原子核结团的非局域化运动

2015-10-31周波任中洲

物理学进展 2015年3期

关键词：原子核基态局域

周波*，任中洲

1.北海道大学理学研究院，札幌060-0810 2.南京大学物理学院，南京210093

原子核结团的非局域化运动

周波1*，任中洲2†

1.北海道大学理学研究院，札幌060-0810 2.南京大学物理学院，南京210093

原子核中结团的形成是原子核多体动力学的一个重要表现方面，同时它也是核物理中最有趣的现象之一，对原子核中结团运动和结团结构的研究一直以来就是核物理研究的重要课题。本文中，我们介绍了原子核结团研究的历史背景和一些重要的结团模型。同时，我们阐述了最近提出的一个结团物理中的新概念—非局域化结团。我们认为原子核中的结团是非局域化的，它们可以在整个原子核内做自由的非局域化运动，只是由于泡利阻塞效应而不能靠的太近，这是与传统的局域化结团概念截然不同的一种观点。非局域化结团的概念使我们加深了对原子核中结团关联的理解，同时也为探索更为复杂的原子核结团结构提供了一条新的途径。

原子核结团模型；非局域化结团；THSR模型；宇称反转双重转动带

I.引言

原子核是由Z个质子和N个中子组成的量子多体系统。现阶段，对于这样的A（A=N+Z）体问题来说，精确求解是极其困难的［1］，这主要是因为以下两个原因。首先，核子—核子相互作用是非常复杂的，至今人们对它的性质仍然不是完全清楚。当代研究初步表明，中心势部分包含Wigner项，Majorana项，Bartlett项和Heisen-berg项，而核力的非中心势中包含自旋轨道项和张量项［1］。其次，即使我们清楚的了解了核势的所有性质，甚至可以将其用数学表达式准确的写出来，我们仍然很难求解这样的一般A体薛定谔方程，这源于多体问题本身的困难。在这样一种背景下，为了探究原子核结构的秘密，许多反映原子核不同特征的物理模型相继发展起来［2，3］。

原子核壳模型是影响最为深远、应用最为广泛的一种原子核模型［4-6］。壳模型的核心是平均场思想。我们知道，在原子中原子核外的电子存在着壳层结构，电子可以被看做是在一个中心力场作用下做单粒子运动，这些电子可以按不同的能级一层一层的填充其中。在原子核内，虽然不存在与原子中相类似的不变的有心力场，但是由于泡利不相容原理，它限制了原子核中核子与核子的碰撞几率，这就使得核子在核内有较大的平均自由程，每个核子也可以近似的看做是在其它核子形成的平均场中做相对独立的自由运动。对于接近球形的原子核，这个平均场就是一个有心力场，这样以来原子核也应具有壳层结构，人们通常把这一模型称为独立粒子壳层模型。壳模型可以正确预言绝大多数核的基态角动量和宇称，并且在壳层模型框架下，原子核的幻数、磁矩、β衰变和同质异能素岛等实验事实都得到了成功的解释。但是，50年代以后，随着核物理研究的发展，人们陆续发现了一些新的实验事实，如大的电四极矩、磁矩、核激发能谱的振动谱、某些原子核的转动带和一些激发态等，这些实验事实都不能在壳模型的理论框架下得到解释。

实验表明，原子核的运动形式，除了独立粒子运动以外，还有振动和转动等集体运动形式［7］。1952年丹麦物理学家Bohr和Mottelson提出了一种新的原子核模型—集体模型［8］。集体模型认为，原子核中的核子在平均场中独立的运动并形成壳层结构，而原子核又可以发生形变，并产生转动和振动等集体运动。具体而言，当原子核处于满壳时，原子核趋于球形而无任何的形变。而当满壳以外存在核子时，满壳外的核子会对核心部分产生极化作用，进而使之产生形变，同时满壳层内核子的运动又有保持球对称的趋势，对极化作用有一种恢复力，在一定条件下，这两种作用达到平衡，原子核就形成了稳定的形变，这也是集体运动关联的结果。这种集体运动的引入是集体模型对壳模型的重要发展。集体模型很好地解释了远离幻数的原子核磁矩，重核中变形核的转动能级以及壳层模型无法解释的大的电四极矩等实验现象。

事实上，在较轻的原子核和一些中重核中，还普遍存在着另一类与单粒子运动和集体运动不同的运动形式，这称之为结团运动［9-12］。如果说壳模型强化了对原子核中核子的单粒子运动形式的描述，而集体模型强调了多个核子在原子核内的强关联所导致的集体行为，那么结团模型则是为了描述介于两者之间的某种结团运动形式。原子核中结团的形成与原子核中平均场的形成一样，都是原子核多体动力学的一个重要表现方面。结团模型的主要思想是，在原子核内，部分核子关联较强可以形成一些结团单元，比如最常见的α结团，而这些结团之间的相对运动就构成了不同于单粒子运动和集体运动的一种新的运动模式。现在人们已经知道，与结团内部的强关联相比，结团间的相互作用往往比较弱。但是，由于人们现在对核相互作用还不是十分清楚，因此，对结团形成的物理机制也还不是完全清楚［13］。同时，结团间的核子交换作用也使得结团运动呈现出非常复杂的特点。原子核结团模型的主要任务就是能准确的揭示出结团间的这种复杂关联，从而对结团结构进行精确的描述。

近来，由于原子核实验技术和理论模型的提高和发展，轻核中的结团结构研究吸引了人们极大的兴趣。本次工作中，我们应用一种新的微观结团模型对具有典型的α+16O结团结构的20Ne进行了研究，并在此基础上提出了一种全新的非局域化结团的概念来理解原子核结团之间的关联。最近，我们基于这种全新的非局域化结团概念，进一步提出了一种新颖的容器结团图像来理解原子核的结团运动，并应用这种图像对12C的基态进行了初步的研究。

II.原子核中的结团现象

结团是物质世界中普遍存在的一种特殊结构形式。比如在宇宙中，数目巨大的星系并不是孤立分散的，而是相互关联的，有许多星系在引力作用下聚集在一起，形成了星系团［14］，这种较为稳定的团系结构在宇宙中是极为常见的。作为一个典型的微观量子系统，原子核中是否也存在着结团现象呢？尽管在中子发现以前，Gamow就提出了4n原子核可能是由n个α粒子组成的论断［15，16］，但是由于早期原子核实验条件的限制，在相当长的一段时间里，人们对原子核中尤其是轻核中是否存有α粒子或其它结团结构尚存疑问。现在，随着实验的进步和各种理论模型的发展，人们已经确切的知道，在一些轻核和中重核之中是普遍存在着结团结构的［12，17］。

图1.轻核的比结合能。不同颜色的线表示不同的元素，对于某一个同位素链，具有最大的比结合能的原子核具有偶数的质子数和中子数。本图取自文献［17］。

早期，在某些轻核中可能存在α结团结构的论断实际上是通过对轻核的比结合能进行定性分析得到的。图1展示了具有偶数的，并且质子数和中子数相等的原子核具有较大的比结合能。与其它的原子核相比较，这些8Be、12C、16O、20Ne等nα核特别的稳定。并且4n核的结合能随着α-α节点的增加而呈线性增大的趋势。这可以初步显示，4n核可以近似的看做是由n个α组成的［20］。当然，现在看来，这个观点过于粗糙，原因是通常情况下原子核的基态并不具有很好的结团结构。事实上，原子核结团态往往出现在结团阈值附近的激发态中，这一点是由Ikeda在1968年提出的［21］。图2展示了随着原子核激发能的增加，结团自由度的演化过程。它所揭示的最重要的概念是，原子核结团的自由度只有在结团的阈值附近才能得以释放，这也被称为结团物理中的阈值原则［22］。Ikeda图结合了一部分实验观测的事实，同时对一些稳定核可能出现的结团结构进行了预测，这对结团物理以后的发展具有非常重要的意义。

图2.IKEDA阈值结团图。原子核结团结构出现在相应的结团阈值附近。图中标注的阈值单位为MeV。本图取自文献［18］。

原子核中存在结团结构的实验证据有很多。最简单的例子就是具有两个α粒子结构的8Be系统，它的类刚体结构可以产生一个转动带，而它的转动惯量是与2：1的轴形变相对应的［17］。最有名的结团态来自12C中Ex=7.6 MeV的Hoyle态，这个态是由Hoyle在1953年为了解释宇宙中大量存在的碳元素而预测得到的［23］。Hoyle认为碳核素在恒星环境中可以通过3α过程进行合成。首先两个α粒子聚变形成8Be，然后在衰变之前俘获第三个α粒子，这样就得到了12C的激发能为7.65 MeV的0+态。紧接着，这个态先衰变到4.43 MeV的2+态，并最终放射性衰变到12C的基态。不久，实验上就观测到了这样一个类似的结团态［24］。由于Hoyle态在天体宇宙中占据重要地位，同时它又是极为典型的一个结团态，因此人们对它的探索从未停止过［25-35］。另外，一些中重原子核中的α衰变现象也表明了中重核中是存在一定的α结团结构的［36-42］。

1960年左右，重离子束技术在核物理加速器中取得了很大的进步［43，44］，它第一个系统的实验是对24Mg中12C+12C共振态的实验研究［45］。在12C+12C的反应中，入射粒子的能量和反应截面是不断变化的。令人惊讶的是，实验上并没有观测到一系列平滑变化的共振态，而是观测到了一个宽度约为100 KeV的共振态，这表明形成24Mg中间系统的时间比原子核穿过的时间要长。这些共振态随后就被解释为12C+12C的结团态。之后，人们对12C+12C共振态进行了大量的探索，通过直接过程或间接过程进行了相关特征的测量［46］。间接法的实验如12C（16O，24Mg［12C+12C］）4He。这里的24Mg是在核反应中形成的，然后衰变成为两个12C核，本质上是12C+12C散射实验的时间反转。使用这个方法能够得到激发能谱的类型，如图3（a）部分，激发能谱的峰值对应24Mg的共振态，它可以在20到60 MeV的激发能范围内被观察到。24Mg的共振态衰变到12C+12C末态需要一个大的结团空间，实验上通过测量衰变产物的释放角度，能够推导出24Mg激发态的自旋和角动量J，如图3（b）部分，水平轴为J（J+1）。自旋为零时，12C+12C碎裂态位于线性中心，投影到激发能约为20 MeV的位置。这样，通过实验数据就能够提取出对应的转动惯量。理论上通过构造24Mg的12C+12C结团结构而计算得到的转动惯量与实验上得到的结果是完全一致的［19］。

图3.（a）12C（16O，24Mg*）崩裂反应中观测到的共振态；（b）崩裂反应的共振态中能量自旋的系统分类，小空心圆圈和实线显示了24Mg晕线的变化趋势。本图取自文献［19］。

现在，随着实验技术的进步，在轻核中发现了越来越多的结团结构［47，48］，文献［18，48］详细介绍了近来结团物理在实验上的发展情况。

图4.NCSM计算得到的12C正宇称态能量值和实验值的比较。本图取自文献［50］。

图5.8Be在柱坐标系中的密度分布等势图。左边对应的是实验室坐标系，右边对应的是内禀坐标系。本图取自文献［51］。

理论方面，随着各种结团模型的不断发展，IKEDA图中预测的很多结团结构都在结团模型的框架下得到了很好的描述。比如8Be的α+α结构、12C的3α结构、20Ne的α+16O结团结构等都通过结团模型而得到了验证［10］，然而，真正从核相互作用出发来证实原子核中结团的存在却是近几年的事情。下面简要介绍一下，无核壳模型和量子蒙特卡罗方法在结团物理中取得的几个重要进展。

