迂回位相型计算全息图和修正离轴参考光计算全息图的对比讨论

尹杰茜，黄水平

（宁波大学，浙江宁波 315211）

迂回位相型计算全息图和修正离轴参考光计算全息图的对比讨论

尹杰茜，黄水平

（宁波大学，浙江宁波 315211）

使用Matlab语言得到了迂回位相全息图和博奇型全息图，由傅里叶逆变换得到再现像。阐述了两种计算全息图各自的特点，对再现像的质量、数量、大小、程序运行速度作出对比讨论。迂回位相计算全息图有便于记录、方便传递的特点。利用博奇编码得到的修正离轴参考光计算全息图有高质量的再现像，而且计算速度也比较快，对于复杂的二维图像，可以考虑利用这种编码方法进行计算全息。

计算全息；迂回位相；博奇编码；Matlab

全息技术作为一种新的成像技术近年来得到迅速的发展，计算机制全息图不需要实物的存在，同时还能通过计算机实现像的再现［1-2］。计算全息图主要包括迂回位相型计算全息图和修正离轴参考光计算全息图，这两类全息图由不同的编码方式得到［3］。前者直接编码光波的复振幅，用透明孔的大小和位置分别记录振幅和相位，透过率非0即1；后者通过计算机加偏置分量使复振幅变为非复函数，用灰度标志透过率大小。通过对比这两种方法，可以看出它们各自的特点和优势，还可以进一步优化精简程序，提高程序运行速度和再现像的质量。

1　两种编码方式的相关原理

1.1迂回位相型编码

编码的目的是为了记录相应复振幅的全部信息［4-5］，计算全息图的编码过程可以通过下面的式子来描述:

全息函数h（x，y）是输入的复值函数f（x，y）通过相应的编码C得到的。对复值函数的编码方法一般有两种:（1）用两个非负的实值函数来表示，比如对函数的振幅和相位分别进行编码；（2）仿照传统光学全息图的方法对需要记录的复值函数加离轴参考波使之变为实值非复函数，目的是为了避免对相位编码。

迂回位相全息图直接对物光波进行编码，利用不规则光栅的衍射原理记录物光波的振幅和相位。

当一束光垂直入射到栅距不变的光栅时，光栅的相邻两条狭缝的第K级衍射方向光程差:

它的位相是相等的。但如果某处的栅距变为（d+Δ），光程差变为:

当一束光非垂直入射时，也可以得到相似的结论。

假设一束光以入射角α0照射到不规则光栅上，同时假设第M级衍射角为αM，当光栅间距为d时，相邻光栅的光程差为:

栅距有一错位量Δ时，即变为d+Δ，在此处的衍射光波光程差为:

附加相移为:

罗曼将其称为迂回位相，利用这种思想，可以用编码单元中的透明孔洞的大小记录振幅、中心位置记录相位。

假设抽样单元中，矩形孔的高度和位置分别为lmn、pmn，迂回位相全息图由一系列位置不同的矩形孔组成，每个抽样单元的透过率为:

δu，δv代表抽样单元的长与宽。

则整个全息图的透过率函数可以表示为:

经过逆傅里叶变换后有:

可以选择变参数lmn，pmn和常数W，x0，使得像面上的复数波前h（x，y）等于所需要的物波。

迂回位相编码透过率非0即1，在记录时也没有用参考光波或加偏置分量，这是与博奇编码的不同之处。

1.2博奇编码

博奇编码的计算全息图是模仿光学离轴全息图的方法，用加参考光波和直流偏置分量的方式使要记录的复函数变成实的非负函数［6］，用灰度标志透过率大小。光学离轴全息图的透过率函数为物波复振幅加上参考光波复振幅之和的平方:

展开后的透射率函数:

注:物波复振幅f（x，y）=A（x，y）exp（jφ（x，y）），参考光波复振幅R（x，y）=Rexp（j2παx）。

从全息照相理论出发，可以得到光学离轴全息图的空间频域分布；由抽样性定理，可以得到对（11）式h（x，y）抽样间距的大小在x和y方向上分别需要满足:

Bx、By分别是函数h（x，y）在二维方向上的最高频率。

但是（11）式中，第三项包含了振幅和位相的全部信息，前两项为偏置分量，其中第二项即自相关项的存在增加了带宽，从而导致了抽样点数的增加（这是由抽样性定理决定的）。其实，第二项在由再现波得到再现像时是不需要的，可以用一个常数来代替前两项（通过加直流偏置来实现）。那么，得到的新的全息函数为:

这样，抽样间距的条件就可以放宽为:

这样做的好处:减少了自相关项从而可以减少抽样数目。也有利于减小编码单元的大小，再现像时可以减少重现象，得到大而清晰的再现像。同时，由（15）式可知，得到的再现像的噪声分量只是中间的平面波的分量，可以降低背景噪声的存在。

2　两种方法的计算机模拟与对比讨论

2.1迂回位相型全息图

读入的图像是jpg格式的128∗128像素的图像，用imread语句读入的图像有相应的灰度，要用语句A=n（:，:，1）＜=200将其转换为非0即1的矩阵然后再对其进行处理。抽样的数目为128∗128，也就是一个像素为一个抽样点；然后对矩阵进行傅立叶变换fft2（）和移频fftshift（）操作，并对其取模abs（）和相位angle（）；用迂回位相的编码方法对振幅和相位进行编码，编码单元的大小取28，不能取的太小，否则最后得不到正确的在现象，对“宁波大学”四个汉字进行全息，迂回位相编码的结果如图1所示；得到迂回位相编码的结果后，对其进行逆傅立叶变换ifft2（）和频谱移动fftshift（）就可以得到正确的再现像，得到再现像时移频的目的是将低频成分移到中心，防止再现像分散在四周，在制作全息图时如果不移频，得到的全息图会有所差异但不会对再现像造成影响（对于博奇编码时的移频道理也是一样），再现像如图2所示。

