数形结合方法在高中数学教学中的运用

沈丽莉

【摘 要】数形结合是高中数学中最常用的方法之一，将数与形两个最基本的研究对象结合在一起，相互映衬，往往能起到事半功倍的效果。本文对数形结合的概念进行了分析，并对高中数学中的数形结合例子进行剖析，为高中生的数学学习提供了指导性的意见。

【关键词】数形结合；高中数学

在很多人心目中，数学就是大堆数字和逻辑符合的结合，实际上在数学的世界里可以大体分为两个概念，一个是数，一个是形，数和形之间存在着千丝万缕的联系，可以说二者是相辅相成的关系。高中数学内容繁杂，而数形结合可以帮助学生轻松的理解数学中的特别含义。也是老师传授数学知识的主要方法。

一、数形结合的含义及作用

数形结合是将数学领域中“数”和“形”两大对象结合起来的有效方式，也是一种常用的数学思想方法。数形结合在应用方面主要有两种表现，一种是“以数解形”，另一种是“以形助数”。可以用数字的精确性来表现某种形的属性。也可以用形的直观性来表明数字与数字之间的关系。

数学中经常用数形结合的方式将抽象问题具体化，复杂问题简单化，逐步找到解决数学问题的方法。高中数学涉及的几何函数、方程式、集合等问题，若单纯的从数字层面来理解，很多学生是不容易理解清楚的；若单纯的用几何图形来表示，又难以达到数学解题的目的。所以数形结合是高中数学应用最为广泛的方法。

二、数形结合解决集合问题

高中数学中会涉及到一个重要的知识点——集合，集合是表达元素之间的各种内在关系，包括并集、补集、交集。这种包含与被包含之间的关系本身就具有一定的图形意味。采用数形结合的方式就是将这些元素间抽象的关系具体化、形象化。以便学生能够更好的理解其中的含义。

学生在遇到集合问题时，一般选用两种图形配合解决问题，一种是数轴，另一种是韦恩图。在数轴上，学生通过标注元素的范围，可以直观的看出元素间的关系。例如，X<2，Y>-2如图1所示；若a≥3，b≤-1，用数轴表示则如图2所示。

韦恩图在集合的解题中用得最多，主要偏向于解决数型集合问题，很多在逻辑关系上很绕的题目，都可以通过韦恩图来解决。例如题目为：

对某公司有100个员工进行抽样调查，发现其中喜欢看球的人有58人、喜欢看戏剧的有38人，喜欢看电影的有52人，而既喜欢看球又喜欢看戏剧的人有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢的人有12人，那么其中只喜欢看电影的有多少人？

通过阅读题目的数据关系很多逻辑思维能力不强的学生理解起来非常困难，里面包含了各种包含相交关系，我们可以将这三种活动分别用三个圆表示，根据题目中的数据关系找到对应的数据，如上图所示。通过韦恩图将未知的区域即同时喜欢看球和看电影的人数设置为x，那么通过等式关系可以得出：

（40-x）+x+（36-x）+6+12+4+16=100，解得x=14；则只喜欢看电影的人有36-x=22。

三、数形结合解决方程与不等式问题

方程式是高中数学的重点知识，是学生必须熟练掌握的关键知识点。在解题时，通过数形结合可以更好的拓展学生的解题思路。高中数学中坐标系是图形表达的重要领域，可以用来辅助解决方程式、不等式等问题，解题思路是将方程式或者不等式作为绘制图形的依据，对绘制的图形进行观察，通过图形中的交叉等关系找到解题的关键。

例如求方程sin2x=sinx在区间（0，2π）解的个数。

根据题目直接画出sin2x和sinx的图形，根据两个图形的交点个数即可得出答案，绘制的图形如右图所示：

从图形中可以直观的看到两个图形的交点有3个，所以该题的解为3。

不等式也是一种函数关系的表达，大多数不等式可以直接通过题目本身找出问题的答案，但是过程一般比较繁复，若解题中一步出错，则整道题皆错。若在解决不等式时能够与图形结合，则会大大降低出错的机会，而同学理解起来也非常直观简单。

例如：解不等式■>x+1

在分析该题目时，将不等式两边的分别看作为两个函数，依次为y=■，g=x+1，在坐标上画出两个函数的图形，如右图所示。在结合题目中给出的信息y>g，则可以轻松找到解为{x|-2.5

四、总结

总而言之，数形结合方式在高中数学中被广泛应用，运用该方法解题可以让枯燥难以理解的数学知识变得更加直观简练，学生在解题时，要多运用该方法，将该方法渗透到各种题目中，做到灵活运用，融会贯通，将数学中的公式和解题思路联系起来，以形助数，找到最为简洁的解题思路。

【参考文献】

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（作者单位：江苏省南通市海安县李堡中学）