无核壳模型（NCSM）是一种采用从头算法来研究核结构的壳模型理论［52］。它采用截断的壳模型波函数作为多体波函数的基矢。由于这个模型中没有引入唯象的参数，因此如果某些核的量子态能够由NCSM得到，那么这些量子态具有的原子核结构是可以被一些截断的壳模型空间所描述的。相反，如果某些量子态不能由NCSM在某个给定的截断壳模型空间中得到，那么为了描述这些量子态，我们还需要更大的壳模型空间或者这个量子态不再具有壳模型的特征了。由于某些结团态是可以通过壳模型空间中的粒子—空穴关联得到的，因此NCSM采用的截断壳空间的大小在某种程度上可以反映出原子核中的结团结构显著与否。

图4展示了在NCSM框架下计算得到的12C的一些正宇称态。需要注意的是，当壳空间取到6 ħΩ时，激发能为10.3 MeV左右的四个态在18 MeV以下的能量区域内是不能够被得到的。这四个态分别是7.66 MeV的0+态、10.3 MeV左右的0+态和2+态、11.2 MeV的2+态。这样，NCSM从平均场壳模型的角度间接的证明了这些态是具有结团结构的。人们已经知道，这些结团态都可以通过结团模型得到很好的描述［53-56］。量子蒙特卡罗（QMC）是一种比NCSM更基础的从头算法［57］。它使用AV18两体势和UIX三体势作为实际的核势进行能量变分计算。图5展示了由QMC计算得到的8Be的基态的内禀密度分布，这个计算结果毫无疑问的证明了8Be中的α+α结团结构。

核结构中从头算法的发展为原子核结团物理的研究提供了另外一种独立于结团模型的强有力的工具［58，59］，它几乎从第一性原理出发证明了结团结构的存在，这也为结团模型的研究提供了坚实的理论基础。

III.原子核结团运动的微观理解

A.原子核结团模型的发展历史

1928年，Gamow首次对实验上发现的α衰变进行了量子力学的解释［60］。随后，他又做了进一步的推断，4n核如8Be、12C、16O等是由α粒子组成的，其余的原子核是由α粒子和“电子”组成的［15］。值得一提的是，这种极为朴素的α模型早在中子发现（1932年）之前就被提了出来，可见，原子核的结团研究实际上已经有着相当长的历史了。

1938年，Hafstad和Teller在分析了原子核可以看做是由α粒子组成的理论之后，又将这一理论做了进一步的推广。他们提出了一个α结团模型来估计4n、4n-1和4n+1核的结合能［20］。在4n核中，n个α粒子紧密的结合在一起，邻近的α粒子之间存在着相互作用。原子核的结合能，包括零点动能则可以认为粗略的正比于α的个数。4n+1核可以看作是由n个α粒子加上一个核子组成的，而4n-1核则被认为是由n个α粒子加一个空穴组成的，增加的核子或空穴处于相应的分子轨道上。经过这些假设之后，计算得到的结合能数值与实验数值符合的很好。1940年，Dennison提出了一个α结团模型来理解16O的能级结构［61］。16O被看做是由4个α粒子组成，它的平衡空间对应于一个正四面体。在当时，16O的处于6.06 MeV的0+态完全不能通过壳模型来理解，而在Dennison的模型理解下［62］，这个态被认为是一种呼吸模式。后来，实验上观测到这个0+态并非是一种呼吸态。这样，这种过于简化的4α结团结构也就被抛弃了。1960年，实验上已经积累了大量的α-α散射实验数据［63，64］。Ali和Bodmer通过拟合散射的相移给出了一个唯象的α-α势［65］。但是人们很快就发现，使用这个唯象的α势很难对12C的基态和Hoyle态进行很好的描述。人们逐渐意识到了这种宏观α结团模型的局限性，于是基于核子相互作用的微观结团模型开始逐渐发展起来。共振群方法即RGM（Resonating Group Method），是第一种采用完全的微观方式来理解和描述原子核结团结构的方法。1937年，Wheeler在描述原子核运动时引入了结团的概念［66，67］。在这个新图像中，作为原子核基本组成单元的中子和质子在某种情况下可以组成一类结团（如α粒子），结团中的核子像构成原子中的电子一样呈共振现象，因此这种原子核模型被称为共振群模型。一般形式的RGM波函数可以写为［68］，

其中，A为反对称化算符，χ（ξ1，···，ξn-1）表示结团的相对运动波函数，参数ξi表示结团质心间距离的雅克比坐标。φi表示第i个结团的内禀波函数。通过能量变分原理，或者将该波函数代入一定形式的薛定谔方程，我们可以求得相对运动波函数的精确解。原则上，我们就可以对结团结构进行很好的描述了。RGM方法的主要优点就是它完全去除了质心的运动部分，同时也完全考虑了结团间核子的反对称效应。波函数的反对称化在描述结团相对运动中是不可或缺的，它促使人们开始意识到泡利不相容原理在结团关联中的重要作用。但是，在RGM模型刚提出的一段时间里，人们并没有意识到这个模型是极其有用的，并且由于RGM模型计算的繁琐和复杂，最初的十几年里RGM的发展十分缓慢。从1958年开始，Wildermuth、Kanellopolis、Tang等在原子核结团物理中进一步发展了这个共振群方法［69，70］。他们展开了一系列的研究，在共振群的理论框架下建立了统一处理原子核结构和反应的理论和方法［9］。他们最早指出，当结团间距变得很小的情况下，RGM和壳模型波函数在反对称算符的作用下就会变得十分相似，而当结团间距变得相对较大时，RGM波函数能够包含一些不能通过壳模型波函数来描述的结团关联。Wildermuth和Kanellopolis通过RGM的计算还认识到，相同的原子核中由于能级的不同，有时结团结构会有所不同。比如简单的5He核，它的基态具有α+n的结构，而3/2+态则具有较强的3H+2H结团结构。同时，他们还借助RGM模型，阐述了由波函数的反对称化带来的可观测效应。

1966年，为了克服RGM在实际计算中的困难，Brink将生成坐标方法即GCM（Generator Coordinate Method），引入到结团模型中［68，71，72］。GCM是一个非常强大的用来处理各种集体运动的微观方法［1，73］。它的主要思想是，在一个有生成波函数构成的子空间里进行哈密顿量的对角化，这个生成波函数依赖于一个或几个可以表征集体运动的连续参数。GCM的生成波函数部分，Brink采用了Margenau早期使用的多质心结团波函数［74］，后来人们也通常称这个多质心结团波函数为Bloch-Brink波函数或者Brink波函数。Brink波函数中采用结团间距作为参数来描述结团间的相对运动，如果将结团间距作为生成坐标，我们可以将Brink波函数线性叠加起来，这就得到了Brink GCM波函数。需要注意的是，Horiuchi给出了证明，RGM与GCM在数学上是等价的［75］。由于Brink波函数往往可以写为一个Slater行列式的形式，因此在矩阵元的计算中要比RGM简单许多。这样，GCM方法使得人们可以用微观的方式来处理一些原子核中更为复杂的结团结构了［76］。

1969年，Saito提出了正交条件模型，即OCM（Orthogonality Condition Model）［77］。在RGM方程中，泡利不相容原理的效应完全精确的体现在复杂的非局域相互作用中，这个相互作用自动保证了相对运动波函数与禁闭态的正交条件。OCM采用近似的方法来处理RGM中的非局域势，它引入了一个有效的局域势来保证相对运动波函数部分可以与禁闭态完全正交［68］。由于OCM采用了这样一种简化，所以它的计算较之RGM简单了很多。事实上，这种半经典半微观的模型在描述复杂的原子核结团系统，甚至是包含不同耦合道结团结构的系统中都取得了很大的成功［78，79］。

RGM、GCM和OCM通常被称为传统的结团模型。近些年来，一些新的结团模型也发展起来，比如由Horiuchi和Kanada-En'yo发展的AMD（Antisymmetrized Molecular Dynamics）模型在原子核结团物理中得到了广泛的应用［80-83］。AMD不预先假设原子核中结团的存在，因此它对发现原子核中可能存在的结团结构有重要的意义。还有与之相似的FMD（Fermionic Molecular Dynamics）模型［84-86］以及一些更为高级的基于从头算法的模型也开始展开了对原子核中结团结构的研究。

B.α-α有效相互作用与泡利不相容原理

60年代，Ali和Bodmer通过拟合散射相移给出了一个唯象的表征α-α相互作用的公式［65］，

其中，相互作用Vαα（r）由一个强度为V0l且依赖于角动量的排斥势和一个强度为Vl的吸引势组成。αα有效势具有和分子势相似的形式，但是它的特点并非和分子势完全一致，而是介于分子的束缚势与核相互作用之间。图6比较了这三种势能的不同特点，它包含了基态的H2分子的势能，8Be基态的α-α势能和氘核的有效的两核子中心势。从图中可以看出，α-α相互作用可以近似看做另外两种相互作用的中间情况。

由以上的分析可以看出，α-α相互作用最重要的特点就是存在排斥芯和表面的吸引作用。这两个特点对于结团结构的形成是至关重要的。事实上，如果缺少这两点中的任何一点，那么8Be的α-α结构就不会存在了。例如，如果缺少了结团间的排斥作用，那么结团的重叠加强，整个结团结构就趋向于平均场中的独立粒子运动了。我们可以将α-α相互作用做一个简单的推广，那么在典型的结团系统中，结团之间的相互作用也应该具有这样的特点，比如20Ne中的α+16O间的相互作用。

图6.三种势能的比较。H2分子基态的势能，8Be基态的α-α势能和氘核的有效的两核子中心势。粒子的相对间距以短程排斥距离Rc为单位，能量的单位为ħ2/，其中M0为质量的单位，ϕ2表示概率密度。具体细节参考文献［8，87］。

图7.由RGM计算得到的20Ne的Jπ=0+，1-态的约化宽度。本图取自文献［88］。

如果从微观的角度来理解结团间的有效相互作用，那么我们可以说结团间有效的排斥芯起源于泡利不相容原理。在RGM模型中，如果8Be的两个α结团波函数用谐振子波函数来表示，那么经过反对称后，相对运动波函数χ（r1-r2）（r1，r2分别为两个α粒子的质心坐标）的主量子数N＜4的部分将会消失。这些消失了的态被称为泡利阻塞态。非阻塞态的相对运动波函数是简并的，并且具有的角动量量子数为L=0，2，4等。泡利阻塞效应在结团系统中是普遍存在的。比如对于具有α+16O结构的20Ne，如果它的结团同样采用谐振子波函数来描述，那么α粒子和16O结团间相对运动波函数的量子数N＜16的态是被禁止的。最低的允许的态对应的主量子数为N=16并且角动量L=0，2，4，6，8等。

我们还可以这样定性的理解结团间存在的排斥作用。由于相对运动波函数的震荡是与较大的动能相伴的，当结团间的吸引作用不足以抵偿动能增加的时候，系统为了避免能量的过大必然就会在内部区域抑制波函数的振幅。图7展示了通过RGM计算得到的20Ne的Jπ=0+，1-的约化宽度。可以看到，在内部区域，即R很小时，波函数的振幅得到了抑制。当这种结团间距很小时，相对运动波函数得到抑制的效应正对应于实验上得到的结团间存在排斥芯的事实，人们也通常称这种排斥芯为结构性的排斥芯［89］。

C.原子核中的局域化结团运动

原子核中结团结构的形成，与原子核中平均场的形成类似，是多体动力学的一个基本特征。原子核结团物理中面临的一个根本问题是，如何正确的理解和描述结团间的关联。局域化结团运动的概念是对原子核结团运动的一种传统理解方式，它已经有很长的历史了。早在1937年，Wefelmeier就提出了一个简单的结团模型［92］，他认为原子核可以由无内部结构的α粒子组成，并且这些α粒子被固定于空间某个位置中，它们做局域化的相对运动。这种局域化结团运动的概念对以后的结团物理产生了深远的影响。

