从正方形内一点问题谈起
2015-10-27华漫天
2014年慈溪市青年数学教师基本功竞赛中有这样一道题:如图1,P是正方形ABCD内一点,PA=5,PB=4,PC=1.求正方形的边长.
问了我校参赛的几个青年教师,普遍反映该题得分率较低,感觉用代数方法很繁,用几何方法一时又找不到巧妙的思路,所以最后放弃的老师较多.出于兴趣,笔者对此问题进行了一番探究.
从一般性考虑,笔者直接探究了以下问题:P是正方形ABCD内一点,PA=a,PB=b,PC=c.求正方形的面积.
接着,笔者进一步思考三角形内一点问题:设P是锐角△ABC内一点,PA=a,PB=b,PC=c.显然,△ABC是无法确定的,那么能否确定当点P在什么位置时,△ABC面积最大呢?笔者得到的结论是:当点P是△ABC的垂心时,△ABC面积最大.
该结论的证明用到多边形的一个熟知结论:边长和边的排列顺序相同的多边形中,圆内接多边形面积最大.
事实上,如图5,分别以AB、BC、CA为对称轴作出点P的对称点,依次为D、E、F,易得六边形ADBECF的面积是△ABC面积的两倍,所以当六边形ADBECF面积最大时,△ABC面积也最大,根据熟知结论,当六边形ADBECF内接于圆时面积最大,此时由于AD=AP=AF,于是得∠ABD=∠ACF,而∠ABD=∠ABP,∠ACP=∠ACF,所以∠ABP=∠ACP;同理,∠BCP=∠BAP,∠CAP=∠CBP,利用三角形内角和等于180度即得∠ACP+∠BCP+∠CAP=90°,故AP⊥BC;同理,BP⊥AC,CP⊥AB,所以点P是△ABC的垂心.
由此,我们得到了垂心的又一优美性质:若锐角三角形三个顶点到定点的距离分别为定值,则当这个定点是该三角形垂心时面积最大.这与著名的法尼亚诺(Fagnano)问题:锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周长最短.似有异曲同工之妙.
遗憾的是,笔者尚未找到可以简洁表示的最大锐角三角形面积公式,即如下问题敬请同行们一起探究:设P是锐角△ABC的垂心,PA=a,PB=b,PC=c.求△ABC的面积.
作者简介 华漫天,男,浙江慈溪人,1969年1月生,中学高级教师,已发表文章30余篇,主要研究初等数学以及中学数学教与学.