四边形不稳定性的思考

郝四柱+朱金玲

1 问题的提出

在一次活动课上，学生们探究如何让六边形实现稳定.问题是：一个六边形钢架ABCDEF，由6条钢管连接而成，为了使这一钢架稳固，请你用三条钢管做对角线使它固定，你能设计两种不同的方案吗？

同学们的思路各种各样，如图1的6个图形是出现比较多的情况.

前面4种容易判断.图1①不稳定，图1②—④都是稳定的，并且能够证明.老师们认为后两种方法含有四边形，不具有稳定性，因而不符合要求（解释一下，图形中对角线用虚线，突出对角线交点不存在；只保持对角线的长度不变）.最后两种方法本人凭感觉它们是稳定的.几何画板演示之后，验证了这两个图确实是稳定的.但是如何解释呢？

解铃还须系铃人，问题必须回到“四边形的不稳定性”上来，进行深度探究，弄清楚四边形不稳定性的内在规律.

众所周知，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.对于四边形不稳定性，有不少人还会产生误解：（1）有人会说，三角形有时也不具有稳定性，你看：如图2，△ABC，具有AB、AC和∠ABC确定，这样的三角形可以有两个，能稳定吗？

（2）有人还会说：四边形我能让它稳定；用长度一定的四根钢筋，把四边的顶点依次焊接起来，这个四边形不就稳定了吗？

以上两种想法都是不正确的.对于看法（1），把图形的两种情况和不稳定性混淆了.△ABC1和△ABC2虽然是两种情况，但是△ABC1运动变成△ABC2的过程中，AC长度和∠ABC度数至少有一个发生变化；也就是说这两情况虽然是存在的，但是不可能通过连续变化实现△ABC1和△ABC2这两种情况的相互转换.对于看法（2）涉及到顶点的连接方式问题：顶点处必须是可动的，如同四肢的关节一样.否则稳定性研究无从谈起.

那么四边形不稳定性有哪些内在的规律？

课本中有四边形不稳定性的明确定义：四边形具有不稳定性，也就是说，当一个四边形的四边的长度确定时，这个四边形的形状、大小不唯一确定.如图3，不妨让一边AB固定，四边长度确定，此时四边形形状变化时，点D的轨迹是以点A为圆心、AD为半径的圆（弧），点C的轨迹是以点B为圆心、BC为半径的圆（弧）.在边BC、AD上的固定点的轨迹也是圆.

此时四边形ABCD中，CD上的某个固定点的轨迹又是什么？是圆（弧）？

显然四边形ABCD如果是平行四边形，在AB确定的情况下，图形变化过程中有cos（α-β）=1，R=r；此时点P的轨迹显然是圆.但是对于四边形ABCD不是平行四边形的时候，点P的轨迹通过几何画板演示发现：点P在直线CD上的不同位置的点的轨迹如图4.显然轨迹不是一个圆，而是一个封闭图形.那么四边形在运动过程中除了平行四边形外，是否还有其它点的轨迹是圆？也就是说：有cos（α-β）为定值呢？答案是没有，证明如下.

特别的：当四边形是梯形且BC∥AD时，那么α-β=0，随着图形的变化，那么这种平行的位置关系发生变化，α-β也不可能是定值.

所以，除了平行四边形之外的其它四边形均不可能有α-β是定值.也就是说：只有平行四边形的情况下，CD边上的点P（异于C、D）的轨迹才是圆，否则，根据（1）可知：点P轨迹方程是围绕一个中心运动，但是半径不断发生变化的方程，其图形是一种有中心的封闭图形（或其一部分）不妨称之为变圆.

4 问题的拓展

推论1：根据结论（2）可知：当四边形ABCD以一边AB固定，其它边运动时，①直线AD、BC上的任意一点（除A、B外）运动的轨迹是：半径和圆心都固定的确定的圆.

②直线CD上的点（除点C、D外）运动的轨迹是圆心确定但半径不断变化的一种似圆非圆的变圆（或变圆的一部分）.

③如果某个点E是以BC（或AD为定边）而被固定的点，那么这个点E的轨迹是一个圆.

④如图6某个点E是以CD为定边，CE、DE边长确定三角形CDE，当四边形ABCD以AB不动其他部分运动时，点E的轨迹是圆心和半径都改变的变圆.

根据推论可知：显然五边形需要且只需要任意2条对角线就能把五边形固定.

那么对于六边形至少需要3条对角线才能把六边形固定.如图1①—④易于发现是否是固定的了.

对于如图1的⑤⑥两图，是否稳定呢？

如图7就是图1⑤，让△ABF固定不动，根据推论1③可知：当四边形BCEF图形变化时，点D的轨迹是变圆，点D到点A的距离是不断变化的，所以一旦AD长度确定，那么点D确定，整个图形就固定了了.说明这种情况下是稳定的.

对于图1⑥情况，即：图8，由于一时找不到一个固定不变的三角形，故只能另用它法.

我们首先画出六边形ABCDEF然后画出A′B′，使得A′B′=AB，然后以B′为圆心BC为半径画圆，在圆上找一点为对应的点C′，以A′、C′分别为圆心，AD、CD为半径确定点D′，进而确定点E′、F′，显然当点C′绕圆运动时，点F′的运动轨迹是变圆，用几何画板验证了这一点（如图9）.所以点A′F′长度一旦确定，则点F′也就确定，因而六边形就是稳定的图形了.

推论2：对于四边形只需增添一条对角线即可稳定.对于五边形，只需增添两条对角线即可稳定.对于六边形增添3条对角线，还需考虑放置的方法才能稳定.相应的对于n边形，至少需要（n-3）条对角线方可稳定，最简洁的放置方法是从一个顶点出发引出（n-3）条对角线即可.