16O中的α+12C结团结构与20Ne中的α+16O结团结构一直被人们看做是证明局域化结团这一概念的典型代表［90］。16O是一个双幻核，它的基态可以用壳模型来进行很好的描述。然而，实验上发现它的第一激发态位于Ex=6.05 MeV并且对应的自旋和宇称为Jπ=0+，这是壳模型所不能解释的［93］。1960年左右，Wildermuth和他的合作者提出可以使用结团模型的图像来理解这个态［94］。如果假定16O的第一激发态具有α+12C的结团结构，那么较小的激发能Ex=6.05 MeV就可以理解了，它正好是处在结团α+12C阈值能量Ex=7.16 MeV附近的。1968年Horiuchi和Ikeda首次提出了16O中存在由α+12C的局域化结团构成的宇称反转双重转动带［90］。首先，他们注意到了16O中存在负宇称转动带Jπ=1-，3-，5-，7-等。其中能普带头Jπ=1-态的激发能量Ex=9.63 MeV。通过分析转动带的α衰变宽度和转动惯量等特征量，他们认为这个转动带可以看做是α粒子绕着12C核旋转产生的。Horiuchi和Ikeda进一步指出，如果这个内禀的负宇称转动带具有α+12C局域化结团的结构，考虑到α结团和12C结团是不对称的，因此这个负宇称转动带应该对应于一个宇称反转的转动带，即存在一个正宇称转动带和这个负宇称转动带共同组成宇称反转双重转动带。而这个正宇称转动带的谱带头正是位于Ex=6.05 MeV的0+态。与16O的α+12C结构类似，20Ne同样由于α+16O的结团结构而产生了一组宇称反转双重转动带。16O和20Ne的反转双重转动带表明，原子核中的结团是一种类刚体的局域化结团结构，类比经典力学中的转动能谱，这种刚性的局域化结团结构的转动就导致了宇称反转双重转动带的产生。不得不承认，通过这种简单的局域化结团图像，人们可以很容易解释结团结构中存在的转动能谱。

图8.16O∗和20Ne的宇称反转双重转动带。本图取自文献［90］。

图9.由Brink波函数计算得到的α+16O系统的能级图。本图取自文献［91］。

60年代以后发展起来的传统的结团模型实际上也是体现了这种局域化结团运动的思想。对于一些典型的两结团系统，比如，α+α、α+12C、α+16O等系统，由能量变分得到的RGM波函数可以很好的描述它们的转动带［10，95］，这归因于RGM方程中的局域势和非局域势的性质。一方面，根据Bayman-Bohr理论［96］，对于通常的紧致的原子核基态而言，RGM描述的态是与SU（3）壳模型态基本一致的。另一方面，RGM的本质特征在它的近似模型OCM中得到了很好的体现。而OCM由于采用了不包含交换作用的有效局域势来描述结团系统也取得了很大的成功，这进一步使人们相信结团局域运动的正确性。事实上，Brink GCM模型，尤其是Brink模型，是对结团间的局域化运动更为强有力的支持。同样对于两体结团而言，在Brink波函数中，通常取结团间距作为变分参量或者生成坐标，经过能量变分之后，求得的结团间距参数是一个非零数值。图9展示了由Brink波函数计算得到的α+16O系统的能级图，其中D为α结团与16O结团的间距参数。对于其中的束缚态，我们可以找到对应于不同D的极值点。比如对于20Ne的基态而言，D≈3 fm为此结团系统的最优距离，此时，系统的能量最低。这样，α结团和16O结团被认为在相距3 fm左右的区域内做局域化的结团运动。这些在当时都被看作是局域化结团强有力的证明。

IV.原子核微观结团模型

A.共振群模型

共振群方法（RGM）是一种非常古老的描述原子核结团结构的微观方法，它最早是由Wheeler在1937年提出来的［66］。这种通过求解多体薛定谔方程来确定结团相对运动波函数的方法，至今仍然是处理结团结构最为精确的一种方式［68，97］。以两结团系统为例，我们来介绍一下这个核物理中的微观模型。如果一个原子核系统是具有两个结团C1和C2的结团结构，那么这个原子核系统的RGM波函数可以写为，

其中r=X2-X1、φ1和φ2分别是结团C1和C2的内禀波函数，X1和X2分别表示两个结团的质心坐标，χ（r）是描述两个结团相对运动的波函数。这个波函数的完全反对称化是通过反对称算符A来完成的。反对称作用是结团间具有复杂关联的主要原因之一，反对称因子交换属于不同结团的核子，并叠加各种可能的核子交换后的波函数。因此，经过反对称化后，我们是不能辨别出哪些核子处于哪一个结团中的。这样，在原子核中，结团其实是由所有的核子导致的一种集体关联。如果两个结团距离相对较远，那么它们的关联就会变的很弱，这样，不同结团间就几乎无核子的交换作用了。这种情况下，这两个结团实际上就再无任何的关联了，它们几乎已经变为了两个独立的原子核了。

两结团A核子系统的哈密顿量为，

其中，ti表示单个核子的动能算符，TG是质心的动能算符，vij表示两体的核子势和库仑势。RGM的主要目标就是求解如下的多体薛定谔方程，

为了便于解释，我们使用τi表示结团的内部坐标，这样，方程（3）可以写为，

将上述方程带入方程（5），并且做适当的变换，就可以得到一个关于相对运动波函数χ（r）的积分方程，

其中，

上面积分中出现的内积核（Norm Kernel）与哈密顿量核（Hamiliton Kernel）可以写为以下矩阵元的形式，

其中，r＇＇为结团的相对坐标，r和r＇为积分参数。方程（7）中的EA是系统的总能量，包含结团内部的能量和结团相对运动的能量。而χ（r）是结团的相对运动波函数，因此，为了得到它对应的相对运动的能量，我们需要设法对方程（7）做进一步的化简。

假定φ1和φ2表示结团的精确波函数，那么相应的结团内部能量可以由下面的薛定谔方程得到，

其中，hC1和hC2分别表示结团C1和C2的哈密顿量。由此我们可以写出两个结团相对运动的哈密顿量h12，

进一步，我们定义一个表征相对运动的哈密顿量算符H，这个算符的核（Kernel）可以写为，

并且，

最终，我们可以得到下面的RGM方程，

其中，ε=EA-E1-E2表示结团的相对运动能量。

现在我们来讨论一下方程（18）的一些重要的特点。首先，算符N和H都包含有一个局域项和一个非局域项。我们先将内积核N（r，r＇）和哈密顿量核H（r，r＇）改写为如下的形式，

在上面的方程中，µ是两结团的约化质量，Δ是拉普拉斯算符，δ（r-r＇）表示局域项，它来自反对称效应，但是不包括结团间的核子交换作用，KN（r，r＇）和KH（r，r＇）表示由于反对称效应而导致的非局域项，它们是束缚的短程函数。如果定义下面的函数，

那么RGM方程（18）就可以化简为如下的形式［68］，

形式上，这个方程非常类似于求解两体问题的薛定谔方程。-ħ2/2µΔ表示相对运动的动能，ε表示相对运动的总能量。需要注意的是，VD（r）可以看做核子间的势能，而积分项中的K（ε，r，r＇）可以看做结团间的一种非局域相互作用。因此，如果将方程（22）解释为一个薛定谔方程，那么它就是采用了一个有效的结团相互作用，这个有效的相互作用包括由核子势直接产生的局域势和由核K（ε，r，r＇）决定的非局域势，这个非局域势是通过RGM方程得到的，它是核子相互作用与泡利不相容原理共同作用的结果。非局域项中的能量依赖性也是结团间核子交换效应的一种体现。

在方程（18）的所有解中，存在这样一种特殊的情形，即某一些相对运动波函数χ0满足下面的条件，

在这种情形下，它会导致对应的反对称波函数的完全消失，A（χ0（r）φ1φ2）=0，即H χ0=0，显然，这样的相对运动波函数χ0是完全没有物理意义的。人们称这样的相对运动波函数对应的态为泡利阻塞态或禁闭态。泡利阻塞态是结团物理中的一个重要概念，它对深刻理解结团间的运动关联具有重要意义。

B.生成坐标法

生成坐标法即GCM（Generator Coordinate Method）是一种常用的处理原子核集体运动的微观方法［1］。对于一个多体系统，如果我们有一个试探波函数为Φ（a），其中参数a=（a1，a2，...），那么根据生成坐标理论，我们可以通过叠加这个试探波函数来构造一个更精确的波函数，

其中，参数a为生成坐标，f（a）被称为权重波函数。试探波函数Φ（a）的选取是关键，它要基于物理系统特定的运动形态。通过对波函数Ψ进行能量变分计算后，我们可以得到关于权重因子f（a）的方程，

这个积分形式的方程被称为Hill-Wheeler方程。形式上，这个方程与在非正交基空间中的哈密顿量对角化问题极为相似。尤其是当生成坐标a取一系列离散数值时，对应的波函数Φi=Φ（ai）就变为了线性依赖且不完全的基矢。实际的数值计算中，我们往往将上面的Hill-Wheeler方程进行离散化求解。

C.Brink结团模型

Brink结团模型是一种非常重要的处理原子核结团结构的微观理论方法，由于在实际计算中，它比RGM要简单很多，因此在结团物理的研究中得到了更为广泛的应用。Brink提出的结团模型中，有两个基本的假设条件［71］。首先，假定原子核相互作用只包含两体相互作用，这样，原子核系统的哈密顿量可以写为，

其次，这个哈密顿量作用的子空间是由可以写为Slater行列式的结团波函数生成的，它包含了不同的结团关联。这些波函数组成的空间尽管并不完备，但是对于描述总的同位旋T=0和结团的自旋S=0的结团系统是完全可以的。

描述n个结团系统的Brink波函数可以写为如下的形式［98］，其中，A是反对称化算符，它交换属于不同结团的核子。n0是归一化常量。ψ（Ci，Ri）表示结团Ci的波函数，一般采用谐振子壳模型波函数来表示。Ri是生成坐标，它表示第i个结团的质心位置，这样，原子核体系的结团结构可以由坐标参数｛R1，R2，···，Rn｝来表征，原则上，这些生成坐标的数值都可以通过能量变分来确定，但是在实际计算过程中，为了简化计算，我们常常假定结团具有良好的对称性，这样也就减少了作为变分参数的生成坐标的数量［76，99，100］。

其中，方程中的雅克比坐标为，

结团的相对运动波函数为，

由方程（28）可以看出，当取RG=0（RG=（R1+···+Rn）/n）时，Brink波函数的质心部分便可以轻易的与内禀波函数分离开来了，这给计算带来了很大的方便。另外，为了描述系统所具有的确定的角动量的态，我们可以方便的使用角动量投影技术来构造角动量的本征波函数。

D.其它微观结团模型

OCM是一种通过近似使用有效的局域势来代替RGM中的非局域势，并同时考虑结团间泡利阻塞效应的半微观半宏观的结团模型［68］。在RGM方程（18）中，我们知道内积核N（r，r＇）必须有非零的本征值。这样，我们可以定义算符N-1/2（r，r＇），那么方程（18）可以写为，

为了排除禁闭态（F），定义下面的算符，

OCM采用的近似条件就是假定RGM中复杂的、非局域的哈密顿量（N-1/2H N-1/2）可以被一个简单的哈密顿量来代替。它仅仅包括一个动能算符和一个有效的局域势。

这样我们就得到了下面的OCM方程，

AMD模型是一种可以兼顾核内结团结构特点和平均场特点的模型，在AMD模型的框架下，A核子系统的基函数可以通过一个高斯波包的行列式来表示，

这里，第i个单粒子波函数可以写为空间内禀波函数φ，同位旋波函数χ和自旋波函数τ的乘积，

第i个核子波函数的空间部分是由一个复变量参数Ziσ（σ=x，y，z）来表征的，并且它代表着高斯波包的中心位置。自旋部分χi由复变量参数ξi来表示。同位旋波函数τi被固定为上（质子）或者下（中子）。这样AMD波函数就通过一系列的变分参数Z≡（Z1，Z2，···，ZA，ξ1，ξ2，···，ξA）表达了出来。

