遵循师生本心 顺应习得规律

【摘 要】 “尚德课堂”的核心理念是“遵循本心，顺乎自然”，即顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特路径去设计数学课堂。基于这样的理念和要求，笔者在设计《勾股定理的应用》这节课时，力求遵循“本心”自主探究，渐渐达成勾股定理知识与经验的巩固与深化。教学设计从学生的认知规律出发，由简单到复杂，层层深入，较好的实现了在“尚德课堂”中要深化、升华的教学目标。

【关  键  词】 遵循“本心”;顺应规律;尚德理念;

【作者简介】 陈洁，江苏省苏州市相城實验中学，中学一级，研究方向：尚德数学教学与数学运用理论。

中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1671-0568（2015） 07-0070-04

《数学课程标准》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的过程，从而使学生在理解数学的同时在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展。” 江苏省苏州市相城实验中学（简称我校，下文同）“尚德课堂”的核心理念是“遵循本心，顺乎自然”，即顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特路径去设计数学课堂。基于这样的理念和要求，笔者在设计《勾股定理的应用》这节课时，力求遵循“本心”自主探究，渐渐达成勾股定理知识与经验的巩固与深化。教学设计从学生的认知规律出发，由简单到复杂，层层深入，较好地实现了在“尚德课堂”中要深化、升华的教学目标。

一、顺应师生“本心”，首先是顺应学情基础

“勾股定理”是我国古代数学上的一项伟大数学规律的发现。相传是由商代的商高发现，故又称为“商高定理”。三国时期，蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中，对勾股定理作出了详细的注释。可以说，“勾股定理”解决了直角三角形三边间的数量关系，是重要的几何定理，也是学生后续学习几何的重要基础。课程标准对“勾股定理”内容的教学要求是：（1）能应用“勾股定理”解决一些简单的实际问题;（2）学会选择适当的数学模型解决实际问题。在教学“勾股定理的应用”之前，学生已经准确地理解了勾股定理，并能运用它们解决一些较为简单的数学问题。比如掌握了直角三角形中，已知任意两边可以求出第三边;利用勾股定理可以建立方程求未知边等一些基本运用方法。所以，教学时笔者就从基础知识巩固开始——

师：我们已经学习了勾股定理，知道了勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，请同学说一下。

生：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

但是，从发展的“本心”看，学生“勾股定理的应用”的眼界没得以拓宽;相关复杂条件下的探究能力还没有形成;分类讨论思想，特别是抽象思维训练还有待加强。因此，笔者着手建构“勾股定理的应用”的教学方案。

“尚德理念”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律。在建构时，本着顺应学生的发展“本心”出发，尽量让问题解决生活化、情境化，让学生由浅入深，渐进深入地学习勾股定理的复杂应用。为什么在数学问题解决过程中强调生活化、情境化？尚德课堂主张建设意味深长、意趣盎然的趣味课堂。课堂生活中有了深度兴趣，学生才能阳光乐观、踏实坚定，才能获得主动活泼的发展。在学生回顾了勾股定理的基本原理后，笔者先设计了“勾股定理的应用”的“一般应用”，以积累学生问题解决的经验。

