高考中的数列求和问题

李晓君

（昆明市嵩明县第一中学 云南昆明 651700）

高考中的数列求和问题

李晓君

（昆明市嵩明县第一中学 云南昆明 651700）

数列是高中生学习的一个重要内容，也是在为学生今后学习高等数学打基础，同时也是高考的一个考察重点，高考命题的方向有以下三方面：（1）对数列本身的有关知识进行考察。要求能用等差或等比数列的概念、性质、通项及前n项和公式进行求解；（2）对数列与其它类知识，如与函数、方程、不等式几何及合情推理等知识点结合的考察；（3）对于数列应用的考察。

在此，针对高考中的数列求和问题解决方法提出自己的一些见解。

我认为在高中阶段，解决数列问题最关键是认清数列的规律，其实一个数列的规律就体现在它的通项上。不同通项的数列对应不同的求和方法。高中阶段主要的求和方法有：（1）公式法；（2）分组转化法；（3）错位相减法；（4）裂项相消法。下面依次举例说明。

方法小结：若已知一个数列是等差或等比数列，则可以直接用等差或等比的前n项和公式解决数列的前n项和问题。我们把这种求和方法称为公式法求和。

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式.

解答：

（Ⅱ）由 an=3n 得 b1=a2=6，b2=a4=12，则等比数列｛bn｝的公比为所以数列｛bn｝的通项公式为 bn=6×2n-1=3×2n，即：bn=3×2n，故 数 列 ｛an+bn｝ 的 通 项 公 式 为 an+bn=3n+3 × 2n， 所 以

即：数列｛an+bn｝的前n项和

分析：由题目已知条件可分析出数列｛an+bn｝的通项公式由两部分构成，而且是两部分的和。这两部分一个是等差数列通项，另一个是等比数列的通项，根据加法的交换律和结合律就把这个数列求和问题转化成了一个等差数列的和和一个等比数列的和的和。

方法小结：若一个数列的通项是两种数列的和构成的，则此数列求和可以转化为这两种数列的求和问题来解决。我们把这种求和方法称为分组转化求和法。

例3.已知各项均为正数的数列｛an｝满足

解答：

两式相减得

方法小结：若一个数列的通项公式是由一个等差通项和一个等比通项乘积构成的，则采用错位相减法解决该数列的求和。

一般步骤：1.写出前n项和（即从首项加到第n项）；

2.在等式两边同时乘上等比数列的公比错一位对齐；3.两边对应相减，进行化简求解。

例4.已知等差数列｛an｝满足：a3=7，a5+a7=26.

（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；

解答：

所以an=3+（n-1）×2=2n+1，即｛an｝的通项公式为an=2n+1.

所以