理想轴棱锥与圆顶轴棱锥对无衍射光束的聚焦特性

陈姿言，何艳林，陈婧，吴逢铁

（华侨大学 信息科学与工程学院，福建 厦门361021）

由于无衍射光的特殊性质，使它得到广泛的研究和应用，国内外已用多种光学元件实现了近似无衍射贝塞尔光束.轴棱锥是目前用于产生无衍射光束最常用的光学元件之一，它是1954年由Mcleod提出来的非球面线聚焦透镜［1－2］，利用轴棱锥产生无衍射光束具有转换效率高、光损伤阈值大，可直接成腔等优点.无衍射Bessel光束经轴棱锥聚焦后可直接产生局域空心光束（Bottle beam），这是一种在传播方向上中心光强为零，在此区域外三维空间都围绕着高强度的光.理想轴棱锥是常用的产生Bessel光束的轴棱锥，它聚焦无衍射Bessel光束能够产生周期性的Bottle beam，但其中心光斑最弱的地方光强并不为零，散射作用较强，对要囚禁的粒子有一定的损伤，且其光强梯度不大.由于理想轴棱锥对尖顶的加工要求精度非常高，稍有误差可能就会变成圆顶轴棱锥［3］，它的圆顶部分平凸透镜的聚焦将光场能量集中在焦点附近与锥面波干涉后，产生多个具有高强梯度的Bottle beam［4］.目前，国内外已将轴棱锥对无衍射光的聚焦特性这个理论应用在各个领域.何西等［5－6］提出的新型LED 透镜产生光学Bottle beam 以及非相干LED 光源产生高阶Bessel光束；Craig Snoeyink等［7］提出的贝塞尔光束显微镜（BBM），都为此项研究开辟了新的方向.本文是通过对理想轴棱锥与圆顶轴棱锥对无衍射光的聚焦特性进行比较，分析各自产生周期性Bottle beam 的优缺点.

1 理论分析与数值模拟

1.1 理想轴棱锥对无衍射光束的聚焦特性

光束入射到理想轴棱锥上的无衍射光束的光场分布［8］为

式（1）中：A0＝1是复振幅常数；kr＝是径向波矢分量，γ为轴棱锥底角；r1是径向坐标.

轴棱锥的透过率函数为t（r）＝exp［－ik（n－1）γr］，用理想轴棱锥对无衍射Bessel光束进行聚焦，可以得到轴棱锥后的光场分布为

光强分布为

式（3）中：波数k＝2π／λ；n为轴棱锥的折射率；b为无衍射光束入射到轴棱锥的光束半径.根据式（3）取参量：波长λ＝632.8nm；轴棱锥底角γ＝1°；轴棱锥折射率n＝1.458；波数k＝2π／λ；b＝z0（n－1）β；r＝0.4mm.两轴棱锥之间的距离f＝300mm 进行模拟仿真，得到不同截面光强分布图和径向光强分布图，如图1所示.

图1 理想轴棱锥模拟所得不同距离的截面光强和径向光强分布图Fig.1 Intensity distribution of cross section at different propagation distance and intensity distribution of radial in simulation of ideal axicon

由图1可以看出：光斑经历了从轴上中心光强最强（图1（a））到中心光强最弱（图1（c））再到光斑中心光强最强的过程，而图1（e）中光斑又恢复到初始状态（图1（a））的光斑，其周期约为10mm.

1.2 圆顶轴棱锥的聚焦特性

圆顶轴棱锥如图2（a）所示，其聚焦的基本原理是利用圆顶部分平凸透镜的聚焦将光场能量集中在焦点附近与锥面波干涉，产生多个具有高强梯度的局域空心光束［9］.

