液舱三维晃荡运动二阶共振理论解及特性分析

杨小岩，张洪生，吴鹏飞，2

(1.上海海事大学 海洋科学与工程学院，上海 201306;2.上海交通大学海科集团有限公司，上海200231)

随着LNG 船这类载液货物船型的普遍应用，晃荡问题逐渐成为海洋工程水动力学的研究热点［1-3］。由晃荡而产生的共振问题也显得尤其重要。共振是自然界非常重要的现象，当外部激发频率等于系统的某一固有频率时就会发生共振现象。文献［4］采用线性理论分析了液舱内二维液体的晃荡问题。当外部激发频率等于固有频率时，液舱内液体晃荡发生共振。文献［5-12］采用不同的数值方法，如有限元法和非线性模态法等，研究了液舱内液体的非线性共振问题。尽管根据非线性理论可以得出结论，当共振发生时自由液面的高程不可能趋于无穷大，但仍然具有较大的振幅。这仍可能导致对液舱的猛烈冲击，从而使其发生破坏。

文献［13］研究发现，除了一阶共振在液舱晃荡中的影响比较重要外，二阶共振也很重要。随后，文献［14］通过完全非线性理论，文献［15-16］通过PSME(Pseudo Spectral Matrix-Elements 伪谱矩阵元)法，文献［17-18］通过时域分析方法分别证实了二阶共振的重要性。前人对二阶共振的研究多采用模型试验和数值计算方法，而对二阶共振的理论研究只局限于某一方向上的振荡，如纵荡或横荡运动。实际上，对于大多数晃荡问题，液舱运动包括所有运动模式［19］。例如，船舶运动通常结合了纵荡和横荡运动。线性理论只能考虑简单的纵荡和横荡运动的叠加，而不能考虑它们之间的耦合。然而，对于二阶问题，不再是简单的叠加运动，而需要考虑两个方向的耦合运动。这种由两个方向的耦合运动所产生的耦合项在文献［13］所考虑的单一方向运动、二维二阶共振的问题中是不存在的。文中考虑了三维二阶共振问题中的耦合运动，还研究了各个二阶共振激发频率下水深变化对晃荡振幅的影响。

图1 笛卡尔坐标系ox0y0z0 和oxyzFig.1 Cartesian coordinate systems ox0y0z0 and oxyz

1 二阶共振的理论解

1.1 基本方程和边界条件

考虑一个三维长方体液舱模型，长为2l，宽为2b，液舱内水深为d，并同时作横荡和纵荡的三维晃荡运动。假定液舱中液体为无黏、不可压和运动无旋。在液舱上建立一个右手笛卡尔坐标系ox0y0z0，原点位于初始静止状态自由液面的中央，z0方向垂直向上，如图1 所示。假定液舱在x0方向和y0方向的位移分别是s1(t)和s2(t)。

液舱中液体运动的速度势φ 满足三维拉普拉斯方程:

自由液面高程可以用z0= η (x0，y0，t)表示，则边界条件为

在液舱运动系统中建立另外一个笛卡尔坐标系oxyz，如图1 所示。它与坐标系ox0y0z0的关系可以表示为

因而在坐标系oxyz 下，式(2)～(6)可分别表示为

根据微扰理论，在z = 0 (静水面)处展开，由式(8)和(9)分别可得

类似地，根据微扰理论，由式(10)～(12)分别可得

1.2 一阶共振的理论解

由于一阶速度势φ(1)和一阶波面函数η(1)是线性的，它们可分别通过直接将横荡和纵荡的一阶解进行线性叠加而得到。假定和分别为横荡和纵荡的速度势一阶解，和分别为横荡和纵荡的波面函数一阶解，三维晃荡问题一阶速度势φ(1)和一阶波面函数η(1)的表达式分别可写为