在AMD波函数中，所有的单粒子波函数都被写为局域的高斯函数的形式，虽然AMD并没有提前假定系统中存在结团结构，但是结团却可以通过单粒子高斯波包在空间的集聚来描述。另一方面，如果所有的高斯波函数都集聚在某一个位置，那么由于反对称作用，AMD波函数就变为了对应的壳模型谐振子波函数，因此，AMD波函数涵盖的空间既包含了平均场又包含了结团空间。如果一个系统具有结团结构，那么通过对AMD波函数进行变分计算，这种结团结构将会自动得到。

FMD模型与AMD模型较为相似，只不过FMD采用了一种更为广泛的核子波函数作为基矢来描述原子核结构。另外，一些更为高级的基于从头算法的核理论，比如蒙特卡罗方法、无核壳模型等，也开始通过大规模计算来研究轻核中的结团现象。

V.新的微观结团波函数

A.4n核中的α凝聚现象

近十几年以来，随着原子核结团理论的发展和实验上的进步，原子核结团研究在各个分支方向上都取得了重要的进展，参考综述文献［101］。下面我们首先介绍一下与本文工作密切相关的α凝聚方面的研究进展，然后再介绍一下当今结团物理的一个热点问题—丰中子轻核的类分子结团结构研究。

原子核体系中存在四类费米子，它们具有不完全相同的自旋和同位旋。因此在不违背量子力学中的泡利不相容原理的情况下，四种具有不同量子数的费米子有可能靠相互的核势吸引而组成一种能量更低、更稳定的玻色子。在实际的多体问题中，情况要复杂的多，我们也不可能找到这种真正意义上的理想玻色子。然而核物理中确实有一种粒子和这种理想的玻色子相对应，这便是α粒子。α粒子由两个中子和两个质子组成，它们被核势紧紧的束缚在一起。实验证明，α粒子具有非常稳定的特点，它的比结合能约为7 MeV，同时，它的第一激发能高达20 MeV，远远高于其他的原子核。玻色子与费米子是具有截然不同的物理性质的两类粒子，因此原子核中α结团的存在将会导致原子核具有更为丰富的结构。

其中，Xi=（ri，1+···+ri，4）/4表示第i个α粒子的质心坐标，XG表示nα系统总的质心坐标，φ0（B；X）表示以参数B表征的，具有较大宽度的高斯波函数。经过雅克比坐标｛ξi｝变换后，THSR波函数的相对运动部分变为，

其中，µi=i/（i+1）。最终，THSR波函数可以写为如下的形式，

这样，为了反映费米子体系中玻色子运动的特点，作者用n个相同的，代表α粒子的0S波函数的乘积来作为系统总的波函数。事实上，这个波函数可以看做是类比以下的投影BCS波函数得到的，

其中，φpair（ri，1，ri，2）表示库伯对波函数。

利用THSR波函数对12C和16O进行计算的结果表明，在12C和16O的3α和4α阈值附近存在着一种较弱的0+束缚态。其中α波函数之间不会有太大的重叠，它们以一种近似为自由的状态存在于这种稀疏的结构中。而这种特殊的稀疏结团结构正是α凝聚态。文献［26］进一步推断，这种存在于nα阈值附近的凝聚态在其它较重的4n核激发态中也会存在。十几年过去了，α凝聚的研究无论是在实验上还是理论上都取得了极大的发展［104-109］。

图10.12C基态与Hoyle态的单α轨道占有率比较。本图取自文献［110］。

首先来看12C的Hoyle态。由于结构的特殊性，12C的Hoyle态在核物理中得到了极其广泛的研究。计算表明，在THSR模型下得到的12C的波函数与通过精确求解三体问题得到的微观3α波函数是完全一致的［111］。这为证明12C的Hoyle态是一个α凝聚态提供了有力的支持。根据THSR波函数计算Hoyle态的半径为4.3 fm，这与实验上从形成因子中得出的结果是一致的。由此可见，在这种低密度的情况下，类似于玻色爱因斯坦凝聚的α凝聚确实在原子核系统中发生了。进一步来看，通过对α密度矩阵ρ（r，r＇）的对角化计算，可以对单个α轨道和占有几率进行研究。图10展示了12C的Hoyle态和基态处于不同的轨道的占有几率。其中，Hoyle态中α粒子处于0S轨道上的占有几率超过了70%，剩下的部分是由于核子间的完全反对称化导致的，考虑到原子核体积的有限性，这个70%的高占有率说明，Hoyle态几乎可以看做是一个理想的α凝聚态。

16O的情形要比12C复杂的多。16O的激发态中包含了多个结团空间，人们很难鉴别出哪一个0+态是α凝聚态。与12C的OCM计算相似［110］。最近16O的OCM计算也已经完成，并且在理论上得出了16O的所有可观测的0+态能谱［79］。在此基础上，通过对密度矩阵ρ（r，r＇）的对角化计算发现，激发态为13.6 MeV的0+态和激发态为14.1 MeV的0+态只有很少的0S轨道成分。另一方面，激发态为16.5 MeV的态（实验值为15.1 MeV），处于0S轨道上的α的几率超过了60%。16O的基态和态的径向波函数如图11所示。可以看出，态有较大的空间延展性并且波函数在内部区域无节点，这表明属于不同α结团间的核子交换作用不显著，或者没有受到泡利不相容原理太大的影响。这样，由于态具有明显的α凝聚的特征，它可以看做是实验上要寻找的α凝聚态。

图11.16O的基态和态的径向波函数。本图取自文献［79］。

现在，关于α凝聚的研究进入了新的阶段。在THSR波函数的基础上，我们提出了一个混合型的Hybrid-Brink-THSR波函数。应用这个新的理论框架，我们对20Ne中宇称反转双重转动带进行了研究并最终提出了结团物理中的非局域化结团的概念［112，113］。

B.推广的THSR结团波函数

在描述4n核的nα类气态（gas-like state）结构上，THSR波函数取得了很大的成功，它进一步加深了人们对12C的Hoyle态的理解，并且在此基础上一种新的结团态也被提了出来，即α凝聚态。如今，α凝聚态的概念已经在原子核物理领域得到了极大的发展。THSR波函数或者说形变的nα凝聚态波函数可以表达为下面的形式［114］，

在Brink波函数中，我们采用结团间的距离作为变分参数，而在THSR波函数中，引入了表征新的运动维度的变分参量β。对于nα系统而言，β可以看做是表征原子核“体积”大小的参数，n个α粒子在其中做自由运动。这个图像与Brink中nα的局域化结团运动的图像是截然不同的。为了使这个波函数可以描述更广泛的原子核结团结构，我们在形变THSR波函数（44）的基础上做了一个自然而直接的推广，

其中，

在上面的方程中，βi≡（βix，βiy，βiz），Xi是结团Ci的质心坐标，不同的结团Ci可以具有不同的质量数Ai和不同的变分参量βi。）是描述n个结团的Brink波函数的一般形式［71］。需要注意的是，在推广的THSR波函数中同样会出现两个重要的极限。当βi→0的时候，归一化的波函数（47）是与壳模型波函数相对应的。当βi→+∞的极限情况下，这个波函数对应于描述n个自由态的结团态。另外，从数学形式上看，在推广的THSR波函数框架下，结团的单元不再限制为α粒子，比如，6Li中的d+α结构同样可以使用这个波函数进行描述。

另外，方程（46）可以看做是GCM的一种特殊情况。其中，为基矢波函数，权重函数取为限制型的高斯函数形式，对生成坐标（R1，...，Rn）进行积分之后，我们就可以得到物理意义比较明显的方程（47）了。

这个推广的THSR波函数与Brink波函数最大的区别在于，推广的THSR波函数是一种非局域化结团波函数，而Brink波函数是一种局域结团波函数。具体而言，推广的THSR波函数中结团的运动被表征原子核“体积”的参数β确定，而Brink模型框架下结团的运动被表征结团质心的生成坐标所描述，从这个意义上而言，Brink模型更适合描述类刚体结构的结团运动，而推广的THSR波函数则更适合描述弱束缚或者没有固定的几何结构的结团，比如12C的Hoyle态就是一个典型的例子。当然，如果一个系统中的结团呈现很强的类刚体特征，那么推广的THSR波函数很有可能对其不会有太好的描述，因为在原子核系统中，这种明显的几何结团结构是很难通过参数β的限制而达到的。

C.Hybrid-Brink-THSR结团波函数

推广的THSR波函数可以描述非nα结团的结构，但是它本身具有正宇称态。因此，这个波函数是无法通过宇称投影的方式描述负宇称态的。为了描述结团中的负宇称结构，我们提出了一个新的结团波函数—Hybrid-Brink-THSR结团波函数，其形式如下，

其中，

这里的Xi、Ai和φ（Ci）分别是质心坐标、质量数和结团Ci的内部波函数，是Brink波函数［71］。

与推广的THSR波函数相比，新波函数（49）引入了另一个生成坐标Si，通过这种简单的方式，这个Hybrid-Brink-THSR模型很自然的包含了Brink模型和THSR模型的重要特征。当S=0时，方程（50）正是对应的THSR波函数，其中β是表征整个原子核大小的参数，而当β=0时，这个Hybrid-Brink-THSR波函数就变为了Brink波函数，S表示原子核中结团的相对距离参数。

需要注意的是，在Hybrid-Brink-THSR模型中的两个变分参数β和S，不能再简单的理解为对应的THSR波函数和Brink波函数中原有的物理意义。原因是这两个参数实际上构造了一个全新的相对运动波函数，不同于THSR波函数或Brink波函数中的相对运动部分。当然，如果对这两个参数做变分计算，当其中一个参数变为零或者是极小的值时，我们就可以认为另一个参数仍然保持原来的物理意义。提出这个Hybrid-Brink-THSR波函数的初衷是为了能够对结团结构中的负宇称进行描述，但是后来发现，这个波函数对于证明原子核结团的非局域运动具有重要的意义。

VI.20Ne（α-16O）的非局域化结团运动

A.20Ne的基态转动带描述

THSR波函数的一个重要特点是具有很好的空间延展性［115］，这一点与原子核内结团的非局域化运动紧密相连。基于这样一种特征，THSR波函数成功的描述了轻核中的类气态结团结构［109］。除此之外，因为THSR波函数包含有两个极限，即壳模型极限和完全自由的结团态极限，于是我们猜想，THSR波函数很有可能也适合描述原子核中的一些非类气态结团结构，或者说我们可以将THSR精神进行推广，用它来描述更为一般的结团结构。事实上，12C和16O具有类壳结构的基态已经在THSR波函数的框架下得到了成功的描述［26］。接下来我们就尝试着使用推广的THSR波函数来描述一类具有非类气态或者说是紧致的结团结构，这或许能给我们提供一个新的图像来理解原子核中的结团结构。

20Ne基态转动带的内禀结构常常被称为是一种“过渡”结构，原因是壳结构和这种α+16O的结团结构在基态转动带中都起着非常重要的作用［10，87，116-118］。早期的时候，在sd壳模型的框架下，人们将20Ne中的16O看做具有坚实的壳结构而对20Ne的基态转动带进行描述。结果发现，有一些重要的关联没有得到很好的处理。紧接着，考虑到20Ne的α结团关联之后，Horiuchi和Ikeda提出，基态转动带与带可以看做是α+16O结团结构的宇称反转双重转动带［90］。他们进一步指出，20Ne基态转动带不同于具有良好结团结构的带，它具有一种从壳模型结构到结团模型结构过渡的特点。这个重要的推论被随后的RGM模型［88］和Brink模型［119］所证实。现在，AMD计算进一步表明，α+16O是20Ne基态转动带的一个主要空间，随着角动量的增加，20Ne的结团结构逐渐向壳模型结构转变［82］。由此可见，为了更好的处理20Ne这种特殊的基态转动带结构，所使用的模型就必须同时可以描述壳模型结构和完全自由结团结构这两类极限结构［87］。

B.20Ne推广的THSR波函数

20Ne是一个典型的具有α+16O结团结构的原子核，它的宇称反转双重转动带Kπ=0±1正是起源于这种α+16O的结团结构。我们首先使用推广的THSR模型对它的基态转动带进行研究。根据前面提出的推广的THSR波函数（46），我们可以直接写出20Ne的波函数，

