对一道中考实验题的探究与论证

吴洪华

摘 要：一道衍生于伏安法测电阻的中考实验题，讨论的是电路中滑动变阻器的电功率随电流变化的特点。在解答过程中产生了几点疑问，后用数理结合的方法进行了论证，解决了心中的疑问。

关键词：中考实验题；疑问；数理结合；论证

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）10-0057-3

题 （2014·扬州27）某同学用图1所示的电路探究“通过导体的电流与电压、电阻的关系”，电源电压恒为3 V。

（l）闭合开关后，电流表无示数，但电压表有示数，原因可能是 。

A.电流表断路 B.电压表断路

C.R1断路 D.R2断路

（2）探究电流与电压的关系时，应保持

不变（R1 /R2）。

（3）探究电流与电阻的关系时，当R1的阻值是2 Ω，电流表示数是1.0 A；要使电流表示数是0.5 A，R1的阻值是 Ω；多次测量后，作出的I-R1图像是图2中的 。

（4）该同学为研究可变电阻功率的变化规律，他将R1换成阻值为5 Ω的定值电阻，把R2换成阻值范围是0～10 Ω的电阻箱。实验中R2从1 Ω逐渐调大到10 Ω，实验数据如表1。

当R2消耗的功率最大时，其电阻约为 。

A.4 Ω B.5 Ω

C.6 Ω D.4 Ω和6 Ω

简析：（1）电流表无示数，则电路断路；电压表有示数，则与电压表并联的电路断路；（2）要探究电流和电压的关系，应保持电阻不变；（3）在探究电流和电阻的关系时，应保持电阻两端的电压不变，根据欧姆定律进行分析；（4）根据表格中数据呈现的变化趋势，可以推断出“当R2消耗的功率最大时，其电阻约为5 Ω”。

作为一道中考题，本题并未在问题设置中给予学生太难的障碍，但其第（4）问却引起了笔者的思考：此处给出了六组实验数据，这与教材中许多规律探究性实验通常只要求做三次实验（或给出三组数据）不同，分析题目提供的六组实验数据所反映的变阻器功率变化的趋势，可以得出“变阻器的电功率P1随电流I0的增大先增大后减小”的初步结论，并且从第3、4两组实验数据还能看出在这两点变阻器的电功率似乎有对称的特点。那么，①P1与I0之间是否存在着一个对应的有对称轴二次函数关系式？②滑动变阻器消耗的功率随它接入电路的电阻变化之间存在怎样的函数关系？③原试题第（4）问给出实验数据虽只有六组，但已经足以证实P2随R2变化的不对称性，所以我们在解答最后一问时会产生疑惑：P2的最大值恰恰是在R2=5 Ω这一点吗？④能否通过数理结合的方法解答上面的问题？

根据试题的第（4）问，将原题中的图1所示的电路中的电阻箱换成阻值为5 Ω的定值电阻，R2用最大值等于10 Ω的滑动变阻器替代，连接成图3所示的电路，做以下分析。

根据电路的总功率等于各电器的功率之和，可推得变阻器的电功率的表达式为：

P2=P总-P1=U电源I1-IR1=-R1（I-I1）=

-R1（I1-）2+（1）

式（1）表明，确实存在一个关于P2-I1（也即此电路中的总电流）的二次函数。按理说，P2随I1变化的特征应该是一个开口向下的有对称轴的抛物线。但须知通过R1的电流不会为0；滑动变阻器的电功率也只有电流不通过它时（此时电路中的电流I-）才等于0，即图像与横轴应只有一个交点。根据操作要求，开关闭合时，变阻器滑片应置于阻值最大位置，则图像的起点在图中的点P2，虽无限靠近坐标原点，但不会落到原点，这是因为在图3所示的电路中，电路中的电流I1不会为0，电路中的最小电流是I=，其中R1的值越大（R2远远大于R1），I1越小，P2也越小，但不会等于0。当电路中电流I=（此为抛物线的对称轴，也即“变阻器接入电路的阻值恰好等于R1”）时，变阻器的电功率有最大值，P最大=，此为图像的顶点；当电路中电流I1=（即滑动变阻器接入电路的电阻等于0）时，P2=0。当电路中的电流等于（R1为变阻器的最大值）时，图像到达另一个端点（，0），如图4所示。

事实上也不难计算，当图3所示电路中的电流分别是0.1 A（设R2的值允许）、0.2 A、0.3 A、0.4 A、0.5 A时，R2的电功率分别等于0.25 W、0.40 W、0.45 W、0.40 W和0.25 W，呈现以P2=0.45 W为顶点的显著对称性。至此，证实了前面提出的疑问①。那么，以变阻器的阻值R2作为自变量的关于P2-R2之间的函数关系又是怎样的呢？

借助U电源和定值电阻R1这两个常量，可以推导并整理得出滑动变阻器电功率P2随其电阻R2变化的表达式如下。

P2=I2R2=（）2R2==

（2）

式（2）表明，这不是一个形如y=ax2+bx+c的二次函数，那它有没有顶点？有没有对称轴呢？

分析式（2）发现，当变阻器接入电路的阻值为0时，由P2=I2R2可知，P2等于0为最小值；当变阻器接入电路的阻值等于R1时，式（2）的分母最小，则P2取最大值，且最大值为。那么，与此关系式对应的、能反映P2-R2关系的图像是什么形状呢？为了回答此问题，就以扬州市中考题的第（4）问给出的R1和R2的值并将分别R2等于3 Ω、

5 Ω、7 Ω、9 Ω时R2的电功率P2的值也统计成如表2。

根据表2数据，按R2的阻值由小（R2=0 Ω）到大的顺序用描点法描绘的P2随R2变化的图像如图5所示。图像反映出变阻器的电功率P2随R2接入电路阻值的变化具有如下的变化特征：

①当R2

②R2=R1这一点是P2变化的分水岭（函数图像的最大值点P最大，即函数图像的拐点）。

③在R2=R1这一分水岭两侧，P2值的变化是不对称的，当R2由0增大到R1时，P2逐渐增大（增大较快），并达到最大值；R2连入的值达到R1后继续增大，P2则缓慢减小，用赋值法易证实P2从其最大值0.45 W减小到0.25 W （R2=1 Ω时，它的电功率值）时，R2的值必须达到31 Ω，显示出P2随R2变化的强烈的不对称性。

从上面的分析可以看出，尽管两种解法中图像的差异很大，但我们又可以看出两者在最大值、最小值等点位的同一性及图像与横轴只有一个交点的同一性。同时也看出了原题给出的R2=4 Ω和R2=6 Ω这两点时P2的功率其实并不相等，只是非常相近而已，但两个函数表达式都可证明最大功率就是在R2=5 Ω这一点。

至此，解题之初产生的几个疑问一一得到了解答，让笔者心中有如释重负的豁然之感。这不仅仅是这道中考题的魅力所在，也更是物理问题总有吸引我们不断探究的独特魅力吧！

（栏目编辑 王柏庐）