抛物线是极限状态的椭圆

张青山,李凤清（四川职业技术学院应用数学与经济系,四川　遂宁　629000）

抛物线是极限状态的椭圆

张青山,李凤清
（四川职业技术学院应用数学与经济系,四川遂宁629000）

本文给出结论：抛物线y2=2px(p>0)是椭圆+=1(a>p>0)当a趋于正无穷大时的极限状态.并举例说明如何从由椭圆的性质来探求抛物线的性质.

抛物线；椭圆；极限；性质；探究

因此我们说，抛物线y2=2px(p>0)是椭圆+=1(a>p>0)当a趋于正无穷大时的极限状态.故我们可以把抛物线y2=2px(p>0)描述为一个长半轴为a，短半轴为，中心为（a，0）,左焦点为（，0），右焦点为（2a-,0），左准线为x=-，右准线为x=2a+，且a为无穷大的椭圆.那么椭圆与抛物线应该具有一些共性，我们就可以运用类比的方法从椭圆的一些性质来探求抛物线的性质.下面略举几例.

1椭圆的光学性质为：由椭圆的一焦点射向椭圆上任一点的光波或声波,经该椭圆反射后会经过另一焦点.由于抛物线是极限状态的椭圆，其另一焦点在焦点所在对称轴上的无穷远点，即可推出抛物线的光学性质：由抛物线的焦点射向抛物线上任一点的光波或声波,经该抛物线反射后会沿平行于抛物线的对称轴射出.

2由文[1]命题一可得椭圆的一个性质：P(x0,y0)是椭圆+=1(a>p>0)上任意一点，PA,PB是两条互相垂直的弦，则动弦AB过定点

收稿日期:2015-05-28

作者简介：张青山（1962-），男，四川蓬溪人，四川职业技术学院副教授。研究方向：初等数学，数学教育。

抛物线的性质1（文[1]命题二）：P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，PA,PB是两条互相垂直的弦，则动弦AB过定点P′(2p+x0,-y0).

由于抛物线y2=2px(p>0)是椭圆+

抛物线的性质2：抛物线y2=2px(p>0)，过x轴上的定点P(t,0)(t>0)的直线交抛物线于A,B两点，以点A,B为切点分别作抛物线的切线，它们交于点C,则C必在直线x=-t上.

4.大家知道，圆有一个简单性质：对圆O及其圆O中异于圆心的定点P，过点P的弦AB与圆围成的弓形面积最小时，必然有PA=PB.

我们将圆O通过压伸变换成为椭圆，根据压伸变换不改变线段比、不改变面积比的性质即可得到下面结论.

椭圆的性质：对椭圆及其椭圆内异于中心的定点P，过点P的弦AB与椭圆围成的弓形面积最小时，必然有PA=PB.

由于抛物线是极限状态的椭圆，我们可得出下面结论.

抛物线的性质3：对抛物线及其抛物线内的定点P，过点P的弦AB与抛物线围成的弓形面积最小时，必然有PA=PB.

我们也可以说，抛物线y2=2px(p>0)是双曲线(x

a-2a)2-ayp2=1(a>0,p>0)的实半轴a趋近于正无穷大时的极限状态.本文对此不作赘述.

[1]季福根.圆锥曲线中伴随曲线与相关点线问题再探讨[J].数学通报，2013,(11).

责任编辑：张隆辉

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1672-2094（2015）04-0167-02椭圆C+=1(a>p>0)的中心为(a,0)，左焦点为(a-，0)，右焦点(a+，0)，左准线方程为x=a-，离心率为.