这里，r=X1-X2，R=R1-R2，XG=（4X1+ 16X2）/20，RG=（4R1+16R2）/20。X1和X2分别表示α结团和16O结团的质心坐标。ψα（R1，r1，...，r4）和ψ16O（R2，r5，...，r20）分别是α结团和16O结团的壳模型谐振子波函数，并且他们的质心位置可以看做由生成坐标R1和R2进行调节。φ（α）和φ（16O）表示α和16O结团的内禀波函数，具体形式参考文献［120］。需要注意的是，为了简化计算，在描述α+16O系统时，我们使用了相同的谐振子参数b。

此外，在方程（52）中，为了减少变分参数，我们采用这样的关系式，1/（β1k）2=1/（βk）2和1/（β2k）2= 4/（βk）2（k=x，y，z）。由此我们就可以比较方便的将方程（52）中的两个参数β1、β2转化为一个参数β了，

为了简化矩阵元计算，我们进行坐标变换，将生成坐标的矢量R1和R2变换为质心矢量RG和相对矢量R，

本文中所有的计算都是限制于轴对称形变，即βx=βy≠βz。对于像20Ne这样的两结团系统，我们可以得到如下矩阵元的计算关系式，

经过角动量投影后的波函数为，

C.20Ne系统的哈密顿量

在本文中，20Ne系统的哈密顿量可以写为，

这里，T是总的动能算符，TG表示质心动能算符，VN和VC分别表示有效的两体核相互作用和库仑相互作用。动能算符表示如下，

质心动能算符为，

库仑相互作用可以写为，

核势部分我们采用Volkov no.1相互作用［122］，它的数学表达式采取的是高斯的形式，

其中，M为Majorana交换参数。

D.Hill-Wheeler方程

在THSR模型的框架下，我们可以结合GCM方法来进一步求解更为精确的波函数。首先，我们通过叠加变分参数β不同的角动量投影波函数来构造如下的波函数，

这里，β≡（βx，βy，βz）。表示第k个由基矢（β）展开的归一化本征波函数。为了确定权重函数（β），我们需要求解下面的Hill-Wheeler方程［67，72，73］，

我们可以通过使离散化参数β取不同的节点来求解以上的方程。这样，Hill-Wheeler方程的求解问题本质上就转化为在非正交基矢（β）空间的哈密顿量的数值对角化问题了［1］。

E.结果与讨论

图12.20Ne在两参数空间b和βx=βy=βz的能量等势图。

在不考虑形变参数的情况下，20Ne波函数中有两个参数b和β，我们可以通过完全的能量变分方法在这个两参数空间中找到一个最低能量。对于核相互作用，我们采用Volkov no.1 force［122］，其中Majorana参数M=0.6。在图12中，我们展示了20Ne在两参数空间中的能级等势图［122］，等势图的特点与先前别的作者计算得到的8Be，12C和16O的等势图特征极为相似［114，123］。在等势图中，最低能量出现在βx=βy=βz=1.85 fm和b=1.46 fm处，这可以看做是谐振子参数b和表征整个原子核大小的参数β竞争的结果。在以后的计算中，我们把谐振子参数固定为b=1.46 fm。

我们知道，当β→+∞时，20Ne就由一个束缚的结团系统变成了由两个自由结团组成的非束缚系统，在这种情况下，α结团和16O结团将不会存在任何的关联，即ENe（b，β→+∞）=Eα（b）+E16O（b）。这个简单的关系式可以帮助我们很容易求得单个16O粒子的最低能量。计算表明，在采用Volkov no.1 force的情况下，单个α粒子在参数b=1.37 fm时取得能量最小值。对于16O粒子，最低能量对应着b=1.49 fm，即（b=1.37）=-27.08 MeV，（b=1.49）= -127.84 MeV。这些参数的数值与我们通过变分得到的b=1.46 fm的数值有稍许不同。这样，我们可以计算求得20Ne的α+16O结团的阈值为4.7 MeV左右，这与实验数值是一致的。

图13.20Ne在两形变参数空间βx=βy和βz的能量等势图。

图14.20Ne的Jπ=0+态在两参数空间βx=βy和βz的能量等势图。

图15.20Ne的Jπ=0+态在两参数空间βx=βy和βz的峡谷区域的能量等势图。

图16.20Ne的Jπ=0+波函数（βx=βy=0.9 fm，βz=2.5 fm）与具有变量βx=βy和βz的0+态波函数重叠积分的平方的等势图。

在图12的狭长区域有一个鞍点出现在βx=βy= βz≈11.4 fm且b≈1.47 fm的位置上，鞍点的高度相对于阈值来说大约是2.42 MeV，它可以看做是库仑势垒，库仑势垒对于束缚态结团结构的形成至关重要。另外，在等势图中，对应于最低能量的态可以近似看做是20Ne的基态，计算的结果-159.66 MeV也是与实验观测数值-160.64 MeV相符合的。这说明，单个推广的THSR波函数是可以用来描述20Ne基态的。在下面的计算中，我们将通过与Brink模型的比较来进一步证实这一点。

图13展示了20Ne在形变参数空间βx= βy和βz的能量等势图。结果显示，最低能量落在了βx=βy=βz的线上，因此，这个最低能量-159.66 MeV实际上对应于一个球形的波函数。需要注意的是，这个结果来自非角动量投影波函数的变分计算。

接下来，我们使用投影的THSR波函数计算在两参数空间βx=βy和βz的能量等势图。我们使用基本的能量变分方法，并且不使用任何一个可调的参数。图14展示了20Ne的Jπ=0+态在两参数空间βx=βy和βz的能量等势图。我们可以看到能量的最小值不再位于βx=βy=βz的线上了，而是出现在βx=βy=0.9 fm且βz=2.5 fm的点上。第二个能量最小值是-159.74 MeV，出现在βx=βy=2.1 fm且βz=0.0 fm的点上，有一个狭长的峡谷将这两个最小值点连接了起来。而且我们注意到形变波函数对应的极值能量仅仅是略微低于球形空间对应的能量。比如，对波函数进行角动量投影后，我们得到了一个最低能量-159.85 MeV，它仅仅比通过非投影波函数获得的能量大约低0.19 MeV。

图17.20Ne的Jπ=2+态在两参数空间βx=βy和βz的能量等势图。

图18.20Ne的Jπ=2+态在两参数空间βx=βy和βz的峡谷区域的能量等势图。

图19.20Ne的Jπ=2+波函数（βx=βy=0.0 fm，βz=2.2 fm）与具有变量βx=βy和βz的2+态波函数重叠积分的平方的等势图。

图20.20Ne的Jπ=4+态在两参数空间βx=βy和βz的能量等势图。

表I.在Brink模型中，不同角动量投影态的能量极值点和对应的α结团和16O结团之间的距离。由THSR模型得到的等势图中的极值点和相应的位置，以及计算的20Ne的激发能和实验数值也列在了表中。对于低能态的情况，我们还列出了THSR GCM的计算结果和单个THSR波函数与对应的Brink波函数的重叠积分的平方。能量的单位为MeV。

图21.20Ne的Jπ=4+态在两参数空间βx=βy和βz的峡谷区域的能量等势图。

图22.20Ne的Jπ=6+态在两参数空间βx=βy和βz的能量等势图。

图16展示了Jπ=0+态波函数（βx=βy=0.9 fm，βz=2.5 fm）与具有变量βx=βy和βz的0+态波函数的重叠积分平方的等势图。可以看到，虽然长椭球区域和扁椭球区域对应的形变态完全不同，但是它们对应的波函数却极为相似，特别是，两个能量极值点对应的波函数的重叠积分的平方高达0.999。这说明尽管形变参数差异巨大，但这两个波函数却是几乎相等的。在THSR波函数对8Be的描述中，我们也可以得出相似的结论［114］。

图17展示了Jπ=2+态的能量等势图。我们可以在βx=βy=βz≈6 fm的区域中找到一个能量最大值，大约在-151 MeV左右，这个能量区域实际上对应着20Ne结团系统的库仑势垒。随着β的减小，我们依然可以在等势图中找到一个峡谷，它的区域大约出现在βx（βy）+βz-2＞0且βx（βy）+βz-3.5＜0限制的范围内，它连接起了两个能量最低点，一个能量最小值是-158.53 MeV，位于βx=βy=0.0且βz=2.2 fm的点上，另一个是-158.44 MeV，出现在βx=βy=1.9 fm且βz=0.0的点上。这两个最小能量的数值非常接近。图18展示了这个峡谷的能量等势线的细节。我们再次看到了这样的事实，尽管投影之前的波函数具有完全不同的形状，但是投影之后，求得的能量数值或者说投影波函数却变得极为相似的了。图19展示的重叠积分平方的等势图进一步证明了这一点。

图20和图21展示了在两参数空间，βx= βy和βz，Jπ=4+态的能量等势线及其峡谷区域的等势线细节。与图17相似，我们同样可以找到一个对应于库仑势垒的能量最大值点和一个连接两个能量最小值点的狭长峡谷。同时，计算表明，对应于扁椭球形和长椭球形的内禀波函数经过角动量投影之后，也变为了极为相似的波函数。

图23.20Ne的Jπ=6+态在两参数空间βx=βy和βz的峡谷区域的能量等势图。

图24.20Ne的Jπ=8+态在两参数空间βx=βy和βz的能量等势图。

图25.20Ne的Jπ=8+态在两参数空间βx=βy和βz的峡谷区域的能量等势图。

图22和图24分别展示了Jπ=6+和Jπ=8+态对应的能量等势线，它们都反映了共振态的特点，它们的能量都随着βx或者βz的增大而逐渐降低，即在两参数空间βx=βy和βz中，我们找不到能量的极值点。尽管如此，我们还是可以在一个小的区域内发现它们的局域极小值点，如图23和图25所示。对于20Ne的8+态，在它的等势图中，我们可以找到两个大约相等的局域极值点，极值能量为-144.48 MeV，它们出现在几乎对称的等势图位置上，一个点在βx=βy=0.0 fm且βz=0.7 fm，另一个点在出现在βx=βy=0.7 fm且βz=0.0 fm。如此小的β数值说明，在高自旋态，壳模型结构变得更为重要了。

根据前面所述，长椭球角动量投影态与扁椭球角动量投影态是非常相似的，这个特点可以从角动量投影波函数的数学表达式得出［114］。鉴于这种相似性，在GCM计算中，我们只需要叠加长椭球形变的波函数就可以了。同时，这样也可以避免因为叠加相似波函数而导致的过饱和问题。

表I中给出了20Ne基态转动带中不同量子态能量的极值点，GCM计算结果以及相应的实验数值。可以看出，除了Jπ=8+态对应的能量与实验值偏差较大外，GCM结果与计算的激发能和实验数值符合的较好。这证明了我们的THSR波函数对具有紧凑结团结构的20Ne的基态转动带进行了成功的描述。

进一步分析，我们注意到，在等势图中对应于极值点或者局域极值点的参数βx或者βz随着20Ne角动量的增加而逐渐变小，表I更清晰的显示了这一点。考虑到β参数的物理意义，我们认为随着角动量的增加，20Ne的结团结构正在逐步被壳结构所取代，在原子核物理中，这被称为反伸展效应［124］。换一种说法就是，由α+16O空间描述的20Ne的集体效应随着20Ne自旋的增加，逐渐转变为了平均场效应主导的壳结构。在AMD关于20Ne的计算中，这一效应同样被提及［82］。许多计算还表明，20Ne的基态转动带终结在Jπ=8+的态上［125］。这样，Jπ=8+态中壳空间的盛行也解释了为何我们使用结团模型来描述这个态时产生了较大的误差。能够正确的反映20Ne转动带的反伸展效应，表明了THSR波函数在描述结团结构时具有较强的灵活性。

