具有横向供应策略的可维修备件两级库存模型

刘少伟，关娇，王洁，舒涛，冯刚

（1.空军工程大学防空反导学院，陕西西安710051；2.空军工程大学信息与导航学院，陕西西安710077）

具有横向供应策略的可维修备件两级库存模型

刘少伟1，关娇2，王洁1，舒涛1，冯刚1

（1.空军工程大学防空反导学院，陕西西安710051；2.空军工程大学信息与导航学院，陕西西安710077）

在装备可维修备件的多级库存系统中增加横向供应策略，将传统的树状备件供应模式扁平化，可以大大缩短备件平均延误时间。在此背景下进行多级可维修备件的库存研究，建立具有横向供应策略的可维修备件两级库存模型，利用M/M/∞排队系统评估备件满足率、横向供应概率和缺货概率等重要参数，设计启发式算法进行备件优化配置。算例结果表明，引入横向供应策略后可维修备件两级库存系统的保障总费用能够降低39.4%.

运筹学；可维修备件；横向供应；两级库存系统

0 引言

如何对装备可维修备件库存配置进行科学的优化决策，寻求装备可维修备件保障费用与装备战备完好性之间的最佳平衡是装备维修保障研究中的一个重要课题。对于多级库存模型，Sherbrooke于1968年建立了METRIC模型，该模型是多级库存系统的首次应用［1］；文献［2］提出了两参数近似模型，称为VARI-METRIC模型，与METRIC模型不同的是，该模型假设基层级尚未交付的备件申请量服从两参数的负二项分布；文献［3］提出了一个单项备件的两级库存模型；文献［4］提出了基地级和基层级运输时间可以随机产生的两级备件库存模型。文献［1-4］为多级库存模型理论奠定了基础。文献［5］提出了以备件平均延误时间为服务水平的两级库存模型，该模型针对的是不可维修备件；文献［6］提出了类似文献［5］的两级库存模型，考虑了紧急供应策略，使所有仓库不出现缺货情况，降低了库存参数计算难度；文献［7］分析了多个基层级仓库的库存模型，模型中引入横向供应策略，但属于单级模型；文献［8-12］针对多级库存系统，以总保障费用最小为目标，对基地级仓库和基层仓库的备件库存优化配置进行研究，但是没有考虑库存系统的备件保障平均延误时间，所以不能很好地解决以备件延误时间为服务水平的库存优化配置问题。国内对具有横向供应的库存系统也做了一些探索性的研究工作，文献［13］通过分析稳定状态下库存水平的状态转移，建立了基于库存稳态概率的可维修备件多点转运库存模型，文献［14］结合相关时间和费用指标建立了具有横向供应的备件库存模型。

从国内外关于备件库存系统的研究成果来看，国外文献的研究对象主要是商业供应链系统，相关研究较多，而国内文献很少涉及基于METRIC模型或者METRIC扩展模型的可维修备件多级库存系统研究，关于具有横向供应策略的多级库存研究更为少见，大多数涉及横向供应的研究成果没有考虑延迟横向供应的情况，属于单级模型。本文结合现有的装备保障模式，建立了可维修备件两级库存模型，模型中允许基层级仓库之间的横向供应，考虑延迟横向供应，利用M/M/∞排队系统对备件满足率、横向供应概率和缺货概率等重要参数进行评估，通过设计启发式优化算法，确定满足所有基层级仓库备件平均延误时间允许下的最低备件保障总费用和各种备件在基地级仓库和各基层级仓库的最佳目标库存水平。

1 数学模型

本文研究的两级库存系统的备件具体供应过程为:当装备发生故障时，由所属的基层级仓库进行备件供应，并向基地级提出备件申请，同时将故障部件送基地级维修中心进行修理；如果所属基层级仓库没有所需备件，由同级其他仓库进行横向供应，并由实施横向供应的基层级仓库提出备件申请；如果同级的所有仓库都没有所需备件时，由基地级供应所需备件；如果基地级仓库也没有所需备件，就只好等待有故障部件被修理好再进行供应。同时，基地级维修中心修理好的故障备件被送到基地级仓库存储。

1.1 备件满足率、横向供应概率及缺货概率

本文研究的库存系统执行连续检查的（S-1， S）库存策略，当备件需求由横向供应满足时，横向供应概率用α表示；当备件需求由正常供应满足时，备件满足率由β表示；当备件需求由于所有基层级仓库都缺货暂不能满足时，缺货概率由θ表示，以下介绍α、β和θ的求解方法。