师：有两棵树，一棵高10m，一棵高4m，相距8m，一小鸟要从一棵树梢A飞到另一棵树梢C，至少飞行多少米？这个问题可以转化为怎样的数学问题？

生：两点之间线段最短。

师：树可以看成线段，树和地面是垂直的，小鸟的飞行距离最短就转化成“两点之间线段最短”。现在的问题就转化为什么呢？怎么求AC？

生：过C作CD垂直于AB，构造直角三角形。

师：我们看升旗的问题。下垂时，绳子刚好接触地面，求旗杆高度的问题。把升旗的绳子拉开时什么是不变的？

生：绳子的长度不变。

师：如何转化成数学问题呢？

生：标上字母，顶点为A， 2米处为D，构造直角三角形。设旗杆高度为x米，则AD=（x-2）米。

师：很好。当我们求未知线段长度时可以设为实数x，然后利用勾股定理建立方程，解决问题。

师：第三个游泳问题， BC=200米， AC=520米，求河宽即AB的长。

生：可以构造直角三角形。（如图）

师：有没有同学可以在5秒以内得出答案。还要注意计算技巧。

生：520和200的比值是13比5，所以另一条是12，回过去就是480。

师：正好借此就会复习常用的勾股数

生：3，4，5;5，12，13，;6，8，10;7，24，25;9，40，41;8，15，17。

师：我们利用这些勾股数或者比值能够又快又准的算出边的长度。简单地小结一下刚刚几个简单的例子，如果没有直角三角形，我们就要构造直角三角形;如果数据不充分时，可以设未知数建立方程来解决问题。

第一题是为了让学生了解勾股定理的应用中常用的方法：构造直角三角形，同学们几乎都会回答，一开始的引导也比较到位，“树木和数学里的什么概念可以联系起来”，“最短距离就是数学中的什么概念？”等等，一下就把学生带到了数学几何的宫殿里，学生们很踊跃地回答这些问题。第二题意在继续深入理解掌握“构造直角三角形”，还有就是会用方程的思想来解决问题，学生们也能很顺利地利用并解决问题。这两项也正是我们学习勾股定理应用的教学主要目的。游泳问题，蕴含了很重要的计算技巧，在合理的引导下，学生掌握了用比值、勾股数的方法来求出未知边的长度。学生觉得非常新奇，而且印象深刻，从他们惊讶的表情和轻声的感叹中完全能感受到了！

顺应师生“本心”，首先是顺应学情基础。教学时，笔者从简单的两棵树间小鸟飞行的最短路程等问题开始，引导学生将单调的勾股定理原理，转化为生活中的实际问题，即贴近学生生活的旗杆高度、游泳等问题情境，使学生意识到数学问题来源于生活又应用于生活。完成了这三个例题以后，笔者对学生说：“如果没有直角三角形，我们就要构造直角三角形;如果数据不充分时，可以设未知数建立方程来解决问题。”这样，通过勾股定理的一般应用，学生渐渐明白利用勾股定理等数学知识可以解决生活中的实际问题，在巩固“常用的勾股数”的同时，学生越发对勾股定理运用和勾股定理文化产生自信与崇敬。

从“尚德理念”出发设计课堂教学环节，立足于学生的认知基础来选择身边的生活素材，让教学内容充满趣味性和吸引力。这样，更容易引导学生研究勾股定理的应用问题。

二、順应习得规律，有序开展应用探究

在尚德教育体系中，数学并不是形式严格、思想固化的知识体系。数学学习可以让人的思想得以自由飞扬，但前提是数学学习要顺应知识习得规律，在基于生活问题解决过程中，要有序地开展应用探究，这样，数学学习才是闪烁着自由思想的思维过程。

当学生有了勾股定理的一般应用的初步积累以后，笔者推出了下面这个内容——

师：我们看4题，壁虎要从B处爬台阶，到A处吃食物，这只壁虎请怎样做，才是聪明的呢？请你上黑板画出聪明壁虎的路线图。

生：（作图如下）。

笔者将这个台阶展开来，变成一个长方形。

师：这种思路很好。这就是数学上的转化思想。如何解决问题？

生：AB2=202+（9+6）2，AB=25。

师：转化是重要的数学处理问题的方式。我们来看第5个问题（如图），长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则图中在表面上A到B的最短距离为______。

师：吕云天，你想到了几种爬法？

生：2种。

（师：请上黑板画出来。

（吕云天上黑板画图）

师：还有可以补充的吗？

师：刘诗睿请上黑板进行补画。

（刘诗睿上黑板画图）

师：计算三种不同情况的不同结果，并分为三种情况进行比较。

①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，

∠ACB=90°，AC=3+4=7，BC=5，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=74

②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，

∠ACB=90°，AC=3，BC=5+4=9，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=90

③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，

∠ACB=90°，AC=5+3=8，BC=4，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=80

通过比较发现， A到B的最短距离是    74。

师：我们看第6题，细线绕长方体问题。你能提出问题解决的方案么？请同学上黑板画图并解决问题。

（郁思杰上黑板完成。       AA=8，AB=6）

师：邹正熙来解释一下同学这样画图的意思。

生：把四个面全部展开，标上长和宽，连起来构成直角三角形。根据两点之间线段最短，AB=    82  +62        =10 。

师：看第7题。一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处。

（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;

