(g'/g2)展开法及其在KPP方程中的应用

孙 鹏，崔泽建

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)

非线性发展方程可以用来描述自然科学和应用科学的许多复杂现象．寻找新的求解方法并得到非线性发展方程的新形式精确解，作为非线性发展方程的重要研究内容已经成为该领域的研究热点之一．

近年来，许多简单有效的求解方法已经被提出并发展起来，例如Tanh-展开法［1］、F-展开法［2］、齐次平衡法［3］、指数展开法［4］、雅克比椭圆函数法［5］、Hirota 双线性展开法［6］和(G'/G)展开法［7］等．

受(G'/G)展开法的启发，LI［8］等提出了(ω/g)展开法．(G'/G)和(g'/g2)作为(ω/g)展开法的两种特殊方法已被运用于求解Vakhnenko 方程，结果表明相比于(G'/G)展开法，(g'/g2)展开法在过程中更加简单方便．黄［9］等运用(G'/G)展开法求解了KPP 方程，陈［10］等运用(g'/g2)展开法求解了CNKGE，本文将运用(g'/g2)展开法求解KPP 方程．

1 (g'/g2)展开法

非线性方程的一般形式可表示为:

把未知函数u=u(x，t)作行波变换，得u=u(ξ)，ξ=x-Vt，然后将方程(1)化作关于变量ξ 的常微分方程:

(g'/g2)展开法是假设方程(2)的解可以表示成一个如下多项式的形式:

其中g=g(ξ)满足如下的二阶常微分方程(ODE):

式(3)和(4)中ai(i=1，2，3，…，n)以及λ，μ 都是待定常数，且a0≠0，正整数n 由齐次平衡法确定．由方程(4)可得:

当μλ ＞0 时，

当μλ ＜0 时，

当μ=0，λ≠0 时，

其中c1和c2是任意常数．

u(ξ)可以利用以下步骤确定:

①利用齐次平衡法确定多项式(3)中的阶数，从而确定解的形式．

②将(3)带入(1)中，利用并且将(4)进行变形之后，得到新形式方程，再令其各项系数为0，确定系数ai．

③通过计算得出系数，最终确定解．

2 用(g'/g2)展开法解KPP 方程

KPP 方程的一般形式为:

令u=u(ξ)，ξ=x-Vt，那么ut= -Vu，uxx=u″，其中，u'是u 关于ξ 的一阶导数，u″是u 关于ξ 的二阶导数．那么此方程就变成如下形式:

由齐次平衡法得，O(n″)=n+2，O(n3)=3n，n+2 =3n，可得n=1．

因此

将上面几式代入(9):

整理，合并同类项，令各项系数为0，得到:

an≠0 可得

(当a0，a1，取某一组值时，V 的值唯一)共得四组系数．

下面以其中任意一组系数说明(其他三组同理可得):

当λμ ＞0 时，得到三角函数通解

当λμ ＜0 时，得到双曲函数通解

当μ=0，λ≠0 时，得到有理函数通解

其中c1和c2是任意常数．

3 结 论

本文通过运用(g'/g2)展开法成功求出KPP 方程的精确解，分为三类:三角函数通解，双曲函数通解，有理函数通解．从求解的过程来看，(g'/g2)展开法直接有效，而且可以运用计算机进行求解，更为方便．因此，该方法可用于构造数学物理学中其他非线性发展方程的解．

［1］ FAN E G． Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations［J］． Phys Lett A，2000，277(4 -5):212-218．

［2］ ZHOU Y B，WANG M L，WANG Y L． Periodic wave solutions to a coupled KdV equations with variable coefficients［J］． Phys Lett A，2003，308(1):31 -36．

［3］ WANG M L． Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations［J］． Phys Lett A，1995，199(3):169 -172

［4］ HE J H，ABDOU M A． New periodic solutions for nonlinear evolution equations using Exp-function method［J］．Chaos，Solitons and Fractals，2007，34(5):1421 -1429．

［5］ LIU S K，FU Z T，LIU S D，et al． Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations［J］． Phys Lett A，2001，289(S1 -2):69 -74．

［6］ HIROTA R． Exact solution of the Korteweg-de vries equation for multiple collisions of solitons［J］． Phys Rev Lett，1971，27(18):1192 -1194．

［7］ WANG M L，LIA X Z，ZHANG J L． The (G'/G)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］． Phys Lett A，2008，372(4):417 -423．

［8］ LI W A，CHEN H，ZHANG G C． The (ω/g)-expansion method and its application to Vakhnenko equation［J］． Chinese Phys B，2009，18(2):400 -404．

［9］ 黄 怡，崔泽建． (G'/G)展开法和KPP 方程的新精确解［J］． 西华师范大学学报(自然科学版)，2013，34(2):199 -202．

［10］ 陈继培，陈 浩． (g'/g2)展开法及其在耦合非线性Klein-Gordon 方程中的应用［J］．华南师范大学学报(自然科学版)，2012，44(2):63 -66．