“导数”与“导函数”你们是几个意思？

何名慰

苏教版教材指出：在不引起混淆时，导函数f′（x）也简称为f（x）的导数；人教版也有类似的说法：本书中，如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数。

言外之意，“导函数”跟“导数”可能被混淆？“导数”、“导函数”，你们到底是几个意思？

欲知答案，且听我慢慢道来。

先请各位观赏一下我的一个小伙伴完成的一道练习题：

“已知函数f（x）=x³，则该函数图象在x=1处的切线方程为y=3x³-3x²+1。”

此解一出，全班的小伙伴们都惊呆了！这个方程表示的图形显然连直线都不是，太不合理了。

后来我才知道，他的真相是这样的：

“先求切点f（1）=1，所以切点为（1，1），再求导数f′（x）=3x²，由导数就是切线斜率和直线的点斜式得切线方程为y-1=3x²（x-1），化简得y=3x³-3x²+1”。

其实这就是混淆了导数与导函数的结果，当我们讲“导数就是切线斜率”这句话时，真实的含义是“函数f（x）在x-x₀处的导数就是该函数图象在点P（x₀，f（x₀））处的切线斜率”，而这里“导数”肯定是一个数值，不是函数，当然就不是“导函数”的简称了。

这么说来“导数”跟“导函数”确实不是一个意思，但它们也不是相互独立的两个意思。

实际上我们可以像“求某个数的平方”、“求某个数的倒数”一样把“求函数f（x）在某处的导数”也看成一种对应法则，在函数f（x）是可导函数的前提下，定义域中的每一个实数x都会对应唯一的切线斜率，即导数，这时“求函数f（x）在某处的导数”这个对应就是一个名副其实的函数了，也就是我们所讲的“导函数f′（x）”。

也许可以这样理解导数与导函数的关系，比如一个服装生产商的两个部门，一个负责给客户定制服装，另一个负责流水线生产不同型号、不同款式的服装，“函数f（x）在x=x。处的导数”就是定制；“导函数f′（x）”就是流水线生产。

但是从数学上讲，“定制”函数f（x）在x=x。处的导数与“流水线生产”函数f（x）的导函数f′（x）并没有什么质量上的差别，唯一的差别就是“定制”效率低，只能求一处的导数；“流水线”效率高，求出了导函数f′（x）更方便于求各处的导数，事实上，“函数f（x）在x=x。处的导数”就是导函数f′（x）的一个函数值f′（x）。

回到开始处，那名可爱的小伙伴犯错误的地方，显然切线的斜率应该为“k=f′（1）=3”，所以切线方程为“y-1=3（x-1）”，化简得“y=3x-2”。

其实，从导数概念发展的历史上来看，求曲线的切线问题和求即时速度的问题在公元17世纪广泛地被人们研究，研究者当中有许多的著名数学家、物理学家甚至天文学家，经过了几代人的努力，终于有了那么一两个人发现，这两种问题其实本质是相同的，并且运用函数、极限的思想给出了一般性的解决方法，接下来不断有人在研究这个问题，一晃200多年过去了，直到公元19世纪60年代，“导数”或者说“导函数”才有了现在的严格定义（我们的课本中还不是定义的“最高版本”），从这个角度来看，“导数”也好“导函数”也罢，他们其实都是函数思想、极限思想的成功运用，如果从广义上把“导数”就理解为这样的研究方法，“导函数”简称为“导数”恐怕也就好理解了。

课堂上我会问那些小伙伴们“这道求切线的问题用什么方法做呀？”，通常会得到这样的齐声回答“导数”，同样的两个字，有的同学可能是“有口无心”，有的则以为求了“导函数”就完事了，更多的同学则明确地知道求了“导函数”还要代入具体的横坐标，得到的函数值才是切线斜率，这是正确的做法，当然可能也还有同学会深刻体会到，“导数”，这是多少研究者积淀下来的思想精华，其核心就是逼近再逼近，然后显现出极限，切线是这种极限，瞬时变化率是这种极限，导数、导函数都是这种极限。

导数与导函数到底是几个意思？可以说它们是一个意思，因为导数是导函数的简称；可以说它们是两个不同的意思，因为在求切线方程时，某一点处的导数是个数值，而导函数是个函数；当然，导数与导函数还可以就是一个意思，那是同一种数学思想，同一种文化的味道。endprint