为了更好的理解THSR波函数，同时进一步阐述20Ne的结团结构特征，我们将THSR波函数与Brink波函数进行了比较。首先，我们给出Brink模型的相关计算公式，其中，是角动量投影后的Brink波函数。EJ（R）是波函数的能量期望值，它是表征结团距离参数R的函数。

在Brink模型下，对于不同的角动量投影态，我们在表I中列出了能量的极值点及其对应的α结团和16O结团距离参数的数值。例如，对于20Ne的基态，当R=3.0 fm时，E0（R）取得能量最小值-158.42 MeV。需要注意的是，这个能量值比通过THSR波函数计算得到的能量值-159.85 MeV要高1.43 MeV。在Brink GCM计算中，我们选择如下的节点，Rj= 0.6×j fm且j=1～20。通过求解Hill-Wheeler方程，我们得到的最低能量为-160.05 MeV。这也是与THSR GCM结果一致的。另外，我们通过计算重叠积分的平方，比较了单个THSR波函数与叠加的Brink波函数的相似性。

对于Jπ=0+，2+，4+态，Brink GCM的计算结果与表I中的是基本一致的，这说明，叠加的THSR波函数与叠加的Brink波函数几乎是相同的。低激发态下，对比单个Brink或THSR波函数与GCM的计算结果，我们发现，由单个THSR波函数得到的能量更接近精确的GCM结果。

对于Jπ=6+，8+的量子态，无论是用单个THSR波函数还是单个Brink波函数，计算的最低能量是相似的。另外，它们的重叠波函数积分的平方也高达0.9870和0.9996。这进一步揭示了，描述这两个高激发态的这两类波函数几乎是相同的，这是因为THSR波函数和Brink波函数在壳模型的极限下（β→0或R→0）都会变为相同的SU（3）壳模型波函数。

通过与Brink GCM波函数的比较，我们进一步证明了紧致的20Ne结团结构是可以在THSR框架下得到很好的描述的。事实上，我们已经使用THSR波函数描述过非类气态的结团态。例如，归一化的12C的THSR基态波函数与GCM精确的基态波函数的重叠积分的平方大约为0.93［115］。考虑到12C的基态中，壳模型起了很重要的作用，同时还具有较强的2α关联，所以，0.93这一结果表明，在THSR模型的框架下对一般的结团结构进行描述还是很有希望的。现在我们使用单个的THSR波函数成功的对紧致的20Ne的基态转动带进行了描述。这表明，THSR作为一种凝聚波函数，不仅可以描述弱束缚的类气态nα结构，同样也可以很好的描述一般的结团结构。

在本节中，我们使用了一个推广的THSR波函数来描述20Ne的基态转动带。这一推广的THSR波函数继承了原THSR波函数的精神，用一个表征原子核大小维度的参数来描述结团间的相互运动，与传统模型以结团间距作为参数截然不同。首先，20Ne基态转动带能谱在推广的THSR模型下得到了很好的描述，并且20Ne的反伸展效应也得到了反映，这加深了我们对20Ne的基态转动带随着角动量的增大从类结团结构到类壳结构过渡的理解。更为重要的是，在描述20Ne基态转动带中，我们将单个推广的THSR波函数与Brink GCM波函数进行了对比，结果显示，两者几乎是100%相等的。由于THSR波函数在描述结团运动的时候，采用的是一种非局域化结团运动的图像，于是，我们意识到在描述20Ne基态转动带中的低激发态时，非局域化的结团概念比传统的局域化结团概念更为恰当。

VII.20Ne的宇称反转双重转动带描述

基于非局域化特点的THSR波函数让我们对12C的Hoyle态有了新的理解［26，111］，Hoyle态现在已经被确认为是一种α凝聚态，其中三个α粒子占据0S轨道做非局域化运动［109，115］。另外，12C基态的3α RGM/GCM波函数与对应的单个THSR波函数的重叠积分的平方达到了93%。因此，我们很自然的会有这样一个问题：非局域化运动是结团运动的本质特征吗？我们已经证明了非局域化的概念可以推广到描述具有紧致结构的20Ne基态转动带［112］，然而，由于推广的THSR波函数本身是正宇称的，因此20Ne中的负宇称态并不能被很好的包含到这个框架中来。而我们知道，20Ne中的宇称反转双重转动带一直被认为是局域化结团运动的一个典型代表［90］，于是我们就有必要寻找一种更广泛的，同时还可以继承THSR精神的波函数来对负宇称态进行描述。Hybrid-Brink-THSR波函数正是我们需要寻找的这种波函数。它具有混合的宇称态，同时兼顾Brink波函数与THSR波函数的特点。接下来，我们就使用Hybrid-Brink-THSR波函数来描述20Ne中的宇称反转双重转动带，尤其是负宇称结团态。

A.20Ne的Hybrid-Brink-THSR波函数

根据前面提出的Hybrid-Brink-THSR波函数（49）和方程（52），我们可以得到下面的20Ne结团波函数，

这样，通过引进另一个生成坐标参数S，波函数ΨNe（β，S）就以非常简单的方式同时包含了20Ne的Brink波函数和20Ne的THSR波函数。当参数β→0时，我们就得到了Brink波函数，而当引入的生成坐标S→0时，我们得到了对应的THSR波函数。更为重要的是，这个新的波函数本身是宇称的混合态，因此，我们可以通过宇称投影的方式来处理负宇称的问题。内禀波函数的角动量投影技术，参考文献［112］。

B.结果与讨论

Hybrid-Brink-THSR波函数中包含两个参数β和Sz，通过对这两个参数做变分计算，我们可以求得相应的极值能量。在下面的计算中，我们使用与前面相同的参数，即b=1.46 fm，核相互作用采用Volkov no.1 force［112］。

图26展示了非投影的Hybrid-Brink-THSR波函数在两参数空间βx=βy=βz和Sz的变分结果。可以看到最低能量-159.66 MeV出现在了Sz=0且βx= βy=βz=1.8 fm的位置上。由于变分参数Sz=0，于是，这个点对应的Hybrid-Brink-THSR波函数就成为了对应的THSR波函数。另外，通过负宇称投影的方法，我们还可以构造一个具有负宇称的Hybrid-Brink-THSR波函数。图27展示了负宇称的Hybrid-Brink-THSR波函数在两参数空间，βx=βy=βz和Sz的能量等势图。可以看到，能量的最低点同样落在了Sz≈0的位置上。需要注意的是，这里的Sz不能精确为零而只能取一个极小的数值。

事实上，我们更关心对Hybrid-Brink-THSR波函数进行角动量投影之后的变分结果。图28展示了20Ne的Jπ=0+态在两参数空间，βx=βy= βz和Sz，的能量等势图，基态的最低能量-159.66 MeV位于Sz=0且βx=βy=βz=1.8 fm的点上。图30展示了20Ne的Jπ=2+态的能量等势图，我们得到的最低能量-158.21 MeV位于Sz=0且βx= βy=βz=1.5 fm的点上。图32展示了20Ne的Jπ= 4+态的能量等势图，最低能量-155.09 MeV出现在了Sz=0且βx=βy=βz=1.1 fm的点上。这样看来，对于20Ne基态转动带中的正宇称态而言，能量的极值点同样落在了Sz=0的点上，这表明投影之后的Hybrid-Brink-THSR波函数与THSR波函数是完全一致的。

图26.20Ne的非投影Hybrid-Brink-THSR波函数在两参数空间βx=βy=βz和Sz的能量等势图。

图27.20Ne的负宇称Hybrid-Brink-THSR波函数在两参数空间βx=βy=βz和Sz的能量等势图。

图28.20Ne的Jπ=0+态在两参数空间βx=βy=βz和Sz的能量等势图。

图29.20Ne的Jπ=1-态在两参数空间βx=βy=βz和Sz的能量等势图。

现在我们来看一下角动量投影后，负宇称能级的变分结果。图29展示了20Ne的Jπ=1-态在两参数空间βx=βy=βz和Sz的能量等势图。我们可以看到最低能量-155.33 MeV出现在了βx=βy=βz=2.4 fm且Sz=0的点上。图31展示了20Ne的Jπ=3-态在两参数空间βx=βy=βz和Sz的能量等势图，最低能量-152.83 MeV出现在了βx=βy=βz=1.9fm且Sz=0的点上。图33展示了20Ne的Jπ= 5-态的能量等势图，最低能量-148.17 MeV出现在了βx=βy=βz=1.6 fm且Sz=0的点上。由此可见，对于Jπ=1-，3-，5-这些负宇称态，最低能量同样出现在Sz=0的位置上，差异仅仅是参数β有所不同。

图30.20Ne的Jπ=2+态在两参数空间βx=βy=βz和Sz的能量等势图。

图31.20Ne的Jπ=3-态在两参数空间βx=βy=βz和Sz的能量等势图。

图32.20Ne的Jπ=4+态在两参数空间βx=βy=βz和Sz的能量等势图。

图33.20Ne的Jπ=5-态在两参数空间βx=βy=βz和Sz的能量等势图。

我们在前面已经提到，非角动量投影的Hybrid-Brink-THSR波函数在Sz=0的情况下是与正宇称的THSR波函数完全一致的。需要注意的是，归一化的角动量投影后的Hybrid-Brink-THSR波函数在极限Sz=0的情况下仍可以保持它的宇称。这一点证明如下：对内禀波函数进行角动量投影后可得，在方程（74）中，如果我们进行了归一化处理，就可以得到极限Sz=0下的解析的数学形式，得到的波函数具有明确的自旋和宇称。

图34.20Ne的Jπ=1-态在两参数空间βx=βy和βz的能量等势图。

图35.20Ne的Jπ=3-态在两参数空间βx=βy和βz的能量等势图。

图36.20Ne的Jπ=5-态在两参数空间βx=βy和βz的能量等势图。

图37.Jπ=1-态波函数（βx=βy=3.7 fm，βz=1.4 fm）与具有变量βx=βy和βz的1-态波函数的重叠积分的平方的等势图。

在实际的数值计算中，我们只需要将Sz取一个非常小的，满足精度要求的数值即可，因此可以看到，参数Sz的引入是一种非常有效的处理投影THSR波函数的方法。图34，35和图36分别展示了20Ne的Jπ=1-，3-，5-态在两参数空间βx= βy和βz的能量等势图。我们在等势图上可以找到两个极小值点，这两个点被一峡谷连接起来。由此可见，尽管对应的内禀波函数形状差别巨大，但经过角动量投影之后，它们又变得极为相似了。为了进一步说明这种投影波函数的相似性，图37、图38和图39展示了它们能量最低点对应的波函数与具有变量βx=βy和βz的波函数的重叠积分平方的等势图，得到的结果与前面对20Ne基态转动带的描述是一致的。

表II.（R）表示在Brink模型中计算求得的最低能量。其中α结团和16O结团的距离参数为R。表示在混合模型中求得的能量极值。表示由混合模型得到的GCM能量。我们也列出了对应于能量极值的单个归一化的Hybrid-Brink-THSR波函数与Brink GCM波函数的重叠积分的平方。Hybrid-Brink-THSR波函数与单个归一化的对应于能量极值的Brink波函数的重叠积分的平方也同样列了出来。对于共振态Jπ=5-，我们没有列出相应的GCM结果。能量的单位为MeV。

