雷达跟踪中的卡尔曼滤波算法

李剑

【摘要】本文介绍了卡尔曼滤波器算法的实现过程，并就雷达跟踪中卡尔曼滤波的实现过程做了比较详细的推算。此外，本文还阐述了卡尔曼算法的局限性，并指出了卡尔曼滤波技术研究的方向。

【关键词】卡尔曼滤波算法；雷达跟踪；局限性；方向

【Abstract】The algorithm of Kalman-filtering is widely used in such areas as aeromechanics， communication engineering and industrial control. This paper introduces the principle of the algorithm of Kalman-filtering and defines in details the application of the algorithm of Kalman-filtering in the radar tracking. Besides， this paper also points out the limitations of the algorithm of Kalman-filtering， and the research direction in the near future.

【Key words】Kalman-filtering； radar tracking， limitations， research direction

1 綜述

卡尔曼滤波是一种最优估计技术。工程中，为了了解工程对象（滤波中称为系统）的各个物理量（滤波中称为状态）的确切数值，或为了达到对工程对象进行控制的目的，必须利用测量手段对系统的各个状态进行测量。但是，量测值可能仅是系统的部分状态或是部分状态的线性组合，且量测值中有随机误差（常称为量测噪声）。最优估计就是针对上述问题的一种解决方法。它能将仅与部分状态有关的测量进行处理，得出从某种统计意义上讲误差最小的更多状态的估值。误差最小的标准常称为估计准则，根据不同的的估计准则和估计计算方法，有各种不同的最优估计，卡尔曼滤波是一种递推线性最小方差估计。

2 卡尔曼滤波算法

2.1卡尔曼滤波器的标准形式

随机信号s（n）的模型方程为

（2.1）

它的测量模型为

（2.2）

式中，w（n）是信号模型中的白噪声激励，v（n）是信号传输或测量中引入的白噪声， a和c是模值小于1的常数。以下用 代替 ，表示用n时刻及以前所有数据即{x（i）；i≤n}对s（n）所作的最佳线性估计；用 代替 ，表示用n-1时刻及以前所有数据即{x（i）； i≤n-1}对s（n-1）所作的最佳线性估计。从因果IIR维纳滤波器的传输函数可写出滤波器的差分方程[1]

（2.3）

即为卡尔曼滤波器的标准形式。卡尔曼滤波器实际只不过是维纳滤波的一种递推计算方法。以下介绍用于雷达跟踪观测的矢量卡尔曼滤波器。

2.2 矢量卡尔曼滤波器（矢量状态-矢量观测）

在实际应用中，常需根据观测数据同时估计若干个信号，例如q个信号s1，s2...，sq；

或者估计一个高阶自回归过程，例如一个q阶自回归过程，

（2.4）

设要同时估计相互独立的q个一阶自回归信号，它们在n时刻的取样分别为s1，s2，...，sq.每个信号的状态方程是

（2.5）

各wi（n）是零均值白噪声序列，它们之间可以是相关的。若将q个信号si（n）构成一个q维矢量s（n）=[s1（n）s2（n）...sq（n）]T 则信号状态方程可简化成一个矢量方程

（2.6）

w（n）是由wi（n）构成的q维矢量，A是由系数ai构成的q阶对角矩阵。

设在n时刻同时测得k个数据x1（n），x2（n），...，xk（n），它们与si（n）的关系为

（2.7）

式中，k≤q，vi（n）是测量噪声.定义数据矢量和噪声矢量分别为

和 （2.8）

则k个测量方程可化简成一个矢量方程

（2.9）

系数矩阵C是一个k*q矩阵。

根据标量卡尔曼滤波器递推公式可以导出矢量卡尔曼滤波器的相应公式：

（2.10）

3 用于雷达跟踪的卡尔曼滤波器

3.1 雷达跟踪中的卡尔曼预测器

在跟踪系统中[2]，接收脉冲相对于发射脉冲的时间延迟是我们做出飞机径向距离的依据，而天线的射束在检测瞬间的位置是我们做出飞机方位估计的依据。短程警戒雷达的天线每分钟转动15次，远程雷达的天线每分钟约转动6次，对这两种雷达，每4秒或每10秒做一次方位及距离的估计，以T表示这个位置更新的时间间隔。

