例谈基本不等式解题的技巧

王莉敏

基本不等式不仅是高中数学课程的重要内容，而且也是近几年高考的热点内容;同时，基本不等式作为一种解题的重要工具，与其他数学知识易于交汇，所以，它越来越受各种高中数学考试命题者的青睐;但在应用基本不等式解决问题时，常常需要配合一定的变形与转化技巧，既有难度又较为灵活.就以上问题，笔者在平时的教学与解题中总结与归纳了几条技巧，以飨读者.

一、配凑

例1.函数y=x（a-2x）（x>0，a为大于2x的常数）的最大值为   .

解：∵a>2x， ∴a-2x>0. f（x）min=4

则y=x（a-2x）=（2x）·（a-2x）≤（）2=，

当且仅当2x=a-2x，即x=时等号成立，∴ymax=.

例2.（2011年重庆卷·文）若函数f（x）=x+（x>2）在x=a处取最小值，则a=（  ）

A.1+  B.1+  C.3  D.4

解：∵x>2，∴x-2>0则f（x）=（x-2）++2≥+2=3

当且仅当x-2=，即x=3时等号成立，此时f（x）min=4，a=3，故选择C.

二、“1”的代换

例3.（2015年福建卷·文）若直线+=1（a>0，b>0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（  ）

A.2   B.3   C.4   D.5

解：由已知，得+=1，则a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，

当且仅当a=b=2时取等号，∴（a+b）min=4，故选C.

例4.函数f（x）=+（0<x<）的最小值为

解：∵0<x<，∴1-2x>0，且2x+（1-2x）=1，则f（x）=+=[2x+（1-2x）]（+）=13++≥13+2=25

当且仅当=，即x=时，f（x）min=25.

三、分离常数

例5.函数y=（x>-1）的最小值为

解：y===（x+1）++5

∵x>-1，∴x+1>0，∴（x+1）++5≥2+5=9，当且仅当（x+1）=，即x=1时等号成立，∴x=1时，ymin=9.

四、换元

例6.设a、b、c>0，求证：++≥.

证明：令a+b=x，a+c=y，b+c=z，解得a=，b=，c=则++=++

=（+++++-3）≥（2+2+

2-3）=（2+2+2-3）=

当且仅当x=y=z，即a=b=c时等号成立.

例7.（2009年希望杯数学邀请赛高一第二试卷第Ⅱ类第18题）若+=4，则2x+3y的取值范围是

解：令u=，ν=，则有2x+1≥0，u≥0，3y-2≥0，ν≥0，其中u+ν=4，u2+ν2=2x+3y-1，其中2x+3y-1≥0，

∵u2+ν2=（u+v）2-2uν=16-2uν≤16，且0≤2uν≤=8，

∴u2+ν2∈[8，16]，故2x+3y=u2+ν2+1∈[9，17].

五、串求

例8.（2010年四川卷·文）设a>b>0，则a2++的最小值是（  ）

A.1   B.2   C.3   D.4

解：∵a>b>0，令z=a2++

∴z=a2+=a2+≥a2+=a2+≥2=4

当且仅当a=2b=时等号成立，此时zmin=4，故选D.

六、平方

例9.已知sinxcosy=，则cosxsiny的取值范围为

解：∵sin2xcos2y=，∴cos2xsin2y=（1-sin2x）（1-cos2y）=（1-sin2x）（1-）=-（sin2x+）≤-2=

当且仅当sinx=±时，等号成立.∴cosxsiny∈[-，].

七、分类讨论

例10.（2013年天津卷·文）设a+b=2，b>0则+的最小值为   .

解：∵a+b=2，b>0 ∴b=2-a>0，得a<2，令t=+=+.

①当0<a<2时t=+=++≥+2=，

当且仅当=，即b=2a，a=∈（0，2）时，tmin=

②当a<0时，t=--=-+（-）+（-）≥-+2=

当且仅当-=-，即b=-2a，a=-2时，tmin=

综上，∵>，∴（+）min=.

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