最值到底在哪里

黎源

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》的第六节《何时获得最大利润》与课本配套《练习册》上有这样一道题：“某居民小区在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用总长为40m的栅栏围成，如图，求花园的最大面积。

学生解：设BC=x米，则AB= 米，设花园的面积为y平方米，∴y=x· =- x2+20x;

∵- <0，抛物线的开口向下，

∴函数有最大值，最大值为= =200。

答：最大面积为200m2。

这个解法中存在的问题的根源是学生机械套用二次函数的最大值公式，而忽视了二次函数自变量的取值范围和二次函数图像之间的关系。而自变量的取值范围和函数图像的关系又是学生学习函数中的一项重要内容，对于这个问题我设置了如下问题：

已知：y=（x-1）2-4，分别在下列条件下画出函数的图像并求出函数的最大、小值。

①一切实数;②3≤x≤4;③-2≤x≤0;④0≤x≤3;⑤-1≤x≤2。

解：由y=（x-1）2-4得出开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-4）。

①x是一切实数，函数图像是整支抛物线，∴x=1时y有最小值-4，无最大值。

②当3≤x≤4时图像如图2，此时y随x的增大而增大。∴当x=3时，y有最小值0;x=4時，y有最大值5。

③当-2≤x≤0时，图像如图3，此时y随x的增大而减小。∴当x=0时，y有最小值-3;x=-2时，y有最大值5。

④当0≤x≤3 时，图像如图4。∴当x=1时，y有最小值-4;x=3时，y有最大值0。

⑤当-1≤x≤2时，图像如图5。∴当x=1时，y有最小值-4;x=-1时，y有最小值0。

在解决这个问题时，利用辅助多媒体的几何画板和学生一起分析。接着又把函数解析式变成y=-（x-1）2-5，其它条件不变，和学生一起总结当自变量的范围在a≤x≤b之间时，如何求二次函数的最值方法。

最后和学生一起小结：

当开口向上时：

①对称轴在x的取值范围的左侧，y随x的增大而增大。

②对称轴在x的取值范围的右侧，y随x的增大而减小。

③对称轴在x取值范围上，最小值在顶点处，哪一个端点离对称轴远，哪一个端点的函数值就大。

当开口向下时：

①对称轴在x的取值范围的左侧，y随x的增大而减小。

②对称轴在x的取值范围的右侧，y随x的增大而增大。

③对称轴在x取值范围上最大值在顶点处，哪一个端点离对称轴远，哪一个端点的函数值就小（即对称轴在x的取值范围的中点的左侧，右侧端点处取最小值;对称轴在x的取值范围的中点的右侧，左侧端点处取最小值）。这样，不提闭区间，也不用字母表示各种情况，学生掌握起来难度就小很多，效果也很好。

课堂练习：

某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元。市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱;价格每提高1元，平均每天少销售3箱。

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？