图2 圆顶轴棱锥原理图Fig.2 Schematic diagram of vaulted axicon

如图2（b）所示，当平面波入射圆顶轴棱锥时，被分为两部分：第一部分为0＜R＜R2的区域，经过该区域的光线被平凸透镜汇聚于焦点F处；第二部分为R2＜R＜R1的区域，该区域的光线经过底角为γ的轴棱锥产生锥面波［10］.根据柯林斯公式可求得两部分光场经圆顶轴棱锥变换后的场强分布［11］分别为

式（4）～（5）中：k＝2π／λ为波矢；r1，r2分别为圆顶轴棱锥入射面和光场接收面的径向坐标；E0为入射光场；n为轴棱锥的折射率.圆顶轴棱锥后的光场为E1和E2的相干叠加，光强分布为

式（6）中：I为光强；Z为柱坐标系的轴向坐标.取参量λ＝632.8mm，n＝1.458，γ＝1°，R1＝4mm，R2＝1.4mm，f＝300mm，根据式（4）～（6）进行模拟仿真可得不同距离处的截面光强分布图和径向光强分布图，如图3所示.

由图3可知：光斑经历了从轴上中心光强最强（图3（a））到中心光强最弱（图3（c））再到光斑中心光强最强的过程［12］，而图3（e）中光斑又恢复到初始状态（图3（a））的光斑，其周期约为8mm.

图3 圆顶轴棱锥模拟所得不同距离的截面光强和径向光强分布图Fig.3 Intensity distribution of cross section at different propagation distance and intensity distribution of radial in simulation of vaulted axicon

2 比较与分析

理想轴棱锥与圆顶轴棱锥都可以产生Bottle beam［13］，但对比图1和图3，圆顶轴棱锥产生的Bottle beam 中心光强相比理想轴棱锥较强，更利于对粒子的囚禁，并且圆顶轴棱锥圆顶部分形成的平凸透镜的聚焦将光场能量集中在焦点附近与锥面波干涉后，可以产生多个具有高强梯度的局域空心光束［14］.而高强度梯度的局域空心光束可以对处于暗域处的粒子施以大的散射力，将粒子稳固地囚禁在暗域处，提高了囚禁粒子的效率.从图1和图3中也可看出：理想轴棱锥与圆顶轴棱锥聚焦产生Bottle beam 的周期，为了更好地比较Bottle beam 的周期，将利用公式计算出理论值，从而验证模拟值的正确性.

由文献［15］可知：根据干涉产生局域空心光束的周期公式，则有

式（7）中：kz＝为Bessel光束的轴向波矢分量；k′z为球面波的轴向波矢分量，即

由式（8）可以得出：球面波的轴向波矢分量与径向距离r有关，而在圆顶轴棱锥中r＝（R1＋R2）／γ.

利用式（7）和式（8）可以计算Bottle beam 的周期，则计算出理想轴棱锥聚焦产生Bottle beam 的周期ZT＝10.56mm，与图1模拟所得的周期10mm 基本相符.计算出圆顶轴棱锥聚焦产生Bottle beam的周期ZT＝7.67mm，与图3模拟所得的周期8mm 基本相符.由此可以得出：相比于理想轴棱锥聚焦产生Bottle beam 的周期，圆顶轴棱锥聚焦产生Bottle beam 的周期较短，对控制微粒的准确度更高，更有利于Bottle beam 对粒子的囚禁［16］.

3 结论

基于广义的惠更斯－菲涅耳衍射积分理论推导出Bessel光经过理想轴棱锥和圆顶轴棱锥后的光强表达式，并对理想轴棱锥与圆顶轴棱锥对无衍射光束的聚焦进行了分析.数值模拟了不同截面的光强分布和径向光强分布，并计算了理想轴棱锥与圆顶轴棱锥聚焦所产生的局域空心光束的周期.

将两类轴棱锥对比后得出，理想轴棱锥与圆顶轴棱锥都可以产生周期性的Bottle beam，理想轴棱锥所产生的Bottle beam 质量较好，而圆顶轴棱锥所产生的Bottle beam 周期较短，对控制微粒的准确度更高，并且圆顶轴棱锥圆顶部分形成的平凸透镜的聚焦将光场能量集中在焦点附近与锥面波干涉后，产生多个具有高强梯度的局域空心光束，更利于对粒子的控制.

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