的理论解进行参数分析。

1 振动方程求解

现有一矩形变宽度截面梁，高度不变，宽度按照指数形式变化，即b（x）＝b0eδx，其中，b0为初始宽度，δ为非均匀系数，梁横截面的高为常数h，长度为L，各截面的形心连成为一条直线，将轴设在这条直线上。现有一车辆匀速驶过该桥，本节讨论将车辆简化为一个移动常力时桥的动力响应情况。

设车辆以均匀速度c过桥，忽略车辆的惯性，可看作集中力F（t）（假定集中力只随时间变化）沿桥面移动。设初始时刻t＝0时，梁的初始位移和速度皆为零。集中荷载可利用脉冲函数表示为

式中：F为所施加的力的大小；δ（x）为脉冲函数。

考虑到这是一个均匀的变截面梁，其控制方程可写为如下的形式

式中：E0、I0、ρ0和A0分别表示梁在x＝0处的杨氏弹性模量、截面的惯性矩、密度以及截面积ν（x，t）为梁变形函数；k（x）为截面惯性矩的变化函数b（x）＝b0eδx；m（x）为截面面积的变化函数m（x）＝eδx。在式（2）中引入无量纲的变量X＝x／L，L为梁的长度。在化简后为计算方便，再把符号“X”写作“x”，代入b（x）＝b0eδx，m（x）＝eδx，则式（2）可化为

将方程的解分离变量，写作模态函数的线性组合

把式（4）代入式（3），利用模态函数的正交性，在方程两边同时乘以φi，并从0到1积分

根据主质量与主刚度的定义，有

β＝，则式（5）化简为

根据杜哈梅积分求出其解

其中：m0＝ρ0A0L，表示以x＝0处截面为截面的矩形等截面梁的质量。

对于高度为常数、宽度按照指数形式变化的变截面均匀梁，式（3）可以表示为

上述方程的解为如下形式

式中：

常数c1、c2、c3、c4由系统的边界条件确定。

自此，有关描述变截面梁弯曲振动响应的所有公式均已求出。本节公式适合宽度按指数变化的等高度变截面均匀梁，集中力的形式可以多样，只要其只随时间变化且可以积分，边界条件可以多样。下面将以两端简支为例子，探讨桥梁的弯曲振动响应。

2 两端简支梁弯曲振动响应

2.1 理论解

两端简支梁的边界条件为：简支端处的挠度和弯矩等于零，即

代入式（12），得到关于c1、c2、c3、c4的一个四元一次齐次线性方程组

以上方程组有非零解的充要条件是系数矩阵A的行列式｜A｜＝0，此时方程组有无穷多解，为方便起见，可取其一组解。

将c1、c2、c3、c4代入式（12）即可得到模态函数。

已经求得φ（x），按照式（10）求解q（t），式中的ω、m0、M、F均为常数，可提到积分符号的外面。由式（7）可求得M，结果如下：

积分部分计算结果具有如下的形式：

R1和R2可以分别求出，本文不做推导。由相关文献［6－7］可知，第一阶振型对结构影响最大，第二阶对系统振动影响很小，本文只研究第一阶振型。根据前文推导，得到系统响应方程：

假设有如下的已知条件：梁长为20 m，高度为0.5 m，宽度按照指数形式变化b（x）＝b0eδx，δ＝0.1，始端截面宽度b0＝2 m，弹性模量E＝100 MPa，密度ρ＝2.5×103kg／m3，车匀速驶过c＝4m／s，忽略车辆的惯性，看作是集中力F＝ρgb0hL／100＝4 900N。现在做出跨中挠度时程曲线（时间归一化）如图1所示。

