平方数的奥秘

过家福

一、回顾

《新高考》2014.6～2014.8月的高二数学杂志上，刊登了谈祥柏先生的科普文章《参透玄机，使奇异变为平凡》，主要是讲一组数字具有的神奇规律，简单叙述如下，

从956到958，共有13个三位数，这些数在各自平方之后，全都变成六位数，如果把它们分别截成前、后两部分，再相加起来，其和竟然又是一连串的平方数，请看下列结果：

谈先生戏称其为三位数中的“十三太保”，甚至他自己也在两位数中寻找到了具有类似规律的“五虎大将”，

谈先生深入浅出，利用“对偶”的新颖概念，并突破了十进位制的限制，从而将这一规律拓展到了整个自然数系，而我，也是从记数制的角度，思有所悟，特记下心得。

二、十进制

若自然数a，b满足上述规律，即由a平方后拆分再相加，可得到b的平方，难点就在于对a进行拆分，即谈先生所说的“完全平方数的范式表示”上，我们不妨来分析一下：

已知a+b—10ⁿ-1（两位数就是99—10²-1，三位数则是999=10²-1，以此类推），我们先一起来回顾这一规律的发现过