图38.Jπ=3-态波函数（βx=βy=3.7 fm，βz=0.0 fm）与具有变量βx=βy和βz的3-态波函数的重叠积分的平方的等势图。

图39.Jπ=5-态波函数（βx=βy=3.3 fm，βz=0.0 fm）与具有变量βx=βy和βz的5-态波函数的重叠积分的平方的等势图。

更为重要的是，参数Sz的引入使我们可以更进一步讨论结团的局域化运动和非局域化运动问题。变分计算中，两个参数β和Sz的竞争最终导致了Sz=0，这个结果非常有助于我们阐释清楚20Ne的非局域化结团运动特点。图40展示了20Ne的Jπ=0+，1-，2+，3-的能量曲线。其中混合模型中使用了不同的高斯半宽作为相对运动波函数。如果β被固定为0，那么Hybrid-Brink-THSR波函数将变为Brink波函数。在这种情形下，Sz表示20Ne的内部结团之间的距离参数。对于20Ne的基态，最低能量出现在Sz=3.0 fm。对于Jπ=1-态，最低能量出现在Sz=3.9 fm。这些非零Sz数值看起来好像20Ne的α+16O结团结构更倾向于局域化的结团特点。这正是传统的结团物理中的局域化概念。然而，我们发现这种观点存在着一定的误导。非零Sz的出现仅仅是因为相对运动波函数中的高斯宽度被限制在一个过于狭小的范围之内。对于Jπ=0+，1-态而言，如果β分别取1.8 fm和2.4 fm，即图28和29中能量极值点的位置，换一种说法就是，我们采用一个具有较大半宽的高斯函数来描述结团的相对运动，那么我们发现，这些极值点将出现在Sz=0的位置上，如图40所示。这意味着，并不存在局域化的结团运动。上一章，我们已经证明了，对于20Ne的基态转动带，单个THSR波函数与叠加的Brink波函数几乎是100%一致的。

图40.20Ne的Jπ=0+，1-，2+，3-态能量曲线。其中Hybrid-Brink-THSR波函数中使用了不同的高斯半宽作为相对运动的波函数。

图41.20Ne的宇称反转双重转动带的理论计算值和实验值比较。

图42.20Ne在Hybrid-Brink-THSR模型下的核子密度分布，其中Sz=0.6 fm且（βx，βy，βz）=（0.9fm，0.9fm，2.5fm）。

为了进一步阐述角动量投影的THSR波函数在描述20Ne负宇称态上同样是极为精确的，我们计算了单个描述转动带的Hybrid-Brink-THSR波函数与Brink GCM波函数的重叠积分的平方。通过表II，我们可以看到这些数值也是接近100%的。

图41给出了在THSR模型框架下，计算求得的20Ne的两条转动带能级。我们同时给出了实验值进行比较。由于Brink GCM波函数可以描述这两条转动带，所以我们的角动量投影波函数自然也可以生成相应的能级。需要注意的是，我们在计算过程中没有使用任何的可调参数。在20Ne转动带的描述上，理论值与实验值符合的很好，这表明THSR波函数很好的抓住了结团相对运动的特征。

但是，如何在非局域化结团的概念下理解20Ne的宇称反转双重转动带呢？在Brink模型中，我们通常选取结团间的距离作为变分参数来描述α结团与16O结团之间的相对运动，这样的Brink波函数是一个形变的，宇称残缺的波函数，它使人们相信20Ne的转动带是由α结团与16O结团的局域化运动而产生的。而在THSR图像下，两个结团被束缚在一起做非局域化运动，并没有明显的参数来限制这两个结团形成一定的形变，因此，投影的THSR-type波函数（Sz=0）看起来似乎很难与20Ne的宇称反转双重转动带有直接的联系。现在我们认为，原子核中的结团动力学是倾向于非局域化结团的，但是结团间的泡利阻塞效应可以使α+16O两结团系统产生一种有效的空间局域化结团结构，即原子核内的类分子状结团结构，正是由于这种α+16O的类分子结团结构导致了20Ne宇称反转双重转动带的产生［126］。

首先，20Ne具有长椭球形的内禀波函数。在前面的章节中，我们得到的20Ne基态转动带的投影波函数是长椭球形的，而负宇称转动带的投影波函数是扁椭球的。同时，我们还注意到，在描述两个转动带的过程中，对于同一个角动量投影态而言，投影后的扁椭球波函数与投影后的长椭球波函数是极为相似的，甚至在某些点上它们几乎是100%相等的。那么，我们如何判断20Ne转动带的内禀波函数的形状呢？通过求解20Ne的电四极矩，我们可以得到负的数值，这表明20Ne的α+16O系统是具有长椭球形状的。同时，扁椭球的内禀波函数是没有实际物理意义的，它可以看做是长椭球的波函数绕着垂直于它自身对称轴的某一个轴旋转的平均结果。

其次，20Ne的α+16O结团系统在泡利泡利阻塞效应下形成了类分子的结团结构。尽管我们证明了在20Ne中，α结团和16O结团是做非局域化的结团运动的，但是由于结团间的泡利阻塞效应，这两个结团是不能靠的太近的，这就形成了一定的形变，它可以看做是一种有效的局域化结团结构。下面，我们通过单核子的密度分布来说明这种有效的局域化结团效应。

定义密度算符，

其中ri表示核子坐标，r是密度参数。根据前文可知，20Ne的Hybrid-Brink-THSR内禀波函数可以写为如下形式，

由于THSR波函数本身是正宇称的，它是无法表达出α+16O结团系统宇称残缺的密度分布情况的，因此我们使用具有较小数值Sz的Hybrid-Brink-THSR波函数来求解核子的密度分布。这个Hybrid-Brink-THSR波函数是与对应的长椭球THSR波函数非常相似的。图42展示了Hybrid-Brink-THSR波函数的密度分布，其中Sz=0.6 fm，（βx，βy，βz）=（0.9 fm，0.9 fm，2.5 fm）。可以看到，尽管Sz只取了0.6 fm这样一个很小的数值，但是α结团和16O结团之间的距离却大约为3.6 fm，这表明，这个大的结团距离3.6 fm并非来自于参数Sz，而是由于结团间的泡利阻塞效应形成的。这样，20Ne中的α结团和16O结团的类分子结团结构在非局域化结团的图像下得到了证实。

本节中，我们通过使用一个混合型的Hybrid-Brink-THSR波函数研究了20Ne的宇称反转双重转动带，并成功的澄清了原子核结团在原子核中是做局域化的结团运动还是非局域化的结团运动这一重要问题。20Ne的宇称反转双重转动带在过去一直被认为是α+16O局域化结团结构的有力证明。因此，为了能够证明非局域化结团的概念，我们就必须使用基于非局域化结团概念的波函数对20Ne的Kπ=0±1双重转动带进行正确的描述。这样，通过使用混合型的Hybrid-Brink-THSR波函数对20Ne进行计算，我们最终得到的与极值能量对应的波函数正是具有非局域特征的THSR-type波函数，这同时表明，Brink波函数中变分计算得到的非零Sz并不能证明局域化结团这一概念。我们进一步发现，对应于能量极值点的单个THSR-type波函数几乎100%与叠加的Brink波函数即20Ne中α+16O系统的RGM精确解相等。这表明，由THSR-type波函数揭示的非局域化结团概念非常有助于我们正确理解原子核中的结团运动关联。

VIII.原子核容器图像下12C基态的2α关联效应

A.原子核结团容器图像

前面我们提到，由新型的结团波函数得到的能量曲线揭示了，传统的局域化的结团图像对结团运动的理解是不恰当的。长久以来，人们一直认为通过对Brink波函数进行变分计算后得到的非零结团间距是对局域化结团的有力证明。对于一个质量数为A1和A2的两结团系统而言，Brink波函数的结团相对运动部分是一个具有如下形式的高斯型波包［126］，

其中参数b表示谐振子宽度参数。而Hybrid-Brink-THSR波函数的相对运动波函数部分可以写为，

当参数B=b时，由Hybrid-Brink-THSR波函数得到的能量曲线在非零Sz处有极值点，它对应于Brink波函数的情形。随着参数B的增大，极值点对应的变分参数Sz变的越来越小，最终变为Sz=0，这时的Hybrid-Brink-THSR波函数也变为了THSR波函数。可见，如果Brink波函数中的固定的宽度参数被取为一个变分参数，那么在能量极值点，变分后表示结团间距的参数的值将变为0。需要注意的是，经过变分计算得到的THSR波函数与Brink波函数具有完全不同的特点，单个THSR波函数几乎100 %与相应的RGM波函数相等，而相应的Brink波函数只是可以看做精确解RGM波函数的一个主要部分。对于两结团系统而言，单个THSR波函数的这种高度精确性相继在8Be的基态转动带和20Ne的宇称反转双重转动带中得到了证实。在三结团系统中，我们知道对于12C的基态而言，单个THSR波函数与相应的3α RGM波函数的重叠积分的平方达到了93%。（后面我们可以看到，如果考虑了2α关联，重叠积分的平方将高达98%［127］。）对于Hoyle态而言，单个THSR波函数几乎100%与3α RGM波函数相等。以后的工作，我们将要研究更为复杂的结团系统，比如四结团甚至五结团系统中，单个THSR波函数是否还能有如此好的表现。

THSR波函数最初提出是为了描述α凝聚态或者类气态结团态。后来发现，THSR波函数同样可以对非类气态结团结构，甚至是紧致的基态结构进行很好的描述。比如，12C的基态和20Ne的基态转动带，它们虽然都是类壳结团结构，但是同样可以在THSR框架下得到很好的描述。基于这样的事实，在深入分析THSR波函数背后物理意义的基础上，我们提出了一个描述结团结构的新图像，即原子核结团的容器图像。在容器图像中，原子核结团被认为处于由THSR波函数描述的一种结团平均场中，做非局域化的结团运动。

首先，包含宽度参数B的THSR波函数的Hill-Wheeler方程可以写为，

这里，Hill-Wheeler方程中对于参数B的积分可以通过B取离散值求和来得到。对于两结团系统而言，角动量投影后的THSR波函数ΦL（B）可以写为，

代入上面的Hill-Wheeler方程后，我们可以得到一个与RGM方程等价的形式，

这种等价关系表明，我们可以应用THSR波函数形式的Hill-Wheeler方程来求解散射问题。这也进一步证明了，THSR波函数很好的抓住了原子核结团的动力学特征。

在3α［26，55，111］和4α［26，128］结团系统中，系统的激发态可以通过求解THSR类型的Hill-Wheeler方程进行很好的描述。进一步说，在结团平均场中，系统的激发态首先是由THSR波函数中的动力学参数B来描述的，它可以看做是一种生成坐标，接着通过结团中的单粒子运动激发来实现。我们称这种新的结团动力学机制为容器图像。在结团容器图像中，表征结团动力学的参数是宽度参数B，它其实描述了一类自洽的结团平均场。我们可以很容易的在容器图像中理解类气态结团的形成机制，它可以看作是容器的体积或者空间增大所致（B参数由小变大）。

简单的说，容器图像的动力学包含三个部分。首先，原子核结团被认为处于一种自洽的结团平均场中做相互独立的非局域化运动。其次，系统的集体激发态通过求解THSR型的Hill-Wheeler方程得到的叠加波函数来描述。第三，原子核分子结团结构起源于结团间的泡利阻塞效应。

B.12C基态的2α关联效应

在原子核结团物理的研究中，12C几乎被看作是最重要的一个原子核。长久以来，它有趣的结团结构已经被各种原子核模型进行了广泛的研究［9，17，101］。12C中一个典型的结团态是著名的Hoyle态。四十几年前，Horiuchi提出，基于OCM的计算，这个Hoyle态具有类似的结团结构，并且结团之间相对运动波函数是处于0S态的［78］。后来，Uegaki［53］和Kamimura［129］等人完成了3α结团结构的完全微观计算，进一步证实了这个观点。现在，Hoyle态被看作是一种α凝聚态，其中3α结团主要占据（0S）轨道，做相互关联及其微弱的非局域化结团运动。与稀疏的类气态Hoyle态不同，12C的基态处在3α阈值的7.27 MeV之下，它通常被认为具有一种非常紧致的3α结团结构。