图1　迂回位相编码方法对“宁波大学”计算全息的编码结果（部分）

图2　迂回位相编码方法对“宁波大学”计算全息的再现像（部分）

2.2修正离轴参考光全息图

由博奇编码得到修正离轴参考光全息图，读入的图像是jpg格式512∗512像素的图片，设置的抽样矩阵的大小为1024∗1024，这里相当于只用了一个矩阵的四分之一，这样做的目的是为了防止在现象时出现重叠；为了提高精度和在现象的质量，可以乘以一个随机相位因子A.∗exp（j ∗2∗pi∗rand（N，N））；编码的时候，编码单元可以取得小一些，目的是得到大而少的再现像（下面一组图像中编码单元取值为1），用博奇编码的编码方法对“宁波大学”四个汉字进行全息得到的编码结果如图3所示；通过逆傅立叶变换和频谱移动可以再现光场得到再现象，见图4，这里注意需要乘以一个常数（本文程序中取1000）以提高再现像的亮度，否则是看不到再现像的。

图3　博奇编码方法对“宁波大学”计算全息的编码结果

图4　博奇编码方法对“宁波大学”计算全息的再现像

3　相关分析及两种计算全息图的对比

3.1有关编码单元和再现像的个数

从实验编程中可以看出，对于两种编码方式，编码单元的大小与再现像的个数成正比。当博奇编码中编码单元大小取2的时候可以得到代八个再现像。为了得到一个大且清晰的再现像，所以往往并不需要那么多的像。更何况，编码单元大，像越多，像的尺寸越小，这并不是我们所希望的。

对于迂回位相编码，编码单元不能取的太小，否则会导致抽样数目少而违背抽样性定理。对于复杂（像素高）的图片，编码单元的大小会取的很大。对于迂回位相计算全息，64∗64的图像一般取编码单元大小为10左右，此时成像较为清晰；而128∗128像素图片，编码单元为10就得不到正确的再现像了。128∗128像素的编码单元取28时，再现像的个数约有100个，每个像也是很小的。迂回位相编码的抽样点数与编码单元的大小会相互制约，对两者进行合适的选择很重要，这会影响到再现像的质量。而对于博奇编码，编码单元取1时，得到的像依然是清晰而不失真的。

迂回位相法得到的像的成像质量也没有博奇编码得到的再现像的质量高，被全息图片的质量（像素）是一个因素，再者就是博奇编码所带来的的背景噪声比较少，“全息图再现时的噪声分量只是中间平面波的分量”［3］。

图5和图6分别是博奇编码编码单元取2时“宁波大学”再现像（全部像）和迂回位相编码编码单元取13时“宁”再现像（部分像），从这里可以看出，博奇编码得到的全息图再现像的质量高。

图5　博奇编码得到的再现像

图6　迂回位相编码得到的再现像

3.2有关程序运行效率

全息同一张像素为128∗128的图片，迂回位相法的程序需要的时间为2.042 s；博奇编码的程序需要的时间为0.450 s。同时，博奇编码中用常数代替自相关项，将频率域中的自相关成分去掉了，从而可以使抽样的数目减少为原先的25%［7］，这也有利于提高程序的速度。

博奇编码程序处理的速度比较快，可以用这种编码方式对一些比较复杂的图案全息。对一副512∗512像素的宁波大学校徽的图片，博奇编码从读如图片到得到再现像的总时间为3.197 s，得到再现像的质量也是比较高的，再现像的结果如图7所示。

图7　用博奇编码方法对图片计算全息得到的再现像

4　结 论

从两种全息图的相关原理出发，用两种方法制作了计算全息图，在进行逆傅立叶变换后，两种全息图都可以得到正确的再现像，并且两种方法各具特点。通过博奇编码，我们得到了高质量的再现像，但并不代表迂回位相计算全息图处处不及修正离轴参考光计算全息图。迂回位相编码透射率非0即1这使全息图在复制或是传递中不易失真，在制成底片的时候对介质的要求也不会太高，本文是数字再现像没有涉及到底片的介质问题。同时也可以对迂回位相编码进行一定的改进，以达到减少重像、提高像的质量的目的［8-10］。博奇编码通过加修正离轴参考光，去掉频域自相关成分，降低了全息图的带宽要求，程序运行的速度和数字再现像的质量是令人满意的。可以考虑利用这种编码方法，并通过进一步优化程序，得到更高质量的再现像。

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A Comparative Discussion of Calculation Hologram with Detour Phase and Modified Off-axis Reference Beam

YIN Jie-xi，HUANG Shui-ping
（Ningbo University，Zhejiang Ningbo 315211）

It got the detour phase hologram and Boqi hologram using the Matlab language，and got reconstructed image by Fourier transformation.The characteristics of two computing holograms were elaborated，and the quality，quantity，size，program running speed of the reconstructed image were made a comparison. Computing hologram with Detour phase is easy to record and convenient delivery.Boqi coding are used to get the modified off-axis reference beam as computing hologram has a high quality reconstructed image，and computing speed is faster.The complex two-dimensional images which can consider using this encoding method to calculate the holographic.

computer generated hologram（CGH）；detour phase；Boqi coding；Matlab

O4-39

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.02.003

1007-2934（2015）02-0006-05

2014-11-02

浙江省高校实验室工作研究项目（Y201310）