玫瑰线的曲率积分是定值

刘帅　邬雯雯

（1.大连理工大学，辽宁大连　116024；2.咸阳师范学院，陕西咸阳　712000）

玫瑰线的曲率积分是定值

刘帅1邬雯雯2

（1.大连理工大学，辽宁大连116024；2.咸阳师范学院，陕西咸阳712000）

玫瑰线是一种重要曲线，极坐标下通过改变参数而得到不同叶子半径和数量的优美曲线，一般情况下参数n取正整数时得到闭合图形。而曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度，曲率问题是工程技术中的常见问题。通过求解玫瑰线的曲率对曲线的积分，在不同的参数n下分析得到一个玫瑰线全曲率的普遍规律。

玫瑰线参数方程 曲率积分全曲率

玫瑰线是一种具有周期性且包络线为圆弧的重要曲线，它的极坐标方程为：ρ=asin（ nθ），而玫瑰线的几何结构取决于方程参数的取值，不同的参数决定了玫瑰线的大小，叶子的数目和周期的可变性。这里参数a（包络半径）控制叶子的长短，参数n控制叶子的个数，叶子的大小及周期的长短。如，n分别取2，3，3/2时分别对应的是三叶、四叶和六叶玫瑰线如图1所示。通过计算机的大量实验得到玫瑰线的一些特性如下：

特性1：当n为整数时，若n为奇数，则玫瑰线的叶子数为n，闭合周期为π，即θ角在0-π内玫瑰线是闭合的。当n为偶数时，玫瑰线的叶子数为2，闭合周期为2π，即θ角取值在0-2π内玫瑰线才是闭合和完整的。

特性2：当n为非整数的有理数时，设为L/W，且L/W为简约分数，此时L与W不可能同时为偶数。L决定玫瑰线的叶子数，W决定玫瑰线的闭合周期（Wπ或2Wπ，见特性3）及叶子的宽度，W越大，叶子越宽。但W也会同时影响叶子数的多少，对同一奇数值L，在W分别取奇数和偶数值时，叶子数也是不同的。

特性3：当L或W中有一个为偶数时，玫瑰线的叶子数为2L，闭合周期为2Wπ。当L或W同为奇数时，玫瑰线的叶子数为L，闭合周期为Wπ。换句话说，生成偶数个叶子的玫瑰线，L或W中必须有且只有一个为偶数值，且L为叶子数的一半，而生成奇数个叶子的玫瑰线，L和W都必须为奇数，且L值就是叶子数。图2是一些不同参数下的玫瑰线图形。

这里仅研究n取值为正整数时候的玫瑰线。

曲线的曲率是曲线倾角对其弧长的变化率，它合理而准确地刻画了曲线在一点的弯曲程度。它针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。直角坐标下，将玫瑰线在其弧长上每一点的曲率作以积分就得到了玫瑰线的全曲率。

图1　左为n=4时八叶玫瑰线，右为n=3时三叶玫瑰线

图2　不同参数下玫瑰线的图形

经计算，

带入

化简得

当 n为偶数时，2θπ-，上述积分在积分区间内分为三段：

于是，得到在n取正整数时，玫瑰线的全曲率的一般规律。当玫瑰线的极坐标方程中的参数为奇数时，曲率对曲线的积分为2π，；当n为偶数时，曲率对曲线的积分为4π。因此我们发现，虽然不同参数下的玫瑰线图形不一样，但是其曲线的弯曲程度在连续变化中所转过的角度是一致的。

［1］大连理工大学.工科微积分［M］.第2版.大连.大连理工大学出版社，2007（2）：136.