由文献［13］可得

式中:Am，Bm，Jp和Kp为未知系数;km= mπ/2l，jp= pπ/2b。

1.3 二阶共振的理论解

对式(16)求关于t 的导数，并代入式(15)，可得

将式(20)和(21)分别代入式(26)，简化处理后可得

在式(27)中，等号右边可以分为三个部分

假设

由文献［13］可知

将式(22)～(25)和式(30)～(33)代入式(27)的最后一部分，整理后得到

其中，

将式(37)代入式(36)，整理可得

Fmp(t)的初始条件可从式(7)得到，再由式(16)，可得

利用拉普拉斯变换和逆变换，可得式(38)的解，即

式(40)表明当fmp(τ)包含周期项ωmp，并当t →∞时，Fmp(t)趋近于无穷大。

2 二阶共振的特性分析

2.1 二阶共振发生的条件

在液舱以U(t)= U1sinΩ1t、V(t)= V1sinΩ2t 的速度做三维晃荡运动的情况下，从式(34)可以发现，Ω2都为速度势二阶解中耦合项的周期项，ωm和ω'

p 分别为x 和y 方向的固有频率，从文献［5］可知，三维晃荡液舱的固有频率为ωmp(m，p = 1，3，…)。

显然，当m，p = 2，4，…时根据式(35)有fmp= 0 ，意味着偶模只对应于横荡或者纵荡的单一方向的晃荡，而奇模则对应于横荡与纵荡同时发生时产生的耦合项。当横荡固有频率为奇模，纵荡固有频率为偶模即ωmp(m = 1，3，…;p = 2，4，…)或对应横荡固有频率为偶模，纵荡固有频率为奇模即ωmp(m = 2，4，…;p = 1，3，…)时，有fmp= 0 ，因而二阶共振也不会发生。而如果3，…中任意一个频率等于液舱某个满足奇模的固有频率ωmp(m，p = 1，3，…)时二阶共振则会发生。

对奇模进行分析，设m = p = 1 。根据式(40)可知F11反映了所讨论的二阶共振发生时波高的变化。假定液舱尺寸长宽大小为l = d、b = 0.4l。图2(a)和2(b)分别给出了当Ω2+Ω1= ω11和Ω2－ Ω1= ω11时，无量纲波高，即的变化情况。由图2 可知，对应于奇模的这两种情况，发生了明显的共振。

图2 不同条件下F1 相对于t1 的变化Fig.2 F1 against t1 under different conditions

图3 相对于1/2l(或者1/2b)ω1 的变化Fig.3 ω1 against 1/2l(or 1/2b)

再来考虑二阶共振的另外一个例子，图2(c)和2(d)分别给出了当Ω2±ω1= ω11，Ω1= 0.5ω1时波高随时间的变化情况。结果同样表明随着时间的增加波高逐渐变大。由图2(e)和2(f)可知，当Ω1±= ω11，Ω2，也有类似现象。以上的例子表明，当某一方向外部激发频率与某一固有频率和其另一方向晃荡的固有频率的和相等时，二阶共振也会产生。

由式(34)可以发现，当ω'p + ωm满足下式时，二阶共振可能发生。

然而，式(41)只有当d/2l 和d/2b 取某些特定值时才成立。假设d = 1 、m = 1 ，图3 给出了ω1相对于1/2l(或者1/2b)的变化情况。从图3 可知，只有当1/2l≪0.1 或1/2b ≪0.1 时式(41)才成立，也就是说d/2l 或d/2b 是非常小的量，这也就意味着水深是非常浅的。然而，在水深很浅的条件下任何可能的二阶共振都没有实际的意义。

2.2 液面高度对二阶共振振幅的影响

众所周知，液舱尺寸大小比例、初始运动状态、激发频率和液舱内液深是影响晃荡幅值的几个重要因素。文献［15］在采用PSME 方法对于二维晃荡二阶共振的研究中，对这上述几个影响晃荡共振的因素进行了详细的讨论和对比分析。