图1 c＝4m／s、δ＝0.1两端简支梁跨中挠度时程曲线（理论解）

由图1可以看出，车速为4m／s时，变截面梁在车通过桥面过程中，挠度逐渐增大，即将离开桥面时跨中挠度达到最大。

2.2 有限差分法数值验证

由上文分析可知，系统的振动可以由式（3）表示，即

为便于比较，将上式化为x和τ的函数，以下为Maple中的结果

式中的Dirac（x－τ）即为式（3）中的δ（xct／L），将已知条件代入以上方程，已知条件为

式（21）为

初始条件写为如下形式

有限差分法根据所取项数的不同，其结果的精确程度会有差别，经调试，可以取前70项。同样做出跨中挠度时程曲线，图2为理论解与有限差分法数值解的对比。

图2 c＝4m／s、δ＝0.1跨中挠度时程曲线理论解与有限差分解对比

由图2可以看出，理论解与有限差分解几乎重合，两者计算结果一致。

2.3 ANSYS有限元法数值验证

利用大型有限元软件ANSYS，模拟跨中挠度时程曲线［8－9］，初始条件与前文假定一致，命令流如下：

编写ANSYS命令流如下：

用ANSYS自带时间历程后处理功能画出曲线，如图3所示。

图3 c＝4m／s、δ＝t／s跨中挠度时程曲线（ANSYS解）

由图3看出ANSYS模拟曲线走势与理论解基本一致。

3 参数分析

前文分析可知，本文方法得到的理论解是可靠的，现在利用理论解分析梁的非均匀系数和车速变化对时程曲线的影响。

1）速度c不变，非均匀系数δ变化的情况如图4所示。

随着非均匀系数的增大，跨中挠度最大值逐渐减小，但是曲线走势基本一致，最大挠度均出现在相同的时间节点。

图4 c＝4m／s对应不同δ的跨中挠度时程曲线

图5 δ＝0.1时对应不同速度c跨中挠度时程曲线

2）非均匀系数δ不变，速度c变化的情况，时程曲线如图5所示。

增大匀速移动的速度，跨中挠度最大值先增大后减小，且振动情况有变化，可将速度c＝0.1 m／s的移动常力近似看作静力作用。当速度较小时，最大挠度出现在中点时刻附近，随着速度增大，最大挠度出现的时间后延，当速度超过5m／s后，最大挠度在车辆驶离桥梁时出现。

4 结论

1）研究了等高度矩形变截面梁在移动车辆作用下的响应问题，较详细地给出了系统的振动控制方程和模态函数的推导计算过程，得出了理论解答，并用有限差分法和ANSYS有限元法进行数值验证，得到了较好的结果。

2）讨论了非均匀系数、车辆行驶速度c等参数变化对系统振动的影响。

速度c保持不变，当非均匀系数δ逐渐增大时，跨中挠度的最大值逐渐减小，但是最大挠度均出现在相同的时间节点；非均匀系数δ保持不变，当车辆荷载行驶速度逐渐增大时，梁的跨中挠度最大值先增大后减小，且跨中挠度最大值出现的时间逐渐后延。当车辆以较小的速度（本文算例速度＜2m／s）通过桥梁时，跨中挠度最大值出现在中点时刻附近，当车辆以较大速度（本文算例速度＞5m／s）驶过桥梁，当车辆驶离桥梁后，跨中挠度才出现最大值。

［1］ 张钧博.公路桥梁的车桥耦合振动研究［D］.成都：西南交通大学土木工程学院，2007.

［2］ 郭欢，刘健康，于洋，等.皮带通廊桥架地震反应分析［J］.华北地震科学，2013，31（2）：62－66.

［3］ 陈少凡，陈洋洋，姜慧，等.高墩抗震梁桥单墩模型地震时程响应分析［J］.华南地震，2013，33（4）：47－53.

［4］ 邢克勇，江松，姚升康，等.PHC管桩单桩振动台试验与数值模拟对比分析［J］.华北地震科学，2014，32（1）：33－37.

［5］ Mehmet C E，Metin A，Vedat T.Vibration of a variable cross－section beam［J］.Mechanics Research Communications，2007，34：78－84.

［6］ 李国豪.桥梁结构稳定与振动（第二版）［M］.北京：中国铁道出版社，2003.

［7］ 刘延柱.振动力学［M］.北京：高等教育出版社，1998.

［8］ 王新敏.ANSYS工程结构数值分析［M］.北京：人民交通出版社，2007.

［9］ 宋一凡.公路桥梁结构计算理论［M］.北京：人民交通出版社，2000.