条件概率分布与巴格达的贼

马芙玲

（中山火炬职业技术学院，广东 中山 528436）

条件概率分布与巴格达的贼

马芙玲

（中山火炬职业技术学院，广东 中山 528436）

文章通过求巴格达的贼的问题，引入条件概率分布，条件数学期望和全数学期望公式。随后利用这些公具，圆满地解决了巴格达的贼问题，旨在帮助学生化解这一数学难点。

巴格达；条件概率分布；全期望公式

1 引言

在《概率统计》这一门课程中，关于条件概率分布这一部分内容，一般同学都觉得有些困难．然而该内容，无论是在实际应用，还是在概率论的深入学习方面都是必不可少的，为此本文通过求解巴格达的贼的问题，引入条件概率分布，条件数学期望和全数学期望公式。随后利用这些工具，圆满地解决了巴格达的贼问题。本文旨在帮助学生化解这一数学难点。

2 巴格达的贼的问题

巴格达是伊拉克的首都，它以石油和古巴伦历史文化为骄傲。近年来又以战乱抢劫偷盗闻名于世。据悉，此地的盗贼猖獗由来已久，分析贼的处置可归结为如下数学模型。

把巴格达的贼关进一座有三扇门的地牢，其中一扇通过一个短地道，通过这一地道走一天后又返回地牢。另一扇门通过另一个长地道，通过该地道走三天仍回地牢。第三扇门通向自由。假定地牢很暗，贼想逃走是等可能地选择每扇一门，试求贼被投狱的平均天数（从他第一次选择某扇门的时刻算起，直到他选择了通向自由门的次数为止）。

易知贼人没有死罪，而在地牢中呆的天数要看他的运气，只有求出平均被投狱天数才可以比较对其的惩罚力度。

3 条件概率分布

设 ,ξ η是离散型随机变量。即

由条件概率定义知

例设ξ是取值{0,1,2}，η是取值为{0,1}的二维随机变量，(ξ,η)的概率如表1所示：

表1　(,)ξ η的概率表

求其条件分布列。

解：由随机向量(,)ξ η的概率函数可算出其边际分布列

由条件分布列定义知：

当然也可以写出其条件分布函数，此处从略。

对于离散型随机变量，由其分布列可定义描述其取集中位置的数学特征，即数学期望。类似地，由离散型随机变量的条件分布，也容易引进其条件期望的概念。在一个可数的样本空间里，考虑一个值域为的随机变量与一个事件，值域为，假定的数学期望存在，则它相对于事件的条件期望自然地定义为

类似于全概率公式，称上式为全数学期望公式，它也非常有用。

4 巴格达贼问题的解

则sn表示贼从第一次选择一扇门时刻起，到第1n+次选择通向自由门为止被关押的天数。由全数学期望公式，则平均天数

可知，若贼选择通向自由的门，则在此条件下，之后被关押的天数为0，即。

所以

由上面所得的递推公式，再用iξ的独立分布的性质及数学期望的可加性得

得到巴格达的贼被投入监狱的平均天数仅为短短 4天，如此低的代价使得在巴格达盗贼非常猖厥．

[1] Y.S.Chond, H.Teicher. Probability Theory[M].Berlin: Springer-Verlag,1978.

[2] E.Parzen. Stochastic Processes[M].San Francisco:Calif Holden-Day,lnc.,1962.

[3] Changfu Luan.The Fate of a Gambler with the Bold Strategy[J].Far East J Theo Stat,2002,8(2):89-97.

The conditional probability distribution and the Thief of Baghdad

In this paper, the conditional probability distribution, the conditional expectation and the Law of total expectation are int roduced first, and then solves the Thief of Baghdad problem completely. This article is designed to help students to resolve this mathem atic difficulty.

Baghdad; conditional probability distribution; Law of total expectation

O211.9

A

1008-1151(2015)09-0158-02

2015-08-12

马芙玲（1963－），女，山东人，中山火炬职业技术学院公共课教学部副教授，研究方向为数理金融和数学教学。