基于Biot固结方程研究地下水位对隧道防水型衬砌的内力影响

王志杰，王 宁，何晟亚

(1.西南交通大学交通隧道工程教育部重点实验室; 2.西南交通大学土木工程学院，成都 610031)

基于Biot固结方程研究地下水位对隧道防水型衬砌的内力影响

王志杰1，2，王 宁1，2，何晟亚1，2

(1.西南交通大学交通隧道工程教育部重点实验室; 2.西南交通大学土木工程学院，成都 610031)

地下水位是影响隧道防水型衬砌力学行为的一个重要因素。为了研究地下水位变化对防水型衬砌的影响，基于Biot固结方程考虑17种不同地下水位的工况。利用FLAC3D有限差分法数值模拟，采用均匀连续各向同性渗流模型，得到不同工况下隧道衬砌结构的内力。通过分析衬砌在不同水位下产生的内力，总结地下水位变化对隧道防水型衬砌受力的影响规律。计算结果表明：地下水位在大于隧道半径3倍以上的范围，拱顶、拱肩与拱墙的轴力不随地下水位变化；在地下水位变化的时候，拱顶为最不利位置，拱墙为安全位置。

地下水位；圆形隧道；防水型衬砌；Biot固结方程

1 概述

随着路网向山区的拓展，线路标准的提升，特别是高速铁路和高速公路大规模的修建，需要修建大量的“深”、“长”、“大”山岭隧道及江、河、海底隧道。在山岭隧道的修建过程中，经常会遇到地质条件复杂的地层，有时必须穿越高水压富水地区。在这种情况下，防排水设计就显得尤为重要。在隧道防排水设计中，首先要确定隧道防排水衬砌的类型。目前一般是把隧道衬砌分为防水型衬砌和排水型衬砌两大类。两者的区别是防水型考虑隧道承受水压的作用，而排水型衬砌不考虑承受水压的作用。过去，我国山岭隧道的防排水方针主要是以排水为主，但是大量排水可能会影响隧道周围环境，造成环境恶化，影响群众生产、生活。因此，在某些情况下，必须采取以防为主的防水型衬砌。近年，有更多的学者研究地下水对隧道衬砌的影响，例如：王秀英[1]对于山岭隧道堵水限排围岩力学特性分析，通过对给定隧道的分析得出不同排水条件下围岩特性曲线不同，而传统衬砌结构设计时完全不考虑水的作用的计算方法有待改进；罗富荣[2]对地下水水位上升对地铁隧道结构的影响分析，研究得到地下水位的上升对隧道结构的内力有影响；王建宇、郑波[3-5]对隧道围岩渗流和衬砌水压力荷载的分析，基于等效渗透系数以及轴对称系数对隧道水压力进行分析，得到对地下水位高的深埋隧道，采用全封堵防水结构将会使衬砌承受过大的水压力；何明磊[6]对隧道衬砌水压力荷载及内力研究，研究了衬砌渗透系数、注浆半径和衬砌半径对隧道内力的影响。郭瑞及周晓军[7]对水底隧道复合式衬砌中隧道涌水量与衬砌压力的关系进行研究。王春梅[8]对低渗透性底层浅埋隧道的不同排水模式下的衬砌内力研究中，找到适宜的排水方式达到结构优化目的。在高水压山岭隧道的研究中，李伟[9]等对衬砌结构水压力特征进行了详细的研究。

由于防水型衬砌要承受水压力的作用，因此在防水型衬砌设计和施工中，地下水位的变化对衬砌结构的内力有着重要的影响。

本文利用FLAC3D有限差分软件，在控制排水的理念下，结合均匀连续各项同性渗流模型和Biot固结方程，计算17种不同水位工况下圆形隧道衬砌结构的受力，通过分析防水型衬砌在不同水位的水土压力作用下的内力计算结果，总结在不同地下水位条件下防水型衬砌结构的受力特征及变化规律，以及对这些规律进行拟合，预测地下水位变化对衬砌的影响。

2 Biot固结方程

Biot固结方程是从连续介质的基本方程出发，能准确反映孔隙压力消散与土体骨架变形相互关系的三维固结方程。今年许多学者对于Biot固结理论进行研究，例如：王建华[7]对Biot固结理论在单桩负摩擦研究，利用该理论而不需要附加其它假设进行计算；罗晓辉[8]对弹塑性大变形Biot固结理论的参变量变分原理研究，得到在求解过程中利用Biot固结方程消除了由于弹塑性迭代对孔隙水压力增量的影响。Biot固结方程满足土体平衡条件、弹性应力-应变关系和变形协调条件，并且考虑了水流连续条件。利用该理论计算渗流作用下的圆形隧道防水型衬砌的弯矩与轴力。其包括了3个主要方程，分别是考虑有效应力的平衡方程、本构方程与几何方程。