我们已经知道，20Ne的宇称翻转双重转动带的16O+α Brink-GCM波函数几乎100%等于相应的单个THSR波函数，如前面提到的，对于20Ne的基态而言，它们重叠波函数的平方高达0.993。这表明，非局域化的THSR波函数不仅仅可以描述低密度的类气态结团结构，同时还能描述具有正常密度的一般结团结构。这个发现促使我们引入了基于THSR波函数的容器模型。在这个新的容器图像下，结团通过占据类似于结团平均场中的最底轨道做非局域化的结团运动，而这种运动通过表征容器大小的参数来描述。特别是，具有紧致结团结构的20Ne的基态也能在这个容器图像下进行高精度的描述。而我们知道，单个3α基态的THSR波函数与对应的RGM/GCM波函数的重叠积分的平方是0.93。如果我们认为容器图像可以对不同特征的结团结构进行统一的描述，那么这个0.93的幅度似乎比预料的要小了一些。我们需要进一步去研究12C的基态能否被单个扩展的THSR波函数进行很好的描述。

在结团容器图像下，2α+α结团的THSR波函数可以写为如下形式，

其中，ΦB（R1，R2）是12C的Brink波函数，

这里，我们再次强调一下THSR波函数重要的极限特征。当β1和β2→0时，归一化的THSR波函数变为壳模型波函数。与之相反，当β1和β2→+∞时，这时反对称效应可以被忽略，归一化的THSR波函数变为了一个3α谐振子波函数的乘积。这也是THSR波函数或者容器图像不仅能应用于研究类气态结团态，同时还能描述紧致的结团态的一个重要原因。

在上面的2α+α THSR波函数方程（44）中，我们引入了两个形变参数β1和β2，用以表征非局域化结团的特点。而在Brink波函数方程（86）中，使用了表征局域结团间距的参数作为变分参量。在12C的3α结团系统中，2α结团在β1参数限制的容器中做相对运动，而这个8Be（2α）结团和另外的一个α结团可以看作在β2参数限制的容器中做相对的结团运动。图（43）展示了容器图像中，12C的2α+α结团结构示意图。通过构造这种形式的波函数，2α关联被包含了进来。需要注意的是，如果我们在方程（44）中做这样的替换，和，2α+α THSR波函数就变为了只包含一个参数β0的3α THSR波函数［111］。

图43.容器图像中，12C的2α+α结团结构示意图。

实际计算中，我们假定2α+α系统是轴对称的，即βi≡（βix=βiy，βiz）（i=1，2）。这样，角动量投影后的0+THSR波函数可以简化为，

变分计算中，我们采用了两组势参数。F1表示采用Volkov No.1有效核子势能，并且Majorana M=0.575和b=1.41 fm。Uegaki等作者在3α Brink-GCM计算中使用了此参数［53］。F2表示采用改进的Volkov No.2有效核子势，并且参数Majorana M=0.59和b=1.35 fm。Kamimura等作者的3α RGM计算中使用了此参数［129］。

图（44）展示了采用投影的0+2α+α波函数，在两参数空间，β1x=β1y=β1z和β2x=β2y=β2z，12C基态的能量等势图。等势图中在β1x=β1y=β1z=1.8 fm且β2x=β2y=β2z=1.5 fm的点上有一个能量极值点，Emin=-86.10 MeV。需要注意的是，这个极值能量与使用只包含一个形变参数β的3α THSR波函数所得到的变分结果-86.09 MeV几乎是一致的。如果采用F2参数，我们也可以得到相似的结论。仅仅从以上结果来看，推广的两参数THSR波函数在对12C基态的描述中似乎并没有太大的改进。

图44.在两参数空间，β1x=β1y=β1z和β2x=β2y= β2z，12C基态的能量等势图。变分计算采用F1参数。

接下来，我们使用角动量投影的0+THSR波函数在形变的四参数空间β1x=β1y、β1z、β2x= β2y和β2z中做变分计算。采用F1参数，变分结果显示，能量极值点Emin=-87.28 MeV出现在β1x=β1y= 1.5、β1z=0.1、β2x=β2y=0.1、β2z=3.2 fm的位置，这比使用单形变参数得到的能量低了大约1.2 MeV。如果采用F2参数，在β1x=β1y=0.1、β1z= 2.3、β2x=β2y=2.8、β2z=0.1 fm的位置，我们可以得到极值能量Emin=-89.05 MeV，它也比使用单形变参数得到的能量低了大约1.4 MeV。这些通过推广的THSR波函数得到的较低的能量极值点显示，12C基态中的2α关联是不可忽视的。

为了得到在容器图像下12C基态的精确解，我们通过叠加2α+α THSR波函数来进行THSR-GCM的计算，

其中，β1=（β1x=β1y，β1z），β2=（β2x=β2y，β2z）。通过求解这样的Hill-Wheeler方程，我们可以得到在使用F1和F2参数下，12C基态的能量收敛本征值分别为-87.98 MeV和-89.65 MeV。我们同样计算了THSR-GCM波函数GCM（β1，β2）和单个归一化的2α+α THSR波函数的重叠积分的平方，相关的结果都列在了表III中。

表III.Emin（β0）表示使用具有单形变参数β0的3α THSR波函数进行变分计算得到的极值能量。EGCM（β0）是对应的GCM能量［111］。Emin（β1，β2）表示使用具有两形变参数的2α+α THSR波函数得到的极值能量。EGCM（β1，β2）是相应的GCM收敛能量本征值。其中GCM（β1，β2）和单个归一化的2α+α波函数的重叠积分的平方也在表中列了出来。这里，SO=|〈min（β1，β2）|GCM（β1，β2）〉|2［127］。能量的单位为MeV。

参数Emin（β0）［111］Emin（β1，β2）完全3α求解EGCM（β0）［111］EGCM（β1，β2）SO F1-86.09-87.28-87.92［53］-87.81-87.980.975 F2-87.68-89.05-89.4［129］-89.52-89.650.978

与12C的3α THSR波函数相比，我们会发现包含2α关联的2α+α THSR波函数在描述12C的基态方面有了很大的提高，得到的最低能量比使用3α THSR波函数低了1 MeV以上。即使THSR-GCM的计算结果也得到了一些改善。这表明，在容器图像中，2α关联在12C的基态中起着重要的作用。

进一步来看，在表III中，我们得到的重叠积分的平方，|〈min（β1，β2）|GCM（β1，β2）〉|2高达了98%。通常，通过增加参数来使得波函数变得更为精确是常用的方法。但是，高达98%的精确性却是令人惊奇的，因为它表示扩展后的单个THSR波函数几乎与精确的3α Brink-GCM或3α RGM波函数完全相等。这样，紧致的三体结团基态结构在容器图像下得到了很好的描述。进一步说，单个3α THSR波函数和THSR-GCM波函数的重叠积分大约为93%，然而通过引入2α关联，对应的重叠积分的平方提高到了98%，这强有力的证明了12C基态中存在着重要的2α关联效应。

最近，12C的5-态已经在实验上得到了证实，这似乎支持了12C中3α结团具有D3h对称结构的观点［130］。我们已经知道基态的Brink-GCM波函数包含着重要的3α等边三角形空间，即D3h对称结构。由于THSR波函数几乎100%与Brink-GCM波函数相等，因此我们可以认为，它同样有一个重要的D3h对称空间。需要注意的是，Brink-GCM波函数中并非只包含等边三角形空间，同时还包含一些非等边等腰三角形空间和非等腰三角形空间［53］。然而，由于主要的空间仍可看作是D3h对称的，因此Brink-GCM波函数是可以描述Kπ=3-转动带的。在THSR波函数中存在的不是很强但是却非常重要的2α关联或许正是Brink-GCM波函数中包含的非D3h对称成分的体现。现在，通过构造2α+α THSR波函数，我们提取出了基态的2α关联，而这一点是很难在RGM/GCM模型中实现的。

对于Hoyle态，我们已经知道它具有一种类气态结团结构。事实上，单个的不包含2α关联的3α THSR波函数几乎100%与对应的RGM/GCM波函数相等［111］，这也反映了Hoyle态这种类气态结团结构特征。另一方面，根据AMD计算56］，和态同样可能具有较强的2α关联。下一步，我们将利用这个扩展的2α+α THSR波函数对这些激发的0+态进行研究。

最近，结团容器模型已经被推广到了非nα核［131］和Λ超核［132］区域。

IX.总结与展望

原子核内核子运动模式除了单粒子运动和集体运动以外，在轻核和一些中重核中，结团运动也是一种非常重要的运动模式。原子核结团结构的研究是当今国际原子核物理研究的一个热点课题。一直以来，人们认为轻核中的结团结构具有类刚体的特点，这些结团在原子核中做局域的结团运动。本文采用了一个新的微观结团波函数对原子核20Ne的α+16O结团结构进行了系统的分析和研究，并在此基础上提出了一个原子核结团物理的新概念—非局域化结团，来理解原子核中的结团运动。

局域化结团运动是人们对原子核结团运动的一种传统理解，其中，20Ne作为一个具有典型结团结构的原子核，它的α+16O结团结构产生的宇称反转双重转动带一直以来都被认为是原子核局域化结团的有力证明。尽管如此，当我们使用推广的THSR波函数对20Ne的基态转动带进行了成功的描述后，我们开始意识到非局域化结团运动的重要性。为了确定结团在原子核内究竟是做局域化还是非局域化的结团运动，我们提出了一个新的Hybrid-Brink-THSR结团波函数。新构造的结团波函数在描述结团运动中具有明显的优势，我们将描述结团关联的新的维度引入到了这个波函数之中，并且，传统的反映局域化结团特征的Brink波函数和具有非局域特点的THSR波函数都可以在这个新结团波函数的极限条件下自然得到。将这个新的结团波函数应用到20Ne的结团结构中，经过变分计算后发现，20Ne的正宇称转动带和负宇称转动带得到了非常好的描述。同时，计算得到的20Ne的波函数是具有非局域特点的THSR-type波函数，这样我们就证明了，20Ne中的α和16O结团实际上是在做非局域化的结团运动而非通常理解的局域化结团运动。我们进一步指出，非局域化结团是原子核结团结构的根本特征，结团可以在原子核中作相对自由的非局域运动，结团间距的产生根源于量子反对称下的泡利阻塞效应而非传统的局域结团结构。同时，我们还提出了容器图像来理解结团非局域运动背后的动力学机制，并将其应用到12C的基态进行了研究。

目前，非局域化结团还是原子核结团物理中一个崭新的概念，下一步我们将通过新提出的结团波函数对另外一些典型的原子核结团结构进行计算，如16O中的α+12C结团，24Mg中的16O+α+α结团等。通过对这些结团态的研究，我们可以进一步证实4n原子核中非局域化结团的概念和新的结团容器图像。

致谢

感谢与Y.Funaki博士、H.Horiuchi教授、A. Tohsaki教授、P.Schuck教授、G.R¨opke教授、许昌副教授和T.Yamada教授的讨论。

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The formation of clusters in nuclei is a fundamental aspect of nuclear many-body dynamics and it is also one of the most interesting phenomenon in nuclear physics.In this paper，we review the nuclear cluster development and some important nuclear cluster models.And based on the investigation of the inversion doublet bands of20Ne within a microscopic cluster model，we discuss a new concept，nonlocalized clustering，for understanding the cluster structures in nuclei.In the new picture（container picture），the clusters are nonlocalized and move around in the whole nuclear volume，only avoiding mutual overlap due to the Pauli blocking effect.The two-alpha correlation for the ground state of12C in the container picture is also discussed.The proposed concept of nonlocalized clustering or container picture is completely different from the traditional understanding of the localized clustering and it opens a door for exploring more complex cluster structures in nuclei.

Nonlocalized clustering in nuclear cluster physics

Zhou Bo1，Ren Zhong-Zhou2
1.Faculty of Science，Hokkaido University，Sapporo 060-0810，Japan 2.Department of Physics，Nanjing University，Nanjing 210093，China

Nuclear cluster model；Nonlocalized clustering；THSR model；Inversion doublet bands

date：2015-03-12

TN011

10.13725/j.cnki.pip.2015.03.001

*bo@nucl.sci.hokudai.ac.jp；†zren@nju.edu.cn

国家自然科学基金（批准号：11035001，10975072，10735010，11375086，11175085，11235001，11120101005）和中国973项目（批准号：2010CB327803，2013CB834400）资助项目。

1000-0542（2015）03-0107-40107