知其然，又知所以然——对《形同质别的不等式恒成立与有解问题分析》补充

黄汝平

（福建省龙岩市高级中学 福建龙岩 364000）

知其然，又知所以然
——对《形同质别的不等式恒成立与有解问题分析》补充

黄汝平

（福建省龙岩市高级中学 福建龙岩 364000）

不等式恒成立与有解问题是高考的热点，又是学生学习的难点.怎样在理解的基础上，掌握其解决方法，是突破这个难点关键所在.否则易混淆、易错.因而需对问题的本质提示，区别各问题异同点.文中通过举例说明，帮助学生理解解题原理，再结合变式训练，使得学生切实理解并掌握.

热点 难点 原理 恒成立 有解

不等式恒成立与有解问题是高考的热点，又是学生学习的难点.有关这一问题的文章很多.文［1］中就不等式恒成立与有解问题，通过一个问题，比较系统归纳了五种有关不等式恒成立与有解的常见类型，并给予解法分析，同时得出了两个结论，最后再举了两个例子来说明，使学生对此问题有个清晰的认识，知道该怎么做，称之为知其然.本文想对此问题作个补充，不妨当作变式训练，记为变式1、2、3，并对这八个类型问题谈谈自己的认识， 为了让读者便于阅读和思考，仍以文［1］中所提出的问题加以说明，使学生明白为什么可以这样，可谓知所以然.

解法一.此类问题若能将参数k与x分离，一般首选分离参数法

解法二.若参数k与x不易分离，当 ］3，3［-∈x 时，转化为

而第二类就比较不好理解，尤其是问题（4）、变式1和变式3.前面谈到变式1是指时，函数与的图像有交点即自变量相同，函数值相同.而却不是，如图1，若作一条与y轴垂直的直线l，当l同时与函数与函数的图像有交点，则方程有解，否则无解.从集合角度看，函数的值域A与函数的值域B交集应满足.对于第二类问题其实质是研究集合A与B的关系.利用数轴能形象刻画它们二者的关系.在实际教学中，若能借助几何画板变换函数的图象效果会更好.我认为把满足这一条件，看成两图像有一样“高”的时候.那么满足看成“高矮“比较，学生会觉得形象、直观.在数轴上体现就是集合A与B关系.再看问题（4）： 若对于任意总存在使得成立，就好理解为什么据函数、导数的知识先求出变式3： 若存在使得成立.可先研究此时通过容易得到或用补集法可得所求k的取值范围

图1

同学们可将上述的八个问题看成解这两类问题的原理，再举几个实例，供同学们参考.

分析与略解：（Ⅰ）略

解：（1）略

［1］郑一平.形同质别的不等式恒成立与有解问题分析.数学通讯.2010（7）

黄汝平，中学高级教师，连续多年被评为"优秀班主任"，发表论文多篇.