分行剪纸

常文武

分形听起来高深莫测，其实只当它是一种自相似的玩意就好了，如图所示就是谢尔宾斯基三角形和谢尔宾斯基地毯的立体效果图。

看过分形图后，想到要通过剪纸方法剪出分形，你一定会觉得难，

然而令人不可思议的是，通过此文介绍的方法，你不但可以剪出漂亮的分形图，而且分形图还是立体效果的呢！

那我们就开始吧！取A4纸一张，剪刀一把。

步骤：

1.把A4纸的短边对齐短边折成双层，

2.在纸面上通过折纸找到水平和垂直的两条中轴线。

问题1：什么是分形？

李辰缘：分形图形一般是极不规则、分布不均，但在各种放大和缩小的尺寸上都有着近乎相似的形状。

冯烨：分形的单词是数学家曼德尔布·罗特根据拉丁文对其加以改造的，其含义是不规则的、琐碎的，我国就把它翻译成“分形”。

王伟业：通过查阅资料，我了解到分形几何是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学，其研究的领域以及应用面无比广阔——它被广泛用于设计雕塑、绘画、服装、家居等各行各业。

问题2：你看过哪些有关分形的书，可以介绍给大家吗？

王伟业：《英国的海岸线有多长》给我留下深刻的印象，它是由20世纪70年代的著名数学家曼德尔布·罗特所写，其主要内容是探讨英国海岸线的长度，具有一定的思想深度，另外，张济忠的《分形》也不错，颇受广大读者喜爱，你若有兴趣，闲暇时也可翻阅一下。

3.用剪刀在折痕中点垂直于折痕剪开，刀口到中心处停下来，

4.把左下角的纸沉折到里面去，为此需再折两道痕同时改变上一道折痕的方向，效果图如下，

（注：沉折，折纸术语，就是将所指的部位，压入纸张内部，）

至此，我们来分析一下，剪开前的一道折痕现在成了4道短折痕：3道是山线，1道是谷线，

（注：山线就是凸起的折痕，谷线就是凹下的折痕。）

前面提到了自相似，现在看到的3道山线，每道都可当它是第一次剪开所碰到的那道折痕，因为它们的右边都有一个长方形也是竖直摆放的，只不过小了一号了。

明白了这一点，我们就可以继续下去了，如果你的剪刀够锋利，就可以两次搞定，如图，

问题3：你找到了哪些令你惊叹的分形图形，愿意拿出来与大家分享吗？

王迎新：西兰花便是一种分形图形。小编：看看还有什么？分形树叶、分形树。

问题4：说说你对分形的了解与体会。

王伟业：每一张分形图都是关神赋予我们最好的礼物，随着计算机技术的不断进步，越来越多唯关的分形作品被创造，但分形中最经典的，自然要数谢尔宾斯基的三角形了，它具有严格的自相似特点，相传在一个世纪前，在数学领域，人们惊奇地发现谢尔宾斯基三角形的面积居然为O！这令当时的数学家们百思不得其解，掌握了一定分形知识的你知道这是怎么回事吗？

问题5：谈谈你对于折纸、剪纸艺术与数学的看法，

吴蓝琨：折纸、剪纸都算是一种技艺，然而这种技艺与数学是分不开的。

接下来该怎么办你一定知道了，把刀口下方的3条山线沉折到里面，效果如下图，

毋庸赘述，上面的过程理论上显然是可以无限发展下去的，但实际上只能重复做有限次，下图展示了再通过两次细化后打开得到的效果。给它起个名字叫狮身人面像，像吗？

刘芳宁：有时一些数学问题，也能通过折纸、剪纸这种形象的方法来展现，

蒋卓珺：折纸、剪纸艺术很难离开数学规律，数学给人带来关和艺术。

王伟业：数学是灵魂、剪纸是肉体，正是由于数学与剪纸艺术那灵与肉的完美结合，使得数学由枯燥抽象的理论转变为主动、有趣、具体的视觉效果，化繁杂为简单，化抽象为具体，可以说剪纸搭起了数学与艺术的桥梁！

问题6：你还有什么想告诉小伙伴们的吗？

赵晟皓：记得以前看过一组图片，讲的是雪花的分形，众所周知，雪花是一个正六边形的轮廓，在六个角上会有类似树杈状的分支，其与整片雪花的形状是大致相同的，而在这分叉的分叉上也会有一个类似原雪花的形状，其也是一个分形图，分形这门学科十分强大，被推广到了许多领域，甚至是社科领域，乃至玄学，我认为其本身也有一定的哲学意味，象征着在某些地方局部事物与整体具有统一性，将剪纸与数学结合在一起，具有启发性。

王伟业：从无知到有知，从无形到有形，从曼德尔布·罗特刚提出分形概念到今天我们讨论谢尔宾斯基三角形，无不体现了我们人类的探索精神，这种不畏艰难、勇求上进的探索精神，不正是我们每个人都需要的吗？

陈子豪：多动手，多动脑，常思考所遇到新知识，尝试新方法，探索未知领域。

老师点评

分形几何源于20世纪70年代，发展时间虽短暂却速度迅猛，成为人人乐于研究的一门数学分支，在于其奇趣、美妙，引人入胜，分形是一个数学构造，且可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴，把玩分形，欣赏分形，感悟数学，源于生活，表现生活，丰富生活。

——江苏省徐州市第一中学 张培强

谢尔宾斯基三角形是波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，它是分形图形的典型例子，同学们认识它可能还是学习了等比数列之后，通常我们作谢尔宾斯基三角形的方法是：先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，用剪刀来剪出谢尔宾斯基三角形，更是博人眼球，同学们赶快拿起剪刀来试一试吧！要剪出文中的狮身人面像，除了按照文章中步骤剪，还要再加工，聪明的你能发现吗？

——江苏省江阴要塞中学 李红