将本构方程、几何方程代入平衡微分方程得到用位移和孔隙压力表示的平衡微分方程为

(1)

又由于水是不可压缩的，对于饱和土，土单元体内水量的变化率在数值上等于土体积的变化率，结合Darcy定律得到

(2)

并由此展开得到

(3)

运用Biot固结方程，可以建立考虑了土体3个方向排水和变形的模型，而对于太沙基固结理论，仅适用于一维情况，对于二维与三维情况都不准确。所以对于计算地下水位变化的情况下，采用Biot固结方程，可以准确地计算出隧道防水型圆形隧道衬砌的内力。

3 有限差分法计算原理

利用有限差分软件FLAC3D，将衬砌、围岩和注浆加固圈假设为多孔连续介质。流体在孔隙中的流动满足Darcy定律和Biot固结方程，主要方程[6]如下。

3.1 流体本构方程

假定流体质量的变化与孔隙水压力p、体积应变e、温度T的变化成线性关系，则流体本构方程可以表示成

(4)

式中，p为孔隙水压力，N/m2；M为Biot模量，N/m2；α为Biot系数；β为热膨胀系数，1/℃，用此来考虑流体和颗粒的热膨胀。

3.2 流体质量平衡方程

对于小变形，流体质量平衡方程表达如下

(5)

式中，qi,i为流体速度矢量在i方向分量,m/s；qv为流体体积源密度,l/s；ζ为由于流体扩散运动引起的单位体积孔隙介质流体质量变化量。

3.3 运动方程

用Darcy 定律来描述孔隙介质渗流过程中流体流速与孔隙水压力的关系。对均质的、各向同性的固体和常流体密度。运动方程可表示成如下形式

(6)

式中，k为介质的饱和渗透系数，m4/Ns；ρf为流体密度,kg/m3；gj(j=1，3)为重力的3个分量。

对于饱和与非饱和流体，空气压力被认为是常数或等于0。

4 有限差分法数值计算与分析

4.1 计算参数

根据《铁路隧道设计规范》，选取Ⅳ级围岩和地下水物理力学参数作为计算参数，见表1。

表1 计算参数

4.2 计算模型和方法

图1 FLAC3D渗流模型

利用有限差分法软件FLAC3D建立渗流模型，见图1。模型的高度为100 m，宽度为100 m，隧道中心在模型的中心，即隧道中心到模型的上下边界为50 m，至模型的左右边界均为50 m，沿隧道轴线方向取单位长度。隧道中心的水头高度为50 m，隧道区域的几何形状为衬砌内边长为10 m的且衬砌外边长为11.2 m的圆形。其中地下水位至隧道中心为6 m时，恰好在隧道拱顶上方，而地下水位至隧道中心为6 m时，恰好在隧道仰拱下方。隧道开挖方法采用暗挖法，衬砌采用的是防水型衬砌，将衬砌简化为紧贴围岩的单元，并且将其分成内外两层。

力学模型的边界均受到法向的约束；渗流模型中，开挖围岩界面或衬砌外表面的孔隙水压力取p=0。根据对称性，测点2与测点8、测点3与测点7、测点4与测点6的计算结果相同，所以仅记录测点1、测点2、测点3、测点5与测点6的计算结果并进行比较分析，测点编号见图2。

图2 测点编号示意

在不同工况下，地下水位各不相同，以隧道的中心作为坐标原点，地下水位至隧道中心距离分别为：24，20，18，16，14，12，10，8，6，4，2，0，-2，-6，-8 m，因此，作用在衬砌上的水荷载也各不相同。通过分析不同工况下衬砌单元应力，考虑弹性理论，可以得到各个单元的弯矩与轴力。

4.3 结果分析

利用有限差分软件结合Biot固结方程计算不同地下水位下的17中工况，列表显示拱顶、拱肩、拱墙、拱脚和仰拱(测点1、2、3、4、5)的衬砌弯矩与轴力(轴力受压为正，衬砌内侧受压为正)，见表2。

由表2可知。

表2 各个测点在不同地下水位的内力

(1)在地下水位至隧道中心距离为16～24 m时，测点1、2的轴力不变；测点3、4、5的轴力发生小幅度改变，其与地下水位至隧道中心为24 m时相比，其中测点3分别增大了0%、4.5%、4.5%、9.1%，测点4分别增大了0.6%、1.7%、3.4%、5.1%。测点5分别增大了0.9%、3.6%、7.3%、10.9%。

