高中数学函数的奇偶性、周期性及图象的对称性探究

钟海峰

摘要：到了高三，教师要不断培养学生的研究性学习，这样才能很好地引导学生学会学习，比如说理解函数的奇偶数的特性、周期性及图象的对称性等，即“三性”，在这个的基础上，去进一步探求相互之间的关系.而在研究问题的过程中，让学生转变自己的学习方式，以及培养学生在探究方面的能力、创新的意识。本文结合具体的教学实践，主要从以下几个方面对于高中数学中函数的相关问题进行探讨。

关键词：高中数学 研究性 观察 探究

一、高中数学研究性学习

对于“研究性学习”，从以下几个方面来说。

（一）背景材料的选取

在教材中，所有的重要的知识点都作为“研究性学习”的背景和材料，这确实是一个富有的素材库，它的意义很大，即能够把所有的中学教师的优点发挥出来。有时，还可以把各自所写论文材料作为“研究性学习”的背景和材料。

（二）“研究性学习”的教学目标

对于教学，首要是目标的明确，即在每一节课中，把相关的重点教给学生，而对于发现问题的方法，需要我们逐步去引导，反复进行结论前、后的思考。

在荷兰，有位著名的数学教育家弗赖登尔曾经说过，通过自己的反思，尤其在数学活动中是很重要的，我们把它作为数学的一个核心、动力的因素。所以，反思构成了发现的根本之泉，而教会学生去发现问题，在“研究性学习”中是一个目标。

（三）“研究性学习”的课堂操作

1.通过建立课题小组而进行：一般情况，以10个左右同学为基准，作为一个课题的小组，然后去确定课题小组的组长由谁担当。

2.把课内、课外的关系处理好。对于教师，其主要精力安排在课外时间，而在课内，主要任务是积极促进各个课题组去展示自己的成果。

3.通过把点、面结合起来，作为本教案的一个研究方案，组成一个课题小组而进行。每一个小组进行一个方案的研究。主要研究的范畴有：函数的奇偶性;函数的中心对称;关于x轴上的两点成中心对称，周期性;关于平行于y轴的两直线对称，周期性;关于一条平行y轴的直线成轴对称，与周期函数等。

二、通过不断观察、反思去进行研究性学习

在课前，往往老师给大家提供了有关的背景、材料，通过逐步的研究、学习，在上课前，让同学们去展示一下学习成果。采用先进的教学手段，比如多媒体进行教学，展示2个重点的函数图像，y=sinx奇函数对称轴x=kπ+，k∈z f（-x）=f（+x）（特例）f（2π+x）=f（x）   f（-x）=-f（x） 对称中心（kπ，0），k∈z f（π-x）=-f（π+x）（特例）。

对于这两个函数，从函数的“三性”角度来分析，看起来比较优美，而美，在于把函数“三性”集中一起了，那么，这类函数还有别的，即正切函数和余切函数。

三、通过试验、猜想进行研究性学习

对于偶然性，其中有必然性，让学生找一个函数去作进一步的试验。通过下面的做法，让每一个课题组，选出一位同学，把本组所构造的函数给同学们进行展示，即给大家一起分享成果。

组一的一位学生，展示了：

1.已知函数y=f（x）为偶函数，且关于直线x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，作出函数的图象（作图过程略）从图3中不难发现，函数具有周期性，且周期为2。

2.已知函数y=f（x）为偶函数，且f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2，（作图过程略），由图3可知，函数的对称轴为x=k，k∈z。

3.已知函数y=f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（1-x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2（作图过程略），由图3可知，函数为偶函数。对于上面的三个命题，我们能不能把其写成一个命题的形式，让学生去思考。

有的学生说：已知函数y=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2，给出三个论断：

1.f（-x）=f（x）;

2.f（2-x）=f（x）;

3.f（2+x）=f（x）。

若把其中两个论断作为一个条件，则另一个的论断，被作为结论的命题，即真命题。在此基础上，我们就可以作出一个合情的猜想，即：函数y=f（x），给出三个论断：

1.f（-x）=f（x）;

2.f（2a-x）=f（x）;

3.f（2a+x）=f（x）。

把其中两个论断作为一个条件，而另一个论断作为结论，则该命题是真命题。

四、通过探索、发现进行研究性学习

我们可以从本课题组中，选出三位同学进行，即对猜想的证明，其具体的分工，往往由自己来定。有的学生认为：由f（2a-x）=f（x），得f（2a+x）=f（-x），又f（-x）=f（x），得f（2a+x）=f（x）。又有学生认为：由f（2a+x）=f（x），得f（2a-x）=f（-x），又f（-x）=f（x），得f（2a-x）=f（x），还有学生认为：由f（2a-x）=f（x），得f（2a+x）=f（-x），又f（2a+x）=f（x） ，得f（-x）=f（x）。对于三位同学的推证，其关键抓住了变量x，即其具有任意性，这样，根据目标而进行相关的变形。在探索过程中，他们可以发现论断2、论断3的条件是：其中参数有2a是相同的，通过反思图3，即作图的过程，又有新的发现，即图象的特征是：在两条对称轴即x=0，x=1下，产生了周期性，而在作图过程中，很容易发现2=2（1-0），从而得到三个论断：1.y=f（x）的图象关于直线x=a对称;2.y=f（x）的图象关于直线x=b对称;3.y=f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|为其中一个周期，而以其中两个论断为条件，则另一个论断是结论的命题，即真命题。

五、通过类比、发散而进行

在学生展示了偶函数、轴对称、周期性等相互关系时，把图1、图2结合而作类比、发散，在此基础上得到一些命题：

1.若函数y=f（x）为偶函数，其图象关于点A（a，0）对称，则函数y=f（x）为数，且周期T=4|a|。这是把轴对称类比为中心对称。

2.若函数y=f（x）为奇函数，其图象关于直线x=a对称，则函数y=f（x）为周期函数，且周期T=2|a|。

3.若函数y=f（x）为奇函数，其图象关于点A（a，0）对称，则函数y=f（x）为周期函数，且周期T=2|a|。

综上所述，对于“研究性的学习”，在我们中学生中是可以做的。而研究一个问题，往往需要我们去发现问题，在反思的基础上，不断去熟悉函数的性质、捕捉信息，发现问题，而反思属于发现的源泉，通过反思、试验、猜想、论证，从而发现问题再去解决问题。而在整个研究性学习过程中，我们还可以应用逼近、联想即类比的思维，这是发现、解决问题的两种思维模式。所以，在学习过程中，为了获得了一个知识，需要在平时的点点滴滴的积累，那么，学问无处不在。

参考文献：

[1]彭家盛.中职数学中“指数函数与对数函数”章节的有效性教学[J].科教文汇：下旬刊，2012（7）.

[2]罗洁.中职数学函数奇偶性的教学模式探索[J].科技致富向导，2012（9）.

[3]王颖秋.中职数学课《函数的奇偶性》教学之我见[J].科技信息，2011（22）.

（责编 张景贤）