采用Matlab 软件，对不同深度液体的晃荡共振情况进行模拟，并讨论液舱内液体不同深度情况下三维晃荡共振的特性。由于篇幅限制，只给出了在不同液深情况下和频效应所激发的无量纲波高随时间变化的曲线。

算例1，Ω2+ Ω1= ω11

图4 为Ω2+ Ω1= ω11时，d = 0.4l、d = l 和d = 1.8l 三种液体深度情况下，液舱晃荡二阶共振的液面高度随时间变化的情况。在此激发频率下，对比图4(a)～(c)明显可以看出，当t1= 200 时，液舱中液体晃荡高度分别为400、200 和180 左右;当t1= 400 时，晃荡高度分别达到800、400 和350 左右。由此可见，在输入频率为两方向外部激发频率的和频时，液体深度对晃荡作用的影响是明显的，液体深度越小，其二阶共振晃荡的振幅就越大。

图4 不同液深情况下F1 相对于t1 的变化Fig.4 F1 against t1 in the case of different water depths in tank as Ω2 + Ω1 = ω11

当Ω2－Ω1= ω11时，根据d = 0.4l、d = l 和d = 1.8l 三种液体深度情况下，液舱晃荡二阶共振的液面高度随时间变化的曲线可以得到，当t1= 200 时，液舱中液体晃荡高度分别为50、70 和80 左右;当t1= 400时，晃荡高度分别达到100、140 和160 左右。由此可见，在输入频率为两方向外部激发频率的差频时，液体深度对晃荡作用的影响不如和频情况下明显。

由图5(a)可以看出，当d/l ≤1.0 时，曲线下降趋势较陡，说明液深变化对于二阶共振晃荡幅度的影响较大;而当d/l ≥1.0 时，曲线下降趋势较缓，说明液深变化对于二阶共振晃荡幅度的影响变小。由图5(b)可以看出，曲线依旧由陡变缓，但振幅数值变化较输入频率为两方向外部激发频率的和频时要小;且与和频情况不同的是，二阶共振晃荡振幅随着液深的增大而增大。

图5 当t1 一定时不同液深情况下F1 的变化Fig.5 F1 against the water depth in tank at t1 = 200 and t1 = 400 ，respectively

算例2，Ω1+= ω11

图6 为Ω1+= ω11时，d = 0.4l、d = l、d = 1.8l 三种液体深度情况下，液舱晃荡二阶共振的液面高度随时间变化的情况。在此激发频率下，对比图6(a)～(c)明显可以看出，当t1= 200 时，液舱中液体晃荡高度分别为15、35 和40 左右;当t1=400 时，晃荡高度分别达到30、70 和80 左右。由此可见，在输入频率为某一方向外部激发频率与另一方向的固有频率的和频时，液体深度越大，其二阶共振晃荡的振幅就越大。

图6 不同液深情况F1 相对于t1 的变化Fig.6 F1 against t1 in the case of different water depths in tank as Ω1 + ω'1 = ω11

当Ω1－= ω11时，根据d = 0.4l、d = l、d = 1.8l 三种液体深度情况下，液舱晃荡二阶共振的液面高度随时间变化的曲线可以得到，当t1= 200 时，液舱中液体晃荡高度都为70 左右;当t1= 400 时，晃荡高度分别达到130、150 和140 左右。由此可见，相对于输入和频，在输入频率为某一方向外部激发频率与另一方向的固有频率的差频时，液深的变化对二阶共振振幅的影响还是比较小的。

图7 当t1 一定时不同液深情况下F1 的变化Fig.7 F1 against the water depth in tank at t1 = 200 and t1 = 400 ，respectively

当0 ＜d/l ＜2.0 时，由图7(a)可以看出无量纲波高值不大，说明此时液舱内液面晃荡现象并不明显，但二阶共振确实已经发生。由曲线先陡后缓的变化趋势可以看出，液深变化在d/l ≤1.0 区域时对于二阶共振晃荡幅度的影响相对较大。由图7(b)可以看出，液深变化对其差频二阶共振晃荡振幅的影响很小。特别地，当t1= 200 时，其对二阶共振晃荡振幅的影响趋近于零。

