基于MATLAB的单板滑雪场动力学建模及仿真研究

张俊杰， 文学洙

（延边大学工学院机械设计及理论，吉林 延吉133002）

0 引言

从20世纪70年代开始出现U型单板滑雪场，滑雪场的形状在不断地改进以适应运动员的要求，现今国际赛场上常见的滑雪场由平底、过渡、垂直三部分组成［1］。滑雪运动中滑雪场直接影响滑雪运动的效果，国内外对滑雪场的研究使用传统的实验研究方法居多，这些研究结果为制造商从安全性等角度提高滑雪场性能提供了可借鉴的方法，也为滑雪者根据稳定性和安全性去操纵自己的滑雪板提供了有用的参考资料［2-3］。然而，由于未能明确给出滑雪场的约束形式等力学参数，这些研究成果还不能满足对滑雪运动进行完整力学分析的需要。

为解决以上问题，更方便地对滑雪运动进行完整动力学分析，本文采用理论研究的方法，利用力学的基本原理，推导出U型滑雪场的力学模型及相应约束方程。在实践中的单板雪地滑道是对称的，所以只讨论一半即可。滑道上边缘有一段垂直部分是为了有利于运动员飞出滑道时保持稳定。过渡部分连接平底部分和垂直部分，是为了避免运动员在上滑时滑板撞击坡面，过渡面需跟平底、垂直两部分光滑相切连接。通过分析，由于平地部分和垂直部分摩擦力较小，故对整个运动动能影响不大，可以不予考虑，所以重点考虑过渡部分的几何形状和尺寸对飞出时动能及高度产生的影响。因此，下面主要对过渡部分的几何形状及尺寸分析求解，通过泛函优化模型得出滑雪场的立体形状。

1 动力学分析

1.1 模型假设

1）在滑道上滑行时不考虑空气阻力；

2）假设滑道为平整的曲面；

3）整个滑雪过程雪质都为硬雪，平底和垂直部分摩擦较小。

图1 滑雪高度示意图

1.2 动力学关系式求解

1.2.1 摩擦力求解

为了得出雪道和滑板之间的摩擦力，提出一个新的离散多点刚性接触模型，将滑雪板与雪道地面的关系转化为非约束力约束，把滑雪板-雪地作用力简化为浸入力、冲击力从而得出摩擦力。无论是自然雪地还是人工雪地都需要经过压、刮平等修整处理，以保证雪面均匀光滑，方便滑行［4］，设过渡曲面与横截面的交线为f（x，y）=0。由于滑雪板上不同的点相对于雪地之间的位置和速度不同，滑雪板上各点与地面的接触情况也各不相同，为了简化模型，将滑雪板看成一个质点，滑雪板-雪道模型［5］见图2。

图2 滑雪板-雪道接触摸式示意图

fsi、fci、ffi分别是雪地作用在 i点的浸入力、冲击力、摩擦力，fei就是滑雪板上一点和雪地之间的相互作用力，是冲击速度在接触面上的投影方向，pi是垂直于接触面积的单位矢量，pv是单位冲击量，得摩擦力

式中：

其中，v*为一微小量。

其中，ε0是一小值，两式在ε0处零阶、一阶导数连续。δ、ξ由ε0根据连续性计算。

这就是滑雪板和雪地之间总的相互作用力，该方法对于具有一定形状的滑雪板以及不规则的雪地地形也是适用的。

1.2.2 滑板飞离雪道受力分析及垂直间距表示

运动员飞离赛道时，空气阻力会影响滑雪运动的表现，顺风利于滑行，逆风阻碍滑行。经研究，在高速的直滑降过程中，运动速度可高达 62.5 m/s［6］，因此，建立滑雪模型必须考虑空气阻力的影响。

空气阻力

式中：cd是空气阻力系数，一般在 0.3～0.95［7］之间；ρa为空气密度；i代表人体或滑雪板；vp为飞离滑道时的速度；vi是i连体基方向上相对空气的运动速度；Ai是对应于vi的投影面积。

由滑板在飞行过程中动能定理得

由滑板在过渡区滑行过程中动能定理得

联合以上两式，公式（1）代入，得出垂直间距高度

为求得最大垂直间距高度，建立泛函优化模型，目标函数为

由于过渡部分连接平底部分和垂直部分，为了避免运动员在上滑时滑板撞击坡，过渡面需跟这两部分光滑相切连接。得出约束条件：

3 MATLAB仿真求解

由于上述泛函优化模型方程是复杂的代数-偏微分方程难以直接求解出曲线函数，所以采用枚举的方法选取了三类常见的符合约束条件的曲线，采用数值解析法代入一系列的过渡区部分的高宽比，即图3中h减去h1、厚度与w减去厚度的比值，求得相应的最大垂直高度，如表1。

图3 雪道示意图

分析表中数据可知过渡区为摆线时获得最大的垂直间距，且在高宽比在低区和高区更好地符合实际情况，所以采用摆线为过渡区的曲线，利用MATLAB软件对上表中相应的高、宽比对应的过渡区为摆线的飞出高度值进行拟合得出曲线和曲线方程：

表1 三种曲线高、宽比对应垂直高度

图4 高宽比摆线飞出高度值拟合曲线

过渡区为摆线的高、宽比对应的腾飞高度拟合曲线图方程为

对x求一阶导数，得出极大值点x=0.867，即当高宽比为0.867时，飞出高度达到极大值，代入求得极大值为3.210 m。

设一般的摆线方程为：

式中，0≤t≤2π。

由最佳高宽比为0.867，设摆线上一点为（k，0）和（0，0.867k）代入上述摆线方程，得出a的表达式。取一组k值，从而得到相应的a值，详见表2。

表2 K-a值

进而根据选手的实际情况，选取相应的高宽实际值，从而得出雪道在横截面上过渡区的具体形状。其中最佳的a值为2.8，即长宽比为0.867，宽度为5m，滑雪场高为4.335m，由MATLAB仿真得最佳的过渡区立体图如图5所示。

图5 MATLAB拟合最佳的过渡区图

从而得到最佳过渡区的摆线方程为：

式中，0≤t≤2π。考虑到雪道的平底部分，它只与滑板在平底部分的速度和人的平衡调整时间有关，如果距离过短则运动员无法有效调节，过长则会影响运动员飞出的垂直高度。根据文献［8-9］的研究表明运动员的平衡调整时间为0.25 s，在平底的平均速度为20m/s，如图3，得到平底宽度w1为5m。经加减计算也可求出总宽度w2。雪道垂直部分h1，它会影响运动员飞出滑道的稳定性，与飞出的速度成正比，取值一般在10～30 cm。雪道坡度和场地的摩擦因数以及表演动作的难度有关，一般取值为16°～18°。根据比赛规则可知，在要求完成5～8个动作的前提下，雪道长度一般取120～150 m。

3 结语

1）根据动力学原理，对滑雪板及滑雪场地进行了动力学分析，建立了动力学模型，并运用MATLAB软件，对滑雪场地使运动员腾空产生最大高度的过渡区域进行了仿真分析求解。

2）通过对目标函数求解得出最大垂直腾空高度，进而求解计算得出使滑雪场地运动员产生最大的垂直腾空高度的滑雪场形状与平底与过渡尺寸，对滑雪场地的设计提供了一定的参考依据。但是由于影响滑雪运动的因素较多，为分析方便，本文只考虑了部分因素，所以得到的研究模型尚存在不足之处，需要进一步研究和完善。

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