从正方形内一点问题谈起

2014年慈溪市青年数学教师基本功竞赛中有这样一道题：如图1，P是正方形ABCD内一点，PA=5，PB=4，PC=1.求正方形的边长.

问了我校参赛的几个青年教师，普遍反映该题得分率较低，感觉用代数方法很繁，用几何方法一时又找不到巧妙的思路，所以最后放弃的老师较多.出于兴趣，笔者对此问题进行了一番探究.

从一般性考虑，笔者直接探究了以下问题：P是正方形ABCD内一点，PA=a，PB=b，PC=c.求正方形的面积.

接着，笔者进一步思考三角形内一点问题：设P是锐角△ABC内一点，PA=a，PB=b，PC=c.显然，△ABC是无法确定的，那么能否确定当点P在什么位置时，△ABC面积最大呢？笔者得到的结论是：当点P是△ABC的垂心时，△ABC面积最大.

该结论的证明用到多边形的一个熟知结论：边长和边的排列顺序相同的多边形中，圆内接多边形面积最大.

事实上，如图5，分别以AB、BC、CA为对称轴作出点P的对称点，依次为D、E、F，易得六边形ADBECF的面积是△ABC面积的两倍，所以当六边形ADBECF面积最大时，△ABC面积也最大，根据熟知结论，当六边形ADBECF内接于圆时面积最大，此时由于AD=AP=AF，于是得∠ABD=∠ACF，而∠ABD=∠ABP，∠ACP=∠ACF，所以∠ABP=∠ACP；同理，∠BCP=∠BAP，∠CAP=∠CBP，利用三角形内角和等于180度即得∠ACP+∠BCP+∠CAP=90°，故AP⊥BC；同理，BP⊥AC，CP⊥AB，所以点P是△ABC的垂心.

由此，我们得到了垂心的又一优美性质：若锐角三角形三个顶点到定点的距离分别为定值，则当这个定点是该三角形垂心时面积最大.这与著名的法尼亚诺（Fagnano）问题：锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形的周长最短.似有异曲同工之妙.

遗憾的是，笔者尚未找到可以简洁表示的最大锐角三角形面积公式，即如下问题敬请同行们一起探究：设P是锐角△ABC的垂心，PA=a，PB=b，PC=c.求△ABC的面积.

作者简介 华漫天，男，浙江慈溪人，1969年1月生，中学高级教师，已发表文章30余篇，主要研究初等数学以及中学数学教与学.