函数凹凸性的等价定义及其证明

张海芳

（滇西科技师范学院 数理系，云南 临沧 677000）

函数凹凸性的等价定义及其证明

张海芳

（滇西科技师范学院 数理系，云南 临沧 677000）

教科书中，凹凸函数的定义大都从几何意义引出，一般描述为：凸（凹）曲线弧段上任意两点联结而成的弦，总位于曲线弧段的下（上）方；或者，当曲线各点处存在切线时，凸（凹）曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下（上）方。前者往往作为定义使用，后者却没有讨论。然而后者是凸（凹）函数的充分必要条件，也可以作为定义使用。所以由后者可引出一个新的定义，并且这些定义是等价的，从而进一步加深和拓宽了对连续函数凹凸性的认识和理解。

凹凸性；凹凸函数；等价性

函数的凹凸性是如何定义的？不同的教材中有不同的阐述。在二维空间即平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条曲线是凸还是凹的，当然它也对应一个解析表达式。但是，在多维情况下图形是画不出来的，这样就没有办法从直观上理解“凹”和“凸”的含义了，只能通过表达式来理解。

凹凸函数是一类重要的函数，有着较好的分析性质，值得予以讨论。而关于凹凸函数专业类教材一般给出了以下经典定义［1］：

定义1 设y = f （x）为区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和∈（0， 1）总有f （ λx1+ （ 1 - λ ） x2）≥λ f （x1） + （1 - λ） f （x1），则称f （x）为区间I上的凸函数。反之如果成立着f （ λx1+ （ 1 - λ ） x2）≤λ f （x1） + （1 - λ） f（x1），则称f （x）为区间I上的凹函数。如果将上述不等式改为严格不等式，即f （ λx1+ （ 1 - λ ） x2） ＞ λ f （x1） + （1 -λ） f （x1），f （ λx1+ （ 1 - λ ） x2） ＜ λ f （x1） + （1 - λ） f （x1），则相应的称y = f （x）为严格凸函数和严格凹函数。如无特别说明，该文后面所讨论的凹凸皆指严格凹凸。

该定义的几何意义［1］：表明在点x = λx1+ （ 1 - λ ） x2处，曲线段y = f （x）所对应的函数值f （ λx1+ （ 1 - λ ） x2）总比在连接该曲线段两端点的直线段上的函数值λ f （x1） + （1 - λ） f （x1） 大（小）。因此，凸函数意味着函数图像向上凸。所以很多教材也把凸函数描述为：曲线弧段上任意两点连接而成的弦总是位于曲线弧段的下方。

1　函数凹凸性的等价定义

由以上几何意义引出的连续函数凹凸性的定义除了定义1以外还有以下两种定义：

定义2［2］若函数y = f （x）在区间I上可导，对区间I上任意的两点x1，x2在（x1， x2）内，（1）若f （x） ＞ f即曲线总在连接两点的弦的上方，则函数y = f （x）在区间I上是凸的；（2）若f （x） ＜ f （x1） +（x-x1）即曲线总在连接（x1， f （x1）和（x2， f （x2）两点的弦的下方，则函数y = f （x）在区间I上是凹的。

