《初等数学研究》课程教学的实践与探索

和玉梅　陈映明　赵建红　杨丽星

《初等数学研究》是丽江师专数学教育专业的一门重要的专业基础课程，通过本课程的学习，使学生学会用现代数学来考察传统的初等数学并对初等数学系统归纳深化、思想方法分类总结，对初等数学的一些主要专题进行深入研究；理解“中学数学”的理论基础；灵活运用数学思想方法；探讨与延伸一些初等数学问题，使学习者能“居高临下”，而且能形成较稳固的数学观念、掌握数学方法，提高自身解决问题的能力。更重要的是使学生掌握中小学数学教学所需的初等数学的基础理论、基本知识和基本技能；了解中小学数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步培训，为教好中小学数学打下较坚实的基础。多年来我从事《初等数学研究》课程的教学，通过不断的实践与探索，积累了一些经验，现与大家共享。

1 通过一题多解，培养学生的解题能力

一题多解是从不同的角度，不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用多种方法解答同一道数学题.教学中适当的一题多解，用不仅能更牢固地掌握和运用所学知识，而且，通过一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维.多做一些一题多解的练习题，对巩固知识，增强解题能力，提高学习成绩大有益处。

由（1）（2）知，命题成立。

2 渗透数学思想和方法

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。而基本的数学方法有：代人法、配方法、换元法、消元法、待定系数法、面积法、反证法、同一法、分析法、综合法、归纳法、演绎法、类比法、拆项法、割补法、面积法、截长补短法、特殊化、一般化、数学模型等。下面通过举例介绍几种数学思想方法

2.1 数形结合思想

所谓数形结合是指抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来，从而实现由抽象向具体转化的一种思维方式 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

2.2 转换思想

所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一为另一种研究对象的思维方式。转化思想是数学思想方法的核心，其它数学思想方法都是转化的手段或策略把新问题转化为原来研究过的问题，如有理数减法转化为加法，除法转化为乘法等（2）把复杂的问题转化为简单的问题，新问题用已有的方法等。

2.3 公理化思想

所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本公理）出发，利用纯逻辑推理法则，把一数学建立成为演绎系统的一种方法。

例如：学习研究数系的时候，通过皮亚诺自然数的公理化定义，体会公理化的思想方法，通过构建平面几何知识的完整体系，来了解欧几里得《几何原本》的公理化思想，进一步理会公理化思想方法在数学中的应用以及在人类科学中的应用。

所有数学思想方法的渗透不是一朝一夕的就能实现的而要贯穿整个教学过程中，因此我们做了下面的尝试：

（1）在知识的形成过程中渗透数学思想方法。数学知识的发生过程实际上也是数学思想方法的发生过程，任何一个概念，都经历着由感性到理性的抽象概括过程；任何一个规律，都经历着由特殊到一般的归纳过程，如果我们把这些认识过程返璞归真，在教师的引导下，让学生以探索者的姿态出现，去参与概念的形成和规律的揭示过程，学生获得的就不仅是数学概念、定理、法则，更重要的是发展了抽象概括的思维和归纳的思维，还可以养成良好的思维品质。因此，概念的形成过程、结论的推导过程、规律的被揭示过程都是渗透数学思想方法的极好机会和途径。

（2）在问题的解决过程中渗透数学思想方法。问题是数学的心脏，数学问题的解决过程，实质是命题的不断变换和数学思方法的反复运用过程。数学思想方法是数学问题的解决观念性成果，它存在于数学问题的解决之中，数学问题的步步转化，无不遵循数学思想方法指示的方向。因此，通过问题解决，以培养数学意识，构造数学模型，提供数学想象；伴以实际操作，可以诱发创造动机，可以把数学嵌入活的思维活动之，并不断在学数学、用数学的过程中，引导学生学习知识、掌握方法、形成思想，促进思维能力的发展。数学问题的解决过程是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，在数学问题的解决过程中渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到会一题而明一路，通一类的效果。

（3）在复习与小结中提炼、概括数学思想方法。小结与复习是数学教学的一个重要环节，揭示知识之间的内在联系以及归纳、提炼知识中蕴含的数学思想方法是小结与复习的功能之一。数学的小结与复习，不能仅停留在把已学的知识温记忆一遍的要求上，而要去努力思考新知识是怎样产生、展开和证明的，其实质是什么？怎样应用它等。小结与复习是对知识进行深化、精炼和概括的过程，它需要通过手和脑积极主动地开展活动才能达到。因此，在这个过程中，提供了发展和提高能力的极好机会，也是渗透数学思想方法的极好机会与途径。学生学完一个单元的内容，应该在整体上对该单元的内容有一个清晰、全面的认识。因此，在小结与复习时应该提炼、概括这一单元知识所涉及的数学思想方法；并从知识发展的过程来综观数学思想方法所起的作用，以新的更为全面的观点分析所学过的知识；从数学思想方法的角度进行提高与精练。由于同一内容可以体现不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常蕴含在许多不同的知识点里，因此在小结与复习时，还应该从纵横两方面整理出数学思想方法及其系统。

3 以点带面，构建初等数学研究的知识结构形成体系

一般来说，数学专业的学生中学数学知识掌握较好，教学中没有必要把中学数学知识从头到尾、面面俱到地讲解。关键是将相关知识梳理形成体系，相互融合。另一方面，时间也不允许。例如，在学习尺规作图的时候，先复习基本的尺规作图方法：然后边作图边复习作图时用到的几何知识，如两点确定一条直线，全等三角形的判断与性质，平行线截线段成比例定理、射影定理、角平分线定理、线段的垂直平分线定理，弦切角定理，比例线段、最后再来初等几何变换：平移变换、轴对称变换、旋转变换、位似变换及其作图。比如：画三角形的内切圆和旁切圆的时候，先让学生回忆角平分线的概念及其性质；作两线段的比例中项，先让学生回忆比例线段的概念，相似三角的判断与性质以及射影定理。这样教学，不仅掌握了作图方法、还将平面几何的知识梳理形成体系。

4 精心选择例题

例题要主题明确，集中反映所要传授的知识的核心部分。例题尽量要求方法上具有开放性，能够从多角度、用多种方法予以解决，能够举一反三，培养学生思维的开阔性和灵活性。例题要有一定的难度，可以选用数学竞赛题、高考题、中考题等。当然也不能太难让学生无从下手。例题尽量要求内容上具有综合性，能够汇聚多个知识点，沟通数学内部的联系。

总之，我校《初等数学研究》课程教学通过我们的努力取得了一些成绩比如有些毕业生教师上岗和特岗考试取得好的数学成绩，然而《初等数学研究》研究还在实践和探索中，已有的探索还有些不成熟，课程内容变动也比较大，也还形不成体系，但起步总是可贵的，相信通过我们的努力，认真学习和借鉴其他高师院校的先进经验深人中小学数学教学调查研究，并结合我校的具体情况和学生的实际水平，我们的教学会进展并取得实效。

【参考文献】

[1]张奠宙，沈文选.中学几何研究[M].高等教育出版社，2006.

[2]雷君，毕晓欣.三点一测丛书[M].科学出版社，龙门书局，1998.

[3]木振武，杨兰军.《标准》意义下的初等数学研究[M].云南人民出版社，2009.

[4]和玉梅.用面积法证线段间的关系[J].科技视界，2012（28）.

[5]和玉梅.数学分类思想及其应用[J].科技致富向导，2015（14）.

[责任编辑：汤静]