将所有基层级仓库看作一个库存群，库存群中备件i（i∈I，I为所有可维修备件的集合）的需求服从参数为λi0的泊松分布，针对库存群的备件供应时间服从平均值为Li的指数分布，假设基地级修理中心的维修服务台无限，根据Palm定理［15］，库存群中尚未交付的备件申请量Qi（Si0）服从参数为λi0Li的泊松分布，即

基地级仓库对库存群的备件平均供应时间Li表达为

式中:Ti为基地级对库存群中备件i运输时间；Wi0为备件i的平均延误时间；为备件i在基地级仓库平均库存为Si0时的期望缺货水平。

对于每个基层级仓库中的每一项备件，都可以建立多个服务台的M/M/∞排队系统。针对基层级仓库j（j∈J，J为基层级仓库的集合）中备件i的M/ M/∞排队系统有以下特性:

1）系统在任一时间的状态是仓库中备件在该时刻的库存量，库存量不超过目标库存水平Sij.

2）当状态量为正值或0时，需求率为uij；当状态量为负值时，需求率为vij.

3）备件正常供应时间为Tij（Tij=1/μij），对于允许延迟横向供应的情况，当系统状态为1时，备件供应率为为来自仓库j向其他仓库横向供应备件i的延迟横向供应概率；当系统状态为0或负值时，在原来总服务率的基础上增加延迟供应仓库j中备件i的横向供应率所谓延迟横向供应，指如果某一基层级仓库库存为0，此时有对该仓库的备件补充，备件将通过横向供应满足缺货仓库（库存为负），该仓库备件补充延迟进行。

4）备件需求过程和备件正常供应时间均是统计独立的。图1是允许延迟横向供应的M/M/∞排队系统的状态传递图。

图1 允许延迟横向供应的M/M/∞排队系统状态传递图Fig.1 The state-transition diagram of M/M/∞queueing system on delayed lateral transshipments

下面分析具有横向供应策略时仓库j中备件i的需求率，当状态量为正值时，备件需求率由两部分组成，第一部分为仓库j中备件i的正常需求率λij，另一部分为仓库j有备件i时向其他仓库的横向供应率

仓库j向其他仓库的横向供应也就是其他仓库的横向供应备件需求，因此λ′ij可以用（4）式进行求解:

即

式中:R（j，k）表示比基层级仓库k更优先供应基层级仓库j的所有仓库集合。如果R（j，k）=Ø，定义

横向供应率的计算方法仍以上例说明。如果备件库存为0的仓库1有备件补充时，就将该备件供应给仓库2，前提条件是仓库2缺货，如果仓库2库存为0而仓库3缺货，就将该备件供应给仓库3.另外，当仓库1缺货时，可以由仓库2或仓库3进行延迟供应。如果由仓库2延迟供应时，只需仓库2库存为0；如果由仓库3延迟供应时，仓库2和仓库3的库存都应为0.那么来自仓库1的延迟横向供应概率为:.另外，当仓库1缺货时，可以由仓库2或仓库3进行延迟供应。如果由仓库2延迟供应时，只需仓库2库存为0；如果由仓库3延迟供应时，仓库2和仓库3的库存都应为0.因此延迟供应仓库1的横向供应率为:.

推广到一般情况，去掉代表备件项的上标或者下标“i”，仓库j的延迟横向供应概率为

延迟供应仓库j的横向供应率ηj为

式中:r（j，k）表示对基层级仓库j进行横向供应时，在横向供应源排序中处于第k个的基层级仓库；表示仓库j持有备件i库存量为l的稳态概率。

当系统状态为0或负值时，如果此时备件i有需求，不能够直接供应，只能面临两种选择:缺货或者靠库存群内其他仓库横向供应。那么有横向供应策略的情况下，引起缺货量增加的备件需求率vij为

式中:θi表示备件i的需求由于所有基层级仓库都缺货暂不能满足的概率。

由于允许延迟横向供应，只有在所有基层级仓库备件库存量均为0或负值时库存群才会出现缺货，那么库存群备件i的缺货概率为

步骤1 根据（12）式确定库存群备件i的缺货概率θi.

步骤3 对于每一个基层级仓库j，如果Sij＞0，根据（11）式计算如果Sij=0，

步骤4 重复执行步骤3，直到两次迭代过程中所有基层级仓库的误差均满足δ＜0.001，输出此时各基层级仓库的和θi，算法停止。

1.2 备件期望库存水平与期望缺货水平

1.2.1 基地级备件期望库存水平和缺货水平

式中:Ri为基地级仓库可维修备件i的平均修理时间。

1.2.2 基层级备件期望库存水平和缺货水平

库存群中备件i的期望缺货水平为

库存群中备件i的期望库存水平为

基层级仓库j中备件i的期望缺货水平为

基层级仓库j中备件i的期望库存水平为

1.3 数学描述

单位时间内两级库存系统所有备件的备件保障总费用为期望库存持有费用与横向供应费用之和，即

式中:hi为单位备件i在单位时间内的库存持有费用；为备件i的横向供应运输管理费用。

解决的问题为

针对以上问题，设计贪婪算法求解。算法中备件延误时间相对最大允许延误时间的减小量ΔWuv和备件保障费用增加量ΔCuv表达式如下:

式中:u∈I，v∈J；euv表示仓库v中备件u有1个单位库存量，其他所有仓库所有备件库存为0；C（S）为基地级库存水平和基层级库存水平确定的情况下总的备件保障费用。在所有组合中搜索费用增加幅度最小、对应备件延迟时间减小幅度最大的情况，最终得到基地级仓库的最优目标库存水平和各基层级仓库的最优目标库存水平

2 应用举例

假设两级库存系统中有一个基地级仓库，5个基层级仓库，其中仓库0代表基地级仓库，仓库1、2、3、4、5代表5个基层级仓库。共有20项备件，不同基层级中每项备件的需求率见表1，每项备件的库存持有费用见表2.备件在基地级的平均修理时间为4 d，从基地级仓库到各基层级仓库的运输时间为2 d.横向供应时间均为0.1 d，横向供应费用均为150元，备件需求最大允许延误时间为0.05 d.横向供应源的选择顺序为:当基层级仓库1需要横向供应时，供应源排序为r2＞r3＞r4＞r5；当基层级仓库2需要横向供应时，供应源排序为r1＞r3＞r5＞r4；当基层级仓库3需要横向供应时，供应源排序为r5＞r1＞r2＞r4；当基层级仓库4需要横向供应时，供应源排序为r5＞r2＞r1＞r3；当基层级仓库5需要横向供应时，供应源排序为r3＞r4＞r2＞r1.

表1 备件在不同基层级仓库中的需求率（个/d）Tab.1 Demand rate of spare parts in different organizational-level depots（unit/day）

表2 备件的库存持有费用（元/（个·d））Tab.2 Inventory holding cost of spare parts（yuan/unit/day）

通过计算得到备件满足率、横向供应概率和缺货概率以及备件期望库存水平、期望缺货水平，利用贪婪算法得到各仓库最优目标库存水平见表3.

表3 各仓库各备件目标库存值（个）Tab.3 Stock level of spare parts in different depots（unit）

表3中“，”左侧为有横向供应时的备件数量，“，”右侧为无横向供应时的备件数量，对应的备件保障总费用分别为19 613元和32 360元。

从本算例可以看出，有横向供应策略比无横向供应策略的最低保障费用减少了12 747元，费用降低的幅度为39.4%.可见在可维修备件两级库存系统中，横向供应策略是降低备件保障总费用的有效手段。

3 结论

本文结合可维修备件保障的保障流程，建立具有横向供应策略的两级多项可维修备件库存模型，利用系统方法进行可维修备件多级库存模型研究，重点给出了备件满足率、横向供应概率和缺货概率的近似求解方法，同时确定了具有横向供应策略系统中的两个重要的备件保障效能指标:期望库存水平和期望缺货水平，特定的算例表明，在相同的服务水平约束下，与无横向供应策略的两级库存系统相比，具有横向供应策略的两级库存系统的备件保障费用有大幅下降。本文将传统的树状结构备件保障模式扁平化，强调同级库存间的资源共享，为部队装备保障人员制定合理的备件方案提供一定的决策依据。

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Research on Two-echelon Spare Parts Inventory Systems with Lateral Transshipments

LIU Shao-wei1，GUAN Jiao2，WANG Jie1，SHU Tao1，FENG Gang1
（1.Missile Institute，Air Force Engineer University，Xi'an 710051，Shaanxi，China；2.Telecommunication Engineer Institute，Air Force Engineer University，Xi'an 710077，Shaanxi，China）

Multi-echelon spare parts inventory systems with lateral transshipments make the traditional tree-like supply mode become a flat structure，which can shorten the average waiting time of spare parts. The multi-echelon spare parts inventory system is analyzed to build a multi-echelon spare parts inventory model with lateral transshipments，and the related important parameters，including spare fill rate，lateral transshipment probability and probability of shortage，are evaluated based on M/M/∞queue model.A heuristic algorithm is used to minimize system-wide spare parts.The experiment shows that the two-echelon support cost with lateral supply can be reduced by 39.4%by introducing the lateral supply strategy.

operations research；repairable spare part；lateral transshipment；two echelon inventory system

TJ762111

A

1000-1093（2015）07-1334-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.024

2014-10-15

刘少伟（1979—），男，讲师，博士。E-mail:lsw3721@163.com