(2)在不同地下水位工况下，测点1的轴力逐渐减小，但是在地下水位至隧道中心为0 m和-2 m时，轴力相同；而到-8 m时，开始出现增大的趋势；至于弯矩，在地下水位至隧道中心为24～14 m时，其逐渐减小，但是在12～-4 m时，出现增大的趋势，当地下水位为-6～-8 m时，再次出现减小的趋势；而弯矩与轴力的最大差值，分别为1.27 kN·m 和44 kN。

(3)测点2的轴力，在地下水位至隧道中心由24～0 m时，逐渐减小，但是在0 m处发生突变，再次出现增大的趋势，而且该处与0 m相比，增大了27.6%；至于弯矩，基本没有大幅度的变化，其最大差值为0.75 kN·m。

(4)测点3的轴力随着地下水位至隧道中心的改变，在24～12 m时，没有变化，基本保持在21 kN，但是在10～-8 m时，产生较大的浮动，最大变化率为61.8%；至于弯矩方面，在地下水位至隧道中心为24～2 m时，其弯矩值均小于1 kN·m，且在10～14 m时，弯矩值达到正值，但是数值接近于0，但是在0～-6 m处，逐渐增大；其中轴力与弯矩的最大差值分别为48 kN和1.68 kN·m。

(5)随着地下水位至隧道中心距离的减小，其轴力逐渐减小，没有突变的存在；至于弯矩方面，地下水位至隧道中心距离为24～6 m时，以不超过0.4%的速率增大，但是在6～-8 m时，逐渐减小，与6 m时相比，减小率分别为0.2%、1.0%、3.2%、3.6%、8.1%、15%、11.6%。

(6)测点5随着地下水位至隧道中心距离由24～6 m，轴力逐渐减小，在6～-8 m时，其逐渐增大，在17个工况中，最大差值为27 kN；至于弯矩方面，先增大后减小，其最大差值为2.36 kN·m。

5 结论

通过Biot固结方程，随着地下水位到隧道中心的变化，结论如下：

(1)对于圆形隧道拱顶、拱墙、拱脚与仰拱，可以利用一元六次方程拟合其轴力与弯矩，且拟合度达到0.90以上，即可以利用拟合的方法来预测其余位置的内力；

(2)在24～16 m处，拱顶、拱肩与拱墙处存在轴力不变，即地下水位在大于隧道半径3倍以上的范围，拱顶、拱肩与拱墙的轴力不随地下水位变化；

(3)拱顶、拱肩、拱墙、拱脚与仰拱的弯矩，变化幅度小，但是拱顶轴力的变化幅度大，最大达到60.4%，且与隧道其他部位相比，均为最大值，即该位置为隧道最不利位置，需要在排水过程中，进行重点监测；

(4)拱墙在各个工况下，轴力与弯矩均是最小值，且弯矩接近于0，即拱墙为安全性最大的区域。

在控制排水的过程中，采取边施工，边计算的方式。即通过开挖实施监测围岩的参数情况，并运用Biot固结方程进行数值模拟，计算圆形隧道防水型衬砌的内力变化。

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Study on the Impact of Underground Water Level on Internal Force of Tunnel Waterproof Lining Based on Biot Consolidation Equation

WANG Zhi-jie， WANG Ning， HE Sheng-ya

(1.Key Laboratory of Transportation Tunnel Engineering， Ministry of Education， Southwest Jiaotong University;2.School of Civil Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China)

Underground water level is an important factor that affects the mechanical behavior of tunnel waterproof lining. In order to study the effect of underground water level changes on water proof lining， Biot consolidation equation is used to calculate 17 different conditions of underground water level. FLAC3Dfinite differential method of numerical simulation and homogeneous isotropic seepage model are employed to obtain the internal force of tunnel lining structure under different working conditions. Through the analysis of the internal force of lining under different water level， the law of the influence of underground water level changes on the waterproof tunnel lining stress is then fined. The calculation results show that when the underground water level is more than 3 times greater than the radius of the tunnel， and the axial force on the arch and spandrel arch wall doesn’t change with the change of the water level; when the ground water level changes， the vault is the most unfavorable position， while the arch wall is a safe one．

Underground water level; Circular tunnel; Waterproof lining; Biot consolidation equation

2014-12-25；

2015-02-11

中央高校基本科研业务费专题项目(SWJTU11ZT33)

王志杰(1964—)，男，教授。

王 宁(1991—)，男，硕士研究生，E-mail:99433257@qq.com。

1004-2954(2015)10-0139-04

U451+.4

A

10.13238/j.issn.1004-2954.2015.10.031