探索和思考二次根式性质的归纳及运用

应红星

二次根式在我国初中数学科目中是一个非常重要的知识点，充分了解二次根式的性质对于学习二次根式的知识有很大的意义。特别是在初中数学科目中，还需要有效地根据二次根式的一些性质对其他题目进行解答。下面根据以下这些题目对二次根式的性质以及运用方法进行总结。

我们先对二次根式的概念进行回顾。在教材上对二次根式是这样进行定义的：（a≥0）这样的式子被称作二次根式。二次根式具有以下几种性质：乘除、开方以及平方的计算。开方用公式表现为：=a=a（a≥0）

-a（a<0）、平方的表现公式为：（）2=a（a≥0）乘法的表现公式为：=·（a≥0，b≥0）、除法的表现公式为：=（a≥0，b≥0）。这四种公式看起来十分的简单与平常，但是如果将其进行变形与转换就可以从不同的角度去考查学生对他们的掌握能力。

一、举例，这是经常会出现的一个知识点：（a≥0）中a的范围

这个知识点在二次根式当中属于比较基础的一种概念，但是却又十分的重要。这个知识点无论是在平常的测验还是期中期末的考试中都会很容易出现，这就意味着其包含的范围十分的广泛。在对二次根式进行解答的时候只要中间被开方的数不是一个具体的数字，我们都需要对其范围进行考虑，并且要牢牢记住中间被开方数a是一个非负数。

例题1.已知（a+1）2与2a+b-5互为相反数，求a2+b2的值。

这道题我们进行分析，这种题目是一种非常经典的题目，我们对题目中所包含的两个公式进行观察就可以发现，（a+1）2的值是一个非负数，同样也是一个非负数，也就是说这两个公式相加起来的总和也是0。当两个非负数是相反数并且相加起来的总和也是0的情况下只有一个结果可以解释，就是说这两个式子的值也都是分别为0。将这道题解释到这个步骤，结果已经显而易见了。

解：由题可知，（a+1）2+=0

因为（a+1）2≥0，≥0

所以就得出a+1=0

2a+b-5=0，

从而得到a=-1

b=7，

把得出的这个结果带入到最后的式子中去就得出，a2+b2=（-1）2+72=50

二、当这种情况出现后，就需要牢牢记住a≥0

当出现在题目中的时候，就预示着是有存在的意义和价值的。我们就可以根据这一点得出a≥0，并且我们还可以根据这一个隐含的条件来对题目进行有效的解析。

例题2.对+（）2进行分析。

对其进行分析：这种类型的题目就是对二次根式中（a≥0）性质的掌握，其中特别是对=a=a（a≥0）

-a（a<0）的运用进行考查。这个性质与去绝对值都是一样的原理。在对这个式子进行化简的时候特别要注意化简后的值为非负数，并且如果a是两个数字的差的话，就一定要对两个数字的大小关系进行考虑。

解：对原来的式子进行转化，原式=3a-1+（1-4a），因为题目中存在着，就得出一个隐形的条件1-4a≥0，也就是说a≤，3a≤<1，这样就得出一个结论，在去掉绝对值之后，3a-1+（1-4a）=1-3a+1-4a=-7a+2。

三、要对-a进行正确的理解，对进行牢固的掌握，并且a≤0

但是大部分的学生因为受到了传统的影响，很容易认为把带有“-”的数字当做为负数来进行运算，就比如说单看这是一个错误的式子，但是我们可以给它加上一个条件就是a≤0，当这个条件出现后，这就会变成一个正确的式子，也就是说它是存在的。

例题3.将式子（a-b）中的根号外的因式转移到根号之内，并对其式子进行简化。

分析：像对于这种因式的转移（从根号外转移到根号内）最主要的就是注意其式子要保证大小不变，特别是式子中的符号不变，在对因式进行转移的时候要先对式子的符号进行深度的分析，就比如说是上述的题目，我们就可以先从式子中a与b的大小以及a-b的符号这两方面进行入手。

解：因为在题目中-在根号当中，我们就可以判断到

->0，也就是说a-b<0，b>a。

将其带入原式当中，也就是原式=-（b-a）=

-=-。

四、当这种情况出现的时候，那么就意味着a=0

在对二次根式的基本性质进行熟悉与掌握后就会发现二次根式的性质运用是十分灵活的，就比如说是这样的式子存在时，a=0，这个结论就是通过（a≥0）这个式子引导出来的。学生在对二次根式进行平常的学习的时候根本不需要进行死记硬背，只需要将二次根式中最基本的公式性质记下来就可以了，最为重要的就是要根据这些基本的公式性质来进行正确的推到与分析，做到举一反三，灵活运用。

综上所述，对于二次根式的运用是十分灵活的。老师在对二次根式的用法进行教授的时候，千万不要让学生死记硬背，这样在很大的程度上会造成学生的混乱。要让学生活学活用，并且熟练地对每一个性质进行掌握，做到举一反三。

参考文献：

张继海.注意二次根式的合理化运算[J].数学教学通讯，1992（04）：9-10.

·编辑 王团兰