一类利用Catas算子定义的p叶解析函数类

阚兴莉

（湖北工业大学商贸学院，湖北 武汉 430079）

0 引言

设A(p,n)表示在单位圆盘U={z∈C:|z|＜1}内p叶解析且具有如下泰勒展开式

的函数族，并记A(1,1)=A,T(p,n)表示A(p,n)中由下式组成的函数集合：

Darwish等[1]介绍了A(p,n)中的函数类β-UST(α,β,p,n)：

和β-UCV(α,β,p,n)：

显然，f(z)∈β-UCV(α,β,p,n)当且仅当zf′(z)∈β-UST(α,β,p,n).对上述函数类中参数进行适当的赋值，可以得到以下函数类：

1）S(p,n,α)=β-UST(α,0,n,p),K(p,n,α)=β-UCV(α,0,p,n)由 Owa[2]引入并研究，S∗(p,α)=S(p,1,α),K∗(p,α)=K(p,1,α)分别称为α阶星象函数和α阶凸函数，由Patil和Thakare[3]引入并研究；

2）UST(α,β)=β-UST(α,β,1,1),UCV(α,β)=β-UCV(α,β,1,1)由 Bharathi等[4]引入并研究；UCV(0,β),UCV(0,1)分别由Goodman[5]和Kanas等[6]引入并研究.

对函数类A，Nishiwaki等[7]改变参数α和β的取值范围，引入了新的函数类MD(α,β)：

和ND(α,β)：

容易验证，f∈ND(α,β)当且仅当zf′∈MD(α,β).对于其他类型的函数类可参见文献［8-10].

设f∈A(p,n),η,λ,l≥0 ，Catas[11]定义了A(p,n)上的算子函数Ⅰp(η,λ,l)（称为Catas算子）为：

在Catas算子中对参数p,η,λ,l做适当的赋值，可以得到一些特殊形式的算子，具体参见文献［12-18].本文中利用Catas算子，定义一类新的函数类S(α,β,p,n,η,λ,l)：

这 里α≥p,β≤0. 容 易 验 证 ，MD(α,β)=S(α,β,1,1,η,0,l). 为 下 面 叙 述 方 便 ，记S0(α,β,p,n)=S(α,β,p,n,η,λ,l),TS0(α,β,p,n)=S0(α,β,p,n)⋂T(p,n).笔者利用一些不等式的技巧研究函数类TS0(α,β,p,n)的系数不等式、星象半径、凸半径、极值点，推广了一些已有的结论.

1 系数不等式

定理1.1若由（0.1）式定义的函数f(z)∈A(p,n)满足下面不等式

则f(z)∈S0(α,β,p,n).

定理1.1的证明为证明方便，假设

若则ReF(z)＜0 ，即f(z)∈S0(α,β,p,n).又因为

由于f(z)满足（1.1）式，将（1.1）式变形，得

即（1.2）式的最后的一个表达式有上界1，所以f(z)∈S0(α,β,p,n)，定理得证.

特别地，当p=1,n=1,λ=0时，有下面的推论成立.

推论1.2[7]若f(z)∈A,满足不等式

则f(z)∈MD(α,β).

推论1.3[7]若f(z)∈A,满足不等式

则f(z)∈ND(α,β).

推论1.4设f(z)∈TS0(α,β,p,n)，则

2 星象半径、凸半径

定理2.1设f(z)∈TS0(α,β,p,n),f(z)在|z|=r1上为δ(0≤δ＜p)阶星象函数，这里

定理2.1的证明由星象函数的定义，为了得到结论，只需

而

因此，如果

则（2.1）式成立.又由于f(z)∈TS0(α,β,p,n)，由推论1.4知

所以，只要不等式

成立即可，上述不等式变形即为

取

在|z|=r1上，f(z)为δ阶星象函数.

定理2.2 设f(z)∈TS0(α,β,p,n),f(z)在|z|=r2上为δ(0≤δ＜p)阶凸函数，这里

定理2.2的证明由凸函数的定义，为了得到结论，只需

而

因此，如果

则（2.2）式成立.又由于f(z)∈TS0(α,β,p,n)，由推论1.4，知

所以，只要不等式

成立即可，上述不等式变形即为

取

f(z)在|z|=r2上为δ(0≤δ＜p)阶凸函数.

3 极值点

定理3.1设则f(z)∈当且仅当

这里

定理3.1的证明先证明充分性.假设

将fp(z),fk+p(z)代入f(z)，得

利用定理1.1知，

所以f(z)∈TS0(α,β,p,n).

再证明必要性.令f(z)∈TS0(α,β,p,n)，因为

令

且

由于

结论得证.

推论3.2TS0(α,β,p,n)的极值点由下列函数

构成.

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