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放缩法解数列与不等式综合题

2015-10-26贾广伟

高中生学习·高三版 2015年10期
关键词:横坐标综合题通项

贾广伟

放缩法证明不等式有法可依,但具体到题,又常常没有定法. 它综合性强,形式复杂,运算要求高,往往考查同学们思维的严密性、深刻性以及提取和处理信息的能力,较好地体现高考的甄别功能.本文列举几例放缩法证明数列不等式的方法,以期起到举一反三的作用.

例1  已知数列[an]满足[a1]=[12,]且[an+1=an-an2]([n∈N*]).

(1)证明:1[≤anan+1≤2(n∈N*)];

(2)设数列[an2]的前[n]项和为[Sn],

证明:[12(n+2)≤Snn≤12(n+1)(n∈N*)].

分析  (1)首先根据递推公式可得,[an≤12],再由递推公式变形可知,[anan+1=anan-an2=11-an∈[1,2]],从而得证.(2)由[1an+1-1an=anan+1]和[1≤anan+1≤2]得,[1≤1an+1-1an≤2,]由此可得[12(n+1)≤an+1≤1n+2(n∈N*),]从而得证.

解  (1)由题意得,[an+1-an=-an2≤0],即[an+1≤an],[an≤12].

由[an=(1-an-1)an-1]得,

[an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)][a1>0.]

由[0

(2)由题意得,[an2=an-an+1],

∴[Sn=a1-an+1]①.

由[1an+1-1an=anan+1]和[1≤anan+1≤2]得,

[1≤1an+1-1an≤2.]

∴[n≤1an+1-1a1≤2n].

因此[12(n+1)≤an+1≤1n+2(n∈N*)]②.

由①②得,[12(n+2)≤Snn≤12(n+1)].

点拨  本题主要考查了数列的递推公式、不等式的证明等知识点,属于较难题. 由于数列综合题常与不等式、函数的最值、归纳猜想、分类讨论等数学思想相结合,技巧性比较强,需要平时多训练与积累,在后续复习时应予以关注.

例2  设[n∈N?],[xn]是曲线[y=x2n+2+1]在点[(1,2)]处的切线与[x]轴交点的横坐标.

(1)求数列[xn]的通项公式;

(2)记[Tn=x12x32…x22n-1],证明[Tn≥14n].

分析  (1)对题中所给曲线的解析式进行求导,得出曲线[y=x2n+2+1]在点[(1,2)]处的切线斜率为[2n+2]. 从而写出切线方程为[y-2=(2n+2)(x-1)].令[y=0,]解得切线与[x]轴交点的横坐标[xn=1-1n+1=nn+1].(2)要证[Tn≥14n],需考虑通项[x22n-1],通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.

解  (1)[y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,]曲线[y=x2n+2+1]在点[(1,2)]处的切线斜率为[2n+2].

从而切线方程为[y-2=(2n+2)(x-1)].

令[y=0,]解得切线与[x]轴交点的横坐标[xn=1-1n+1=nn+1].

(2)由题设和(1)中的计算结果知,

[Tn=x12x32…x22n-1=(12)2(34)2…(2n-12n)2].

当[n=1]时,[T1=14].

当[n≥2]时,

[x22n-1=(2n-12n)2=(2n-1)2(2n)2>(2n-1)2-1(2n)2=n-1n,]

所以[Tn>(12)2×12×23×…×n-1n=14n].

综上可得,对任意的[n∈N?],均有[Tn≥14n].

点拨  对于数列问题中求和类(或求积类)不等式证明,如果是通过放缩的方法进行证明的,一般有两种类型:一种是能够直接求和(或求积),再放缩;一种是不能直接求和(或求积),需要放缩后才能求和(或求积),求和(或求积)后再进行放缩. 在后一种类型中,一定要注意放缩的尺度和从哪一项开始放缩.

例3  在数列[an]中,[a1=3,an+1an+λan+1+μan2=][0n∈N*].

(1)若[λ=0,μ=-2,]求数列[an]的通项公式;

(2)若[λ=1k0k0∈N*,k0≥2,μ=-1,]

证明:[2+13k0+1

分析  (1)由于[λ=0,μ=-2],因此把已知等式具体化得,[an+1an=2an2],显然由于[a1=3],则[an≠0](否则会得出[a1=0]),从而[an+1=2an],所以[an]是等比数列,由其通项公式可得结论.(2)本小题是数列与不等式的综合性问题,数列的递推关系式[an+1an+1k0an+1-an2=0,]经过缩放后可变形为[an+1=][an-1k0+1k0?1k0an+1.]

解  (1)由[λ=0,μ=-2],有[an+1an=2an2(n∈N*),]

若存在某个[n0∈N*],使得[an0=0],则由上述递推公式易得[an0+1=0],重复上述过程可得[a1=0],此与[a1=3]矛盾,所以对任意[n∈N*],[an≠0].

从而[an+1=2an(n∈N*)],即[an]是一个公比[q=2]的等比数列.

故[an=a1qn-1=3?2n-1].

(2)由[λ=1k0,μ=-1,]数列的递推关系变为[an+1an+][1k0an+1-an2=0,]变形为[an+1(an+1k0)=an2][(n∈N*)].

由上式及[a1=3,]归纳可得,

[3=a1>a2>…>an>][an+1>…>0].

因为[an+1=a2nan+1k0=a2n-1k20+1k20an+1k0]

[=an-1k0+1k0?1k0an+1,]

所以对[n=1,2,…,k0]求和得,

[ak0+1=a1+a2-a1+…+ak0+1-ak0]

[=a1-k0?1k0+1k0?1k0a1+1+1k0a2+1+…+1k0ak0+1]

[>2+1k0?13k0+1+13k0+1+…+13k0+1]

[=2+13k0+1.]

另一方面,由上已证的不等式知[a1>a2>…>ak0][>ak0+1>2]得,

[ak0+1=a1-k0?1k0+1k0?1k0a1+1+1k0a2+1+…+1k0ak0+1]

[<2+1k0?12k0+1+12k0+1+…+12k0+1=2+12k0+1.]

综上,[2+13k0+1

点拨  数列是考查同学们创新意识与实践精神的最好素材.从近几年的高考试题来看,一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数(包括三角函数)、不等式以及导数等的综合性试题不断涌现,这部分试题往往以压轴题的形式出现.数列的问题难度大,往往表现在与递推数列有关. 递推不仅有数列前后项的递推,更有关联数列的递推,更甚的是数列间的“复制”式递推. 从递推形式上看,既有常规的线性递推,又有分式、三角、分段、积(幂)等形式.在考查通性通法的同时,突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题和解决问题的能力.

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