成层地层中多阶瑞雷面波的频散特性

李堂磊

【摘要】本文建立具有代表性的三层地层模型，并通过数值计算得出不同地层参数下，瑞雷波各阶模态的相速度频散曲线，来讨论多阶模态瑞雷波在成层土中频散曲线的特征。

【关键字】瑞雷波、频散曲线

1概述

利用三层介质中瑞雷波的传播特性，根据横波速度的变化与各层在半空间条件下的瑞雷波速度的大小情况来分析研究，利用矩阵传递方法[2]可以得到沿介面传播的所有导波的频散方程的形式，并采用二分法进行数值求根即得到各阶模态的频散曲线，来分析横波速度随深度的增加而递增或递减、含软弱夹层、硬夹层等4种情况的瑞雷面波的频散特性。模型建立如下表：

2横波速度随地层深度增大而增大（减小）的三层地层

2.1 横波随地层深度增大而增大

模型1其频散曲线图存在多个导波模式，各导波模式曲线随频率的增加单调递减，各导波模式之间是互不相交的。基阶模态相速度的零频极限为只有最底层（即第三层）介质时的瑞雷波速度2743m/s，高频极限接近只有第一层介质时的瑞雷波速度1910 m/s。各高阶模式都存在截止频率， 截止频率处的相速度为最底层介质的横波速度3600 m/s， 频率趋于无穷大的时候各高阶模态频散曲线的相速度趋近第一层的横波波速2400 m/s。

当地层厚度变化时，相比在相同频率范围内，高阶模态的阶数减少，各个模态的间距变大，频散曲线的形态保持不变。同样当第一厚度变小时，其相速度曲线模态的个数也相应的减小。如图2、3所示三种不同厚度情况下，模型1的基阶和第二模态相速度曲线对比图。

图1模型1相速度频散曲线图 图2

图3 图4模型2相速度频散曲线图

厚度变化后，基阶模态相速度极限值和高频极限值都保持不变，在中低频范围内如图在0～300HZ左右，随着厚度的减小，相同频率下相速度增大；三者的第二模态的起始频率随厚度减小而增大，但起始相速度不变，都为第三层横波速，但起始的频率值变大，高频极限相速度保持不变。

2.2横波随地层深度增大而减小

通过计算发现模型2地层参数下，瑞雷波只存在一个导波模式。从图4中可以看出此导波的零频极限是第三层瑞雷波速度1380m/s，随着频率的增大，相速度也随着增大。但频率增大到约400HZ以后，相速度趋于稳定其值相当于第一层地层中的瑞雷波速度1522 m/s。

3 含有低速软弱层的三层地层

为了模拟实际地层中的软弱夹层结构，选取两个三层的固体介质模型3、4。

模型3参数下取其中部分模式频散曲线如图5所示。其基阶模式相速度的零频极限为只有底层（第三层）介质的瑞雷波速 （3116m / s），而高频极限为低速层（第二层）介质的横波速度 （1200m / s）。各频散曲线在一定频率之间的高阶导波模式都会出现一段水平段，并且产生了各模式曲线似乎出现了水平交叉现象，但实际上是互不相交。由此可见在类似该地层的模型中，当频率增大到一定值时即出现水平段的相速度时，瑞雷波能量主要集中在第一层介质中，这时瑞雷波速度就近似等于第一层介质的瑞雷波速度 。

图6所示模型4在低频30HZ附近内出现局部的极小值，而在中低频80HZ附近出现局部的极大值。模型下各阶相速度频散曲线未出现水平段，这是由于在模型4的情况下，当相速度达到第三层介质的横波速度 （1800 m/s）之后，就不再有相速度为实数的导波模式，由于在频散曲线的计算过程中只取实数解，因此不出现类似模型3的水平段。

图5模型3相速度频散曲线图 图6模型4相速度频散曲线图

4 含高速硬夹层的三层地层

对于中间层为高速层的地层，根据第一、三层的参数关系，建立模型5、6。

图7为模型5的多阶相速度频散曲线图，曲线的变化规律与横波速度随地层增大而增大的三层地层模型相类似。基阶的零频极限是第三层瑞雷波波速2723m/s，高频极限趋于第一层地层中的瑞雷波速度2269 m/s。各个高模式的起始相速度为3000m/s，高频极限相速度时2500m/s。

图7模型5相速度频散曲线图 图8三种厚度情况下模型6相速度频散曲线图

图8为模型6在厚度为h1=8m、h2=4m的频散曲线图，如图中曲线1所示，曲线2、3分别表示厚度变化后的频散曲线。通过三种厚度条件下相速度的计算得出，在该种模型参数下只存在单个导波模式。频散曲线在零频极限处的相速度趋近1910m/s，即第三层瑞雷波速度，高頻极限表层瑞雷波速度2269m/s，相速度曲线在100HZ附近还出现了一个局部极大值。当h2小时，相速度曲线幅值减小如曲线2所示；h1减小时，相速度曲线幅值增大其峰值位置向高频方向移动，当h1减小到一定程度即相速度的峰值增大到等与第三层横波速度后，将不在增大而是出现了曲线被截断的现象即泄漏模式，如曲线3所示。

5结论

通过对三层介质模型中瑞雷波频散曲线进行了数值计算以及频散曲线的分析表明，在地层中传播的瑞雷波随着地层参数的变化，会出现单个模态和多模态的频散曲线，并且当层与层之间的参数到达一定的关系时，频散曲线会出现泄漏模式。影响瑞雷波相速度曲线形态的因素有：各层厚度，横波、纵波、密度、各层在半空间状态下的瑞雷波速度等，其中横波波速的影响最大。

参考文献：

[1]扬学林等.考虑高阶模态时SASW法的反演.浙江大学学报（自然科学版），1996，（2）：.

[2]杨天春等.瑞利波泄漏模式与“之”字形正演模拟.煤炭学报，2005，30（2）.

[3]凡友华等.计算层状介质中轴对称柱面瑞利面波频散函数的δ矩阵法.物探与化探，1991，15 （4）.