基于MATLAB的弗兰克-赫兹实验数据处理

张 容

（成都师范学院，四川成都 611130）

基于MATLAB的弗兰克-赫兹实验数据处理

张 容

（成都师范学院，四川成都 611130）

精确地找出峰值和谷值点，是减小弗兰克-赫兹实验误差的关键。通过用待定系数法求出各峰值和谷值点附近的曲线方程，再对曲线方程求导，得出极值点，从而确定峰值和谷值点。同时，利用高效的MATLAB工程计算语言处理计算过程中的数据，使复杂的数学运算变简单。

数据处理；MATLAB；曲线方程

作为主要的近代物理实验之一的弗兰克-赫兹实验，目前，各大高校均于开设，由于需要处理的数据较多，手工绘图误差较大，同样的实验数据用不同的处理方法，其结果大相径庭［1］。之前，对其数据的处理有很多论文进行了研究，方法多样，笔者在近年来的教学实践中，在总结各种方法的基础上，引入目前理论研究和工程应用领域应用较广泛的科学计算语言—MATLAB软件，结合高等数学知识，不但容易精确地处理了数据，而且加深了对MATLAB软件开发原理的理解。下面就MATLAB软件强大的数值计算功能中的解线性方程组和求多项式的根，应用在弗兰克-赫兹实验数据处理中。

1　实验简介

如图1所示，在真空管（即弗兰克—赫兹管）内充以汞蒸气，点燃的灯丝H为阴极K加热，在阴极K和栅极G之间加一加速电压UGK，由热阴极K发射的电子，在UGK形成的加速电场作用下加速向上运动。在阳极A与栅极G间加有反向拒斥电压UAG，形成反向拒斥电场。当电子通过KG空间时，如果能量E＞eUAG，就能克服拒斥电场的作用而到达阳极极板A形成阳极电流IA；如果一些电子在KG空间与汞原子发生非完全弹性碰撞，把自己一部分能量给了汞原子，使汞原子被激发，就有可能使电子在通过栅极后所剩余的能量E＜eUAG，而不足以克服反向拒斥电场的作用，

图1　弗兰-克赫兹实验原理图

到达A板形成电流，这时阳极电流IA显著减少。如图2所示，随着栅极电压UGK增加，IA出现一系列的峰值和谷值，这就验证了原子能级的存在，

图2　IA-UGK关系曲线

从而证明波尔理论的正确。相邻峰值（谷值）之间的电压间距称之为汞原子的第一激发电位U0，这是实验需要测量的，一般采用手动和X—Y记录仪自动绘制IA-UGK关系曲线，再根据曲线找出各峰值（谷值）的坐标值，再用逐差法求出汞原子的第一激发电位U0。然而，手动要绘制IAUGK关系曲线，需要至少测出50组的数据，绘出的曲线不平滑，很难找出峰值和谷值点；X—Y记录仪自动在坐标纸上绘制IA-UGK关系曲线，虽然平滑，但在极值点上，曲率较小，也不能较精确找出峰值和谷值点［2］。

2　数据处理方法

如何精确地找出峰值和谷值点是减小误差的关键。用待定系数法在IA-UGK关系曲线各峰值和谷值点邻域内求出其近似的曲线方程，再对曲线方程求导，找出驻点，根据驻点判断出极值点，就可较精确找出峰值和谷值点了。

由高等数学知识可知，任意初等函数均可以展开成幂级数的形式，即:

根据误差的要求，可以近似取前n项，即:

如在需求曲线方程的点附近有n组已知数据（x0，y0），（x1，y1），…（xn，yn），将其代入（1）式，得线性方程组:

利用MATLAB解线性方程组，得出待定系数a0，a1，…an，再代入（1）式，得出在各峰值（谷值）邻域内的曲线方程:

对（2）式求导:

令（3）式等于0，利用MATLAB求出多项式方程的根，根中一定有一峰值（谷值）点，重复上述步骤，分别得出6至8各峰值（谷值）点，通过逐差法求出汞原子的第一激发电位U0。解线性方程组和求高次多项式方程的根借助于MATLAB，只需几条语句问题就得以解决。

3　实验数据测量和处理

打开充汞FH2031型弗兰克-赫兹实验仪，预热30 min，将灯丝电压调到2.8 V，UAG调到1.5 V，炉温设在180℃。先从0～50 V调节加速电压UGK，观测极板电流IA的变化，记下IA出现峰值和谷值时UGK的大概位置，再在此位置附近每隔0.5 V测量出IA值。下面仅以UGK在15～35 V 内IA出现的a、b、c、d四个点（见图2）峰值为例，说明数据处理的方法，数据记录如下:

表1　数据表格物理量/单位

将a点附近的数据代入（1）式（用UGK代替x，IA代替y），得到如下一个四元一次方程组。

将上述方程用矩阵形式表示为:

利用MATLAB求解矩阵I，程序代码如下:A

得到的输出结果为:

即a0、a1、a2、a3的值分别是-707.5971、87. 8098、-3.7323、0.0431，得出a点附近的曲线方程:

对上式求导得:f（x）′=87.8098-7.4646x+ 0.1293x2

令上式等于0，得多项式方程:

利用MATLAB求根，程序代码如下:

得到的输出结果为:

41.4752（不在a点邻域内，舍去）

即在a点的峰值电压为Ua=16.3899 V，和直接读数的峰值16.0 V比较，相差了2.44%。同理，可计算出b、c、d点的峰值电压:

采用逐差法求出汞原子的第一激发电位:

与汞原子的第一激发电位公认值4.9 V计算出相对误差:

4　结束语

用直接读出峰值（谷值）的电压来计算汞原子的第一激发电位，由于配套仪器的电压表精度较低，加速电压间隔最少为0.5V，电流表在各极值点不易稳定下来，很难确定各峰值（谷值）点。用此法能较精确地找出各峰值（谷值）点，减小实验误差。同时，让学生进一步掌握已学过的MATLAB这种计算工具和高等数学的级数知识。达到了事半功倍的教学效果。如果需要实验误差更小，可以在峰值（谷值）点附近多测几组数据进行处理。

［1］ 安习，高松松.如何选择弗兰克-赫兹实验的工作参数［J］.大学物理实验，2014（6）:42-46.

［2］ 王斌科，付振堂.大学物理实验［M］.西安:西北大学出版社，2009:279-284.

［3］ 薛定宇，陈阳泉.高等应用数学的MATLAB求解［M］.清华大学出版社，2004:159-160.

［4］ 高会生，刘童娜，李聪聪.MATLAB实用教程［M］.2 版.北京:电子工业出版社，2010:255-289.

The Application of MATLAB in the Franck-Hertz Experiment

ZHANG Rong
（Chengdu Normal University，Sichuan Chengdu 611130）

The pinpoint peak point is the key to reduce the Frank-Hertz experimental error.By using the undetermined coefficient method to calculate the peak curve equation near the point，and then on the curve equation derivation，reached maximum points，so as to determine the peak and valley points.At the same time，the calculation of language processing in the process of calculation data using efficient MATLAB project，make a complex mathematical operation becomes simple.

data processing；MATLAB；curve equation

O4-39

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.02.028

1007-2934（2015）02-0100-03

2014-10-20