定义3［2］设函数y = f （x）在区间I上可导，对区间I上任意的x1，x2恒有

除此，以下将引出第四个新的定义，并证明这几个定义是相互等价的。

定义4 若函数y = f （x）在区间I上可导，对区间I上任意点x0均有：

（1）f （x） ＜ f （x0） + f '（x0） （x - x0） ，即曲线总在它每一点切线的下方，则此函数在区间I上是凸的；

（2）f （x） ＞ f （x0） + f '（x0） （x - x0） ，即曲线总在它每一点切线的上方，则此函数在区间I上是凹的。

2　定义等价性的证明

描述函数凹凸性的等价性定义当然不仅局限于此，不同的教辅有很多不同的呈现形式。由此等价性的证明也呈现出各种各样不同的方法。下面是按该文所定义的要求进行的证明：

由定义2推出定义3。

由定义3推出定义4。

令n→∞，有 f '（x0） =

所以f （x） ＜ f （x0） + f '（x0） （x - x0）。同理可证明定义3（2）定义4（2）。

最后由定义4推出定义2。

（ⅱ）假设有x0∈ （x1， x2）使（x0， f （x0）在两点（x1， f （x1），（x2， f （x2）构成的弦上，而没有弦下方的点。即有则该弦的方程也可为y = f （x0） + k （x - x0）其中f （x2）= f （x0） + k （x2- x0），f （x1） = f （x0） + k （x1- x0）。又由定义4（1）必有f '（x0） （x2- x1） + f （x0） ＞ f （x2） 且有f '（x0） （x1- x2） + f （x0） ＞ f （x1） ，所以f '（x0）（x2- x0） + f （x0） ＞ f （x0） + k （x2- x0）且有f '（x0）（x1- x0） + f （x0） ＞ f （x0） + k （x1- x0）进而有f '（x0） ＞ k，这与f '（x0） ＞ k存在矛盾，故假设不成立。同理可证定义4（2）定义2（2）。

3　举例说明

例1 函数f （x） = x2在R上是凹的。

用定义1很容易就能验证出该函数在R上是凹的［7］，从图形上看也满足曲线总在连接（x1， f （x1））和（x2， f （x2）两点的弦的下方。下面用定义2说明之：

事实上任取x1， x ， x2∈R ，不妨设x1＜ x ＜ x2。显然x + x1＜ x2+ x1，进而也即满足所以由定义2函数f （x） = x2在R上是凹的。

例2 函数f （x） = |x| 在R上是凹的。

该函数用定义1很容易就能说明是凹的，图像也是凹的。现用定义3说明之：事实上任取x1，x2∈R，有由定义3知函数f （x） = |x| 在R上是凹的。

事实上，任取x，x0∈（0， + ∞），不妨设x0＜ x，于是

纵观以上定义，从定义的条件性来说，定义4的条件要求f （x） 在I上可导，条件要求是最高的，定义3的条件要求可以弱化到“函数f （x） 在I中连续”，而定义2的条件要求最弱，可以仅要求f （x） 在I内有定义。从几何意义来看，定义4的集合意义最直观、最容易理解，可以说它就是从几何意义来定义的，定义3的几何意义也比较直观，较好理解，而定义2的几何意义不是很明显。所以用定义说明函数凹凸性时，可根据函数自身的条件、特性或已给条件结合定义要求的条件，选取最合适、最有效的定义来证明。

［1］ 华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京:高等教育出版社，2004：173.

［2］ 同济大学应用数学系.高等数学［M］.北京:高等教育出版社，2007：152-153.

［3］ 刘玉琏.数学分析讲义［M］.北京:高等教育出版社，2003：200.The Equivalent Defi nitions of Convex/Concave Function and Its Proof

ZHANG Haifang
（School of Mathematics and physics， Dianxi Science and Technology Normal University，Lincang Yunnan 677000， China）

In the textbook the definition of convex/concave function is mostly from the geometric meaning. Generally can be described as the chord of any two points on the convex/concave curve located in the lower/upper side of the curve or when there is a tangent at each point of the curve， all the convex/concave curve is located at the bottom/top of the tangent of the points on the curve. The former is often used as a defi nition， but the latter is not discussed. However， the latter is the necessary and suffi cient condition of convex/concave function， which can also be used as a defi nition. So the latter can lead to new defi nitions and these defi nitions are equivalent， which further extend the cognition and understanding of convexity/concavity of continuous functions.

convexity/concavity quality； convex/concave function； equivalence

O174

A

1674 - 9200（2015）06 - 0063 - 04

（责任编辑 刘常福）

2015 - 04 - 09

云南省教育厅科研基金项目“不确定复杂动态网络的自适应控制”（2012Z150C）。

张海芳，滇西科技师范学院数理系讲师，硕士。