（2）当AB=4， BC=4， CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长。先看第一小题。

生：前右或者前上（学生作画，如下）

师：如果每个面都是正方形，它爬的路程怎样？

生：一样的。

师：但第2小题里说是长方体，情况怎样？

生：不一样。

师：利用勾股定理计算一下AC和AC， 利用勾股定 AC=89 ，AC=97，AC< AC，所以从前面的面爬到右面到C比较近。

为什么要这样设计？因为“尚德课堂”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特性去设计数学课堂。探究勾股定理应用时，例题难度只有层层深入，才能引导孩子们“跳一跳摘苹果”。 例7中蚂蚁爬靠墙柜子的问题中，在笔者的正确引导下，学生的思维进入正轨，没有胡乱思考，考虑得非常全面。这个例子在讨论环节出现了一些争论，大部分学生能想出2种情况，也有同学说是4种情况。笔者便把同学的典型思考及作画的情况用实物投影展示出来，因为有的同学所认为的不同，其实有可能是相同的情况，只是观察思考的角度不同而已。这样，我们讨论后，归纳出有3种不同情况。这样，更符合尚德课堂的“合乎本心”的理念。

这样设计是基于学生“本心”发展的态势的。在图形转化环节，从一开始的圆柱展开、壁虎爬台阶，然后细线绕长方体一圈，让学生自主探究如何将立体图形转化为平面图形，只是展开后的情形是不同的。而从例5开始，渐渐增加问题解决的难度，让学生意识到问题解决可能要分几种情况来思考。所以，例7在例6的基础上又增加了更多的思考角度，以达到逐渐深化课堂教学的目的。如果不遵循认知的本心，不符合学生认知深入的规律就很难实现从简到难，循序渐进，从而走进尚德课堂教学境界。这节课，在学生研究每个题目时，笔者只是起到穿针引线的作用，主要让学生自己思考研究，自己画图并解决问题。这样，每个学生都成为“尚德课堂”的参与者，他们自由讨论，自由交流，自主建构着开放式的勾股定理应用模型。

尚德课堂崇尚“遵行本心，顺乎自然”的理念。在教学时，笔者也预设了可能出现的问题，以让学生自己产生错误、自己发现、自己讨论、自己改正，这样会使课堂气氛宽容、民主、和谐，学生也是极其快乐。由于教师不加限制，学生的思维可以无限的展开，从而主动建构自己的运用模型，增强了学生运用勾股定理的自信心。

由于所教班级中女生较多，而大部分女生的抽象思维处于亟待激发与拓展时期。讨论第7题目时，其中有一个女生上来修改了3次，但笔者还是给予了肯定和鼓励。因为学生需要老师的肯定，这样他们才会越来越有自信！我们的核心理念“顺其自然，合乎本心”，这与数学课程的设计理念，教学方式真是不谋而合！学生在探究过程中，为什么会出现这种问题？如果在课前准备好一个长方体模型，在课堂上适时展开，这样学生会比较直观的看到长方体展开的情况，可能更符合学生的认知情况，也更符合尚德课堂的“合乎本心”的要求。

基于“尚德理念”的“勾股定理的应用”教学，既复习了勾股定理原理及常用的勾股数，又通过运用提高了学生解决现实问题的能力，这对于如何培养学生的解题速度和能力是非常有意义的。只要教师“遵循本心，顺乎自然”，加强正确引导，既不满堂灌，也不过于放手，学生的思维才能如一列火车一样在方向正确的轨道上行驶。

参考文献：

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[3] 綦春霞.数学问题的解决在中国的历史及其影响[J].课程·教材·教法，2007，（12）.

[4] 翁永兴.“尚德课堂”：学校教育综合改革的必然——关于苏州相城实验中学“尚德课堂”的理解和思考[J].新课程研究，2014，（11）.