算例3，Ω2+ ω1= ω11

图8 为Ω2+ ω1= ω11时，d = 0.4l、d = l、d = 1.8l 三种液体深度情况下，液舱晃荡二阶共振的液面高度随时间变化的情况。在此激发频率下，对比图8(a)～(c)可以明显看出，当t1= 200 时，液舱中液体晃荡高度分别为30、18 和15 左右;当t1=400 时，晃荡高度分别达到60、35 和30 左右。由此可见，在输入频率为横荡方向外部激发频率与纵荡方向的固有频率的和频时，液体深度越大，其二阶共振晃荡的振幅就越小。而与图6(a)～(c)所反映的输入频率为纵荡方向外部激发频率与横荡方向固有频率的和频的情况进行比较，两者二阶共振的变化规律正好相反。

图8 不同液深情况F1 相对于t1 的变化Fig.8 F1 against t1 in the case of different water depths in tank as Ω2 + ω1 = ω11

当Ω2－ ω1= ω11时，根据d = 0.4l、d = l、d = 1.8l 三种液体深度情况下，液舱晃荡二阶共振的液面高度随时间变化的曲线可以得到，当t1= 200 时，液舱中液体晃荡高度分别为130、120 和110 左右;当t1=400 时，晃荡高度分别达到280、260 和220 左右。由此可见，在输入频率为横荡方向外部激发频率与纵荡方向的固有频率的差频时，液体深度越大，其二阶共振晃荡的振幅就越小。相对于输入和频，在此输入频率时，液深的变化对二阶共振振幅的影响相对比较小。

图9 当t1 一定时不同液深情况下F1 的变化Fig.9 F1 against the water depth in tank at t1 = 200 and t1 = 400 ，respectively

由图9(a)可以看出，其曲线变化趋势与图5(a)大体一致。但无量纲波高值不大，说明此时液舱内液面晃荡现象并不明显。由图9(b)可以看出，曲线下降很缓，这说明对于差频二阶共振晃荡振幅随着液深的变化并不明显。

3 结 语

推导了液舱三维晃荡运动二阶共振问题的理论解，并讨论了其特性。在二维的条件下，当外部激发频率的和频或者差频等于液舱偶模固有频率时，二阶共振就会发生。对于三维问题，当在纵摇和横摇运动中都存在激发频率，则纵摇和横摇之间的耦合运动在二阶共振中起着非常重要的作用。当纵荡和横荡两个晃荡方向的和频或者差频等于液舱奇模固有频率时，就会发生二阶共振。当某一晃荡方向(横荡或纵荡)外部激发频率与另一方向(纵荡或横荡)液舱某一固有频率的差值或和等于液舱另一固有频率时，也会发生二阶共振。

通过数值模拟简要地分析了各个激发频率下不同液深对共振振幅的影响。分析可得，对于两个晃荡方向外部激发频率的和频、或单一晃荡方向(纵荡或横荡)某一个激发频率与另一晃荡方向(横荡或纵荡)某一个属于奇模的固有频率的和频引发的共振情况，水深变化对共振的振幅大小影响比较大;而对于两个晃荡方向外部激发频率的差频、或单一晃荡方向(纵荡或横荡)某一个激发频率与另一晃荡方向(横荡或纵荡)某一个属于奇模的固有频率的差频引发的共振情况，水深变化对共振的振幅大小影响比较小。

应当指出的是，二阶共振振幅与激发振幅的平方有关。文献［20-21］证明了粘性对晃荡共振的影响会在激发振幅对晃荡共振的影响起作用之前就已经明显了。这表明激发振幅和粘性对晃荡共振的影响也是很明显的。目前的工作可以进一步扩展到研究沿水深具有不同密度液体的晃荡问题。

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