统一重心基准的变形监测网点稳定性分析

朱根正

【摘 要】探讨了重心基准条件的应用范围，对常规附加重心基准条件的本质做了深入分析，进而总结出在一定条件下，常规重心基准条件在多期秩亏网平差时基准不一致的问题。

【关键词】统一重心基准 秩亏网 拟稳平差

1 概述

随着精度要求的不断提高，要求平差理论更加精确、严密，实用上更合理的数据处理方法得到了越来越广泛的应用，而且这种趋势仍将长期保持下去。监测分析方法与模型的变化有时难免会产生一些问题，其中两期或多期监测网平差重心基准条件不一致问题在诸多文献中未曾考虑，其原因是一般情况下认为各期监测网点位移量是随机、无固定方向的，其数值服从统计上的正态分布，这种条件也限制了其应用范围，本文就是围绕这一问题展开分析的。

2 常规变形监测平差的基本原理

一般情况下做监测网平差计算时，由于测量误差的存在，使各期网点的相对位置产生误差，这部分位移事实上不存在，称之为“伪位移”。若不考虑系统误差，这些点的“位移”应具有偶然误差的特性，其和接近于零，此时相对稳定点的重心与真实重心一致。

在两期或者多期监测网平差时，考虑了每期之间重心基准不完全相同，即每期平差结果相当于在不同参考系统下平差计算得出的，此时求得的两期基准点位移量是在两个不同参考系统下的坐标差值，严格来说此时所求的位移量是无意义的，因此，有必要根据不同周期观测资料，进行监测网稳定性分析，判断网中点的稳定性，为变形分析建立一个切实合理的参考系，从而求取最真实的两期监测网点位移量。

在变形监测网中，如果有足够多的稳定点在平差时做起算数据，以这些数据为基准，相当于在平差计算时确定了参考系统，进而可以确定其它监测网点的坐标。

设误差方程为：

（2.1）

此时在函数模型中， 必为列满秩阵，即 ，其中 为必要起算数据个数。

按最小二乘原理解此误差方程，其解为：

（2.2）

设 ，当监测网有足够起算数据时 列满秩，存在逆矩阵，所以上式为常见的经典满秩自由网平差，存在唯一解[2]。

3 统一重心基准的变形监测网点平差分析

常规的两期或者多期重心基准条件监测网平差，一般情况下我们对各期进行平差计算时，各期所采用的重心基准不统一，此时求出的点位移未包含两期之间重心的微小偏移量，在满足精度要求的前提下，这一微小变化近似忽略不计。以两期平差重心基准为例：

设第一期平差基准方程为：

（3.1）

第二期平差基准方程为：

（3.2）

两期不同基准方程分别平差后得到：

， （3.3）

其中 为平差未知数的个数。所以按常规方法利用重心基准平差法求解时已假定前提条件：两期或者多期监测网之间进行秩亏网平差前后重心未发生改变。事实上除第一期外，后期的重心与第一期相比一般会发生一定程度的偏移，在精度要求较高或重心基准位置相对观测精度变化较大的情况下，再分别利用本期的各个基准点做重心基准自由网平差，其平差值与第一期平差值之差会缺失重心基准位移这一偏差，此时所求两期位移量是在两个不同坐标系统下求得的位移，严格来说是没有意义的。

基于上节分析，各期之间的重心难免会发生改变，为解决两期监测网平差时重心基准不一致的问题，采用第一期重心基准条件为原始基准，保持第一期自由网平差的误差方程及基准条件不变，仍旧采用重心基准条件的监测网平差方法进行计算；后期自由网平差时的误差方程保持与原误差方程相同，但基准不再采用该期的基准，而是以第一期的基准替换该期的基准条件，此时各期基准条件一致。在这种平差思路下保证了在各期网形与原网形一致的同时，又统一了各期参考系统，计算出的两期或者多期平差值就是在同一基准下（同一参考系统）的高程或坐标改正值，此时进行两期或多期位移量的计算才是反映实际两期之间的坐标改变量。

假设各期监测点概略坐标值相同，按间接平差方法列出该函数模型误差方程及重心基准方程为：

（3.4）

其中各参数和系数意义同上。

第二期平差误差方程及基准条件方程为：

（3.5）

其中 （假设两期网型相同）。

设两期的监测点真实位移量为 ，但是真值一般情况下是很难得到，因此不防以两期常规重心基准条件的秩亏网平差值函数表示，设：

（3.6）

选定第一期重心基准条件为标准，代替第二期的重心基准条件。为区别于（3.5）式中未考虑统一重心基准条件的 ，以 代替 ，

则（3.5）式变为：

（3.7）

根据最小二乘法所得法方程知，式（3.7）的法方程及基准方程为：

（3.8）

其中 ，且R（ ）= 。

（3.8）式法方程的系数 秩亏，且秩亏数R（ ）= ，所以其法方程不存在凯利逆矩阵，即不存在唯一解。为使（3.8）两式的系数具有相同的行列数，且使方程系数 列满秩，用 两边同时左乘第二式，并与第一式相加得到：

由于 满秩，所以其存在凯利逆矩阵，存在唯一解：

（3.9）

上式即为第二期基准方程统一后的未知数平差解。

监测网无论是经典自由网平差、秩亏网平差还是采用拟稳平差，虽然最小二乘估计不同，但所求的残差 是唯一不变的[3]，所以 值的选取对该期网形是没有任何影响的，亦即一个 和普通秩亏网平差时的重心基准条件作用一样，只起到网形固定的作用。又单位权中误差仅与误差方程改正数带权平方和及自由度有关，因此常规两期单位权中误差与考虑基准统一后的结果相比前后不变。

4 改进方法平差结果的分析

根据矩阵反演公式[4]：

我们可以得到：

（4.1）

（4.2）

将（4.2）式代入（4.1）得：

（4.3）

将 （4.3）式代入（3.9）式可得：

将（3.6）式代入上式可知

（4.4）

此式即为考虑两期重心基准不一致时所求得的平差值。

对于 的协因数阵，我们不能根据上式求出，因为在求得的上式中用到了近似计算 ，事实上我们假设 为已知的常数阵，只是这个常数阵一般情况下我们很难精确求知，所以用两期平差值的差值近似代替。又因统一重心基准条件后对误差方程改正数没有任何影响，所以 的值用要用常规重心基准条件的秩亏网平差值代替，而不是用改进方法求得的 代入。两期之间的基准点位移量为：

（4.5）

为考虑两期重心基准条件不一致时的位移，与未考虑两期重心基准条件不一致时相比增加了 这一改正项。

事实上其值非常的小，以至在精度要求相对不高的情况下可以乎略。这也说明一般基准网的重心位移量是很小的，以至在满足精度要求的前提下可以忽略这一位移量，这也就是常规重心基准的秩亏网平差方法。但是，当在某些对精度要求比较高的条件下，这一改正项是不可忽略的，它对精度的提高及变形监测的准确性起到关键作用。

可见在考虑实际情况下，本文所探讨的采用统一重心基准的变形监测网稳定性分析理论，在精度要求较高的情况下是适用的，主要应用在多期变形监测条件下，其本质是对采用重心基准条件的秩亏网平差一种改进。

參考文献：

[1]黄声享，尹晖，蒋征.变形监测数据处理[M].武汉：武汉大学出版社，2003.

[2]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2006.

[3]陶本藻.自由网平差[J]，武汉测绘科技大学出版社，1999（3）：（42-45）.

[4]陶本藻.测量数据处理的统计理论和方法[M].北京：测绘出版社，2007.