设在时刻n目标与雷达间的距离为 ，径向速度为 ，方位角为 ，方位角速度为 。经历T秒后到达时刻n+1，目标的上述参数相应为 ， ， 和 ，这里 是平均距离， 和 表示偏离平均距离的大小。若T不是太大，则有近似关系

（3.1）

径向速度和径向角速度的变化通常是由于突然的阵风或飞机引擎拉力的瞬时不规则变化引起的。设径向加速度和方位角加速度分别为 和 ， 于是经历T秒时间后，目标径向速度和方位角速度的改变量分别为

（3.2）

通常可假设它们是零均值白噪声过程，间隔时间为T的两个量不相关；且 与 也互不相关，即

（3.3）

设它们各自的方差是已知的， 分别为 和 。引入状态变量： ， ， ， ，于是上列四个方程可写成

（3.4）

将这四个方程写成矢量矩阵形式

（3.5）

其中， ， .

雷达天线辐射的无线电波束照射目标时，其指向确定了目标的方位角，雷达接收的目标回波脉冲相对于发射脉冲的时延正比于目标的距离。设雷达天线每T秒旋转一周，并对目标距离和方位角进行一次测量，测量噪声分别用 和 表示，测量结果分别用 和 表示，得到测量方程

（3.6）

测量噪声 和 假设是零均值高斯白噪声，其方差分别为 和 .这样，测量方程写成矢量矩阵形式

（3.7）

其中 ， .

同时可分别求出 各自的自相关矩阵Q（n）和R（n）：

（3.8）

上面提到过， 分别是 和 的方差，在设计卡尔曼滤波器时必须指定这两个方差值。为了简单起见，假定径向加速度 和方位角加速度 的概率密度函数在±M 范围内都是均匀的，且 ，根据均匀分布的公式[3]： 解出 的方差是 ，可以近似的认为 ，可以得到 ， 。

3.2 增益矩阵中的初始值确定

为了使卡尔曼滤波器开始工作，必须给增益矩阵G（n）赋初值[2]。为此，必须以某种方式确定均方误差 的初始值。特定的初始化步骤是利用两组传感器对距离和方位的测量结果，这里，取n=1和n=2两个时刻测量距离和方位角，得到四个数据 ，并据此四个数据作下列估计

（3.9）

由（3.6）式得

（3.10）

（3.11）

由式（3.4）得

（3.12）

根据以上给出的一系列公式，可得：

（3.13）

从而有

（3.14）

已知均方误差 ，将上式带入计算即可确定均方误差 的初始值为

（3.15）

用Matlab语言进行仿真，设 =160km，雷达天线旋转周期T=15s，目标最大加速度M=2.1 m/s2，雷达测距误差均方根值等于1km，因此， 103 m。此外，设雷达测量方位角误差的均方根值为 或0.017 rad。由 和 即可确定矩阵R（n）。

结束语：

在实用上，卡尔曼滤波用途广。已在航天技术、通信工程、工业控制等领域中得到比较广泛的应用。卡尔曼滤波的局限性表现在只能用于线性的信号过程，即状态方程和观测方程都是线性的随机系统，而且噪声必须服从高斯分布。虽然不少实际问题都可满足这些限制条件，但当实际系统的非线性特性稍强或者噪声特性偏离高斯分布较大时，卡尔曼濾波就不能给出符合实际的结果。如何在不完全的先验信息下来达到好的滤波效果，是滤波技术研究的方向。

参考文献：

[1] 苏林尚， 朝 轩. 基于卡尔曼滤波器的雷达跟踪[J]. 微计算机信息， 2006年， 第22卷

第9-1期.

[2] 潘祖善， 何绍雄等. 滤波技术[M]. 上海： 上海交通大学出版社， 1997： 118-121.

[3] 许承德， 王 勇. 概率论与数理统计[M]. 北京： 